【原创】五年级奥数解析（四十九）约数个数与约数和--池州郑丽敏
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【原创】五年级奥数解析（四十九）约数个数与约数和
20:41:00 | By: spring ]
《奥赛天天练》第三十七讲《约数个数与约数和》，学习利用合数的质因数分解式求一个较大自然数所有约数的个数及所有约数和的方法。
计算公式：
求一个自然数N的约数个数与约数和，先把这个自然数分解质因数，表示为：
NP1 a1?P2a2?P3a3……PKak
N的约数的个数为：（a1＋1）×（a2＋1）×……×（ak＋1）；
N的约数和为：（1＋P1＋ P12＋…＋ P1a1）×（1＋P2＋ P22＋…＋ P2a2）×……×（1＋PK＋PK2＋…＋PKak）。
例如：7223×32
先找出23的所有（3＋1）4个约数：1、2、22、23；
再找出32的所有（2＋1）3个约数：1、3、32。
用23的每一个约数依次去乘以32的每一个约数，可以求出72的所有[（3＋1）×（2＋1）]12个约数：
1、3、32、2×1、2×3、2×32、22×1、22×3、22×32、23×1、23×3、23×32。
约数和为：
（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）195
约数个数与约数和的计算公式证明过程比较复杂，需要从单个质数，到只含有几个相同质因数的合数，到含有几个不同质因数的合数逐步推理，寻找、验证规律。小学生理解比较困难，可以到初中奥数学习中再进一步探究。
《奥赛天天练》第37讲，模仿训练，练习1&
【题目】：
求500的约数的个数。
【解析】：
分解质因数：50022×53
根据约数个数计算公式，可以求出500的约数个数为：
（2＋1）×（3＋1）12（个）。
《奥赛天天练》第37讲，模仿训练，练习2&&&&&&&&&&
【题目】：
求720所有约数的和。
【解析】：
分解质因数：72024×32×5
根据约数和计算公式，可以求出720所有约数的和为：
（1＋2＋22＋23＋24）×（1＋3＋32）×（1＋5）2418。
《奥赛天天练》第37讲，巩固训练，习题1
【题目】：
小于200且有15个约数的自然数是多少？
【解析】：
根据约数个数计算公式分解15可得：
①151+14，这个数可以写在某一个质数的14次方；
②153×5（1＋2）×（1＋4），这个数包含两个不同的质因数，其中一个质因数出现2次，另一个质因数出现4次。
假设是第①种情况，这个数最小是2的14次方，大于200，不符合题意。
假设是第②种情况，这个数最小是：24×32144；依次再取大一点的质因数，可以算出这个自然数大于200，不符合题意。
所以这个自然数是144。
《奥赛天天练》第37讲，巩固训练，习题2
【题目】：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
数A25×33×52×7有许多约数，其中最大的两位数约数是多少？
【解析】：
对A的质因数重新组合尝试，可以算出其中最大的两位数约数为：
《奥赛天天练》第37讲，拓展提高，习题1
【题目】：
有一个整数，个位是0，它共有8个约数，这个数最小是多少？
【解析】：
根据约数个数计算公式分解8可得：
①81+7，这个数可以写在某一个质数的7次方；
②82×4（1＋1）×（1＋3），这个数包含两个不同的质因数，其中一个质因数出现1次，另一个质因数出现3次。
又因为这个整数的个位是0，至少含有两个不同的质因数2和5，所以第①种情况不符合题意。应该是第②种情况，这个数最小是：
《奥赛天天练》第37讲，拓展提高，习题2
【题目】：
在一个数的约数中，将所有约数两两求和，所有的和中，最小的是3，最大的是1200，这个数是多少？
【解析】：
约数两两求和是3，这两个约数只能是1和2；
每个数的约数都是成对出现的。因为这个数包含约数2，所以这个数最大的约数是它本身，此外最大的约数是它的一半。假设这个数的一半为a，则这个数的约数两两求和，最大的和就是（a＋2a），由题意可得：
解得：a400
所以这个数是：400×2800。
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一、简答题（每题6分，共60分，请写出简要步骤）
　　1.计算：
　　【分析】原式＝
　　2.有4个蜂鸣器A、B、C、D，这4个蜂鸣器连续响的时间长短是以1：2：3：4的比例固定的，他们分别响完后再过8秒钟又开始响，4个蜂鸣器第一次同时开始响，28分钟之后，又同时开始响起来。此时是C蜂鸣器的第121次开始，那么C和D两个蜂鸣器第一次同时开始响，是在从4个蜂鸣器首次开始算起多少秒之后？
　　【分析】C连续响的时间长短为：28&60&120－8＝6（秒）
　　A连续响的时间长短为：6&1/3＝2（秒）
　　B连续响的时间6&2/3＝4（秒）
　　D连续响的时间6&4/3＝8（秒）
　　[6+8,8+8]＝112（秒）&&CD同时响
　　3.一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米，今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水深是多少厘米？
　　【分析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：(厘米）
　　它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中，于是所求的水深便是17.72厘米。
　　4.将一个数的所有的约数两两求和，在所有的和中，若最小的是4，最大的是180，则这个数是多少？
　　【分析】设这个数为，则它一定有约数1、，因为两个约数的和最小是4，所以必有约数，同时也有约数因为1和3是两个最小的约数，所以a和是两个最大的约数，所以，解得，即所求的数是135。
　　5.如图,为圆心,垂直于直径。以为圆心,为半径画弧将圆分出一个弯月形。已知弯月形的面积为10平方厘米,圆的面积是____平方厘米。
　　【分析】设圆的半径AO为r,则半圆AMB的面积是
　　扇形ANB的面积是=半圆AMB的面积
　　所以弯月形的面积等于三角形ABC的面积==20
　　圆的面积等于=314平方厘米&#xe621; 上传我的文档
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官方公共微信把自然数A的所有约数两两求和，又得若干个自然数,在这些数中,最小的是3，最大的是150，求A_百度作业帮
把自然数A的所有约数两两求和，又得若干个自然数,在这些数中,最小的是3，最大的是150，求A
把自然数A的所有约数两两求和，又得若干个自然数,在这些数中,最小的是3，最大的是150，求A
最小约数的是1，所以最小的和是3的话，次小的约数是3-1=2；最大约数是它自己A，次大约数是A除次小约数=A/2A+A/2=150写出某个自然数的所有约数,并将这些约,数两两求和,在这些数中,最小的是3,最大的是1998,原来的自然数是_百度作业帮
写出某个自然数的所有约数,并将这些约,数两两求和,在这些数中,最小的是3,最大的是1998,原来的自然数是
写出某个自然数的所有约数,并将这些约,数两两求和,在这些数中,最小的是3,最大的是1998,原来的自然数是
最小 1+2 所以是偶数最大 是本身加次大次大是本身/2x+x/2=1998x=1332
假设这个自然数是n，则根据这些数中，最小的是3 可得 最小的两个约数为1和2，因此最大的两个约数为n，n/2因此n+n/2=1998解得n=1332
最小的约数和是3，所以这个自然数最小的两个约数是1和2最大的两个约数和是1998，所以设最大的约数是x,那么另一个就是1998-x根据约数性质可以得到 x×1=2×(1998-x)
x=1332所以这个自然数就是1×x=1332采...}