1.3.2 函数奇偶性教学设计
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1.3.2 函数奇偶性教学设计
来源：丽泽中学高中部&
作者：李玉慧
函数奇偶性教学设计&
教学背景分析
& 学习任务分析
内容：函数奇偶性的定义
地位：奇偶性是函数的重要性质之一。
作用：函数的奇偶性是函数的一条重要性质，它是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等基本初等函数的基础，起着承上启下的重要作用；同时，本节课从图形直观感知到代数抽象概括的研究过程也为后续研究函数提供了一种良好的研究思路。
& 学生情况分析
从知识储备方面，首先，学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等基本初等函数，因此可以从这些特殊的函数出发，为学习函数奇偶性提供丰富的素材；其次，学生也已经学习了轴对称图形和中心对称图形，具备一定识图能力；最后，学生刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法和初步经验。
另外，由于学生缺乏独立研究问题的经验，在函数奇偶性概念的形成过程中，特别是由图形语言到数学符号语言的转化过程中还存在一定困难，需要老师加以引导。
教学目标的确定
根据数学课程标准的教学要求及对教学背景的分析，我从以下三个方面确定了本节课的教学目标：
知识与技能：&
& 从数和形两个角度理解偶函数、奇函数的概念；
& 会判断一些简单函数的奇偶性。
过程与方法：&
在经历从图形直观感知到代数抽象概括，从特殊到一般的概念形成过程中，提高观察抽象能力以及归纳概括能力，并体会数形结合的数学思想。
情感、态度和价值观：&
在函数奇偶性概念形成过程中体会数学的对称美。
综合上述分析，我确定了本节课的教学重点和难点。
重点：函数奇偶性概念和几何意义；
难点：、奇偶性概念的数学符号语言提炼过程；
、利用定义判断函数奇偶性。
教学方法与手段的选择
为了实现本节课的教学目标，突出教学重点，突破难点，结合教学内容和学生情况以及我自己的授课特点，我采用讲授式和启发探究式相结合的教学方法。印发学案，启发学生自学的思路。
教学过程的设计
& 新课引入&
需要解决的主要问题&
从生活实例中抽象出某些图形具有轴对称和中心对称的特征，进而联想到数学中某些函数也具有这样对称的特征，从而引出本节课的课题。
具体教学安排&
问题、（多媒体展示四幅图片）请学生观察这些图片具有什么样的共同特征。
通过观察，老师适当引导，学生能够发现前两幅图是轴对称的，后两幅图是中心对称的。
追问：生活中这种对称随处可见，在数学中也有很多对称，你能举例吗？
由于前几节课都在学习函数，会有部分学生想到有些函数的图像是对称的。
引入课题：今天我们一起来研究图像具有对称特征的函数的性质。
& 探究新知&
本阶段需要解决的主要问题&
从形和数两个角度形成偶函数和奇函数的概念，难点是把图形语言翻译成数学符号语言，从而形成偶函数、奇函数的数学定义。
具体教学安排
（）直观感知
问题、请画出函数和的图像，并观察这两个图像具有什么特征？
说明：在画图时，要求学生画得比较准确，学生会用列表作图，为后面从数值上寻找规律做好铺垫。画出图像后，有了前面的引例做铺垫，学生能很快说出图像关于轴对称。
（）抽象概括
引言：函数图像关于轴对称，这是函数形的角度的特征。回忆学习函数单调性时，研究了形的特征，还应该从数的角度描述函数的性质。我们以继续研究。
问题、请完成表格，并观察，你发现了什么？
说明：预计学生能够感受到当自变量取一对相反数时，函数值相同，但不会用语言表达，此时要对学生进行引导。
操作：请同学说出具体的有哪些函数值是相等的，并板书
进一步，，&&
问题、你能总结一般的规律吗？
引导学生回答，师生共同得出结果并板书：对任意实数，都有。
问题、对函数来说，为什么会有这样的关系？你能解释原因吗？
事实上，反映在图像上就是（，）在图像上，那么它关于轴的对称点（，）也在图像上（如图）。
通过对数和形两方面原因的解释，进一步理解偶函数的本质。
（）形成概念
引出偶函数概念，师生共同归纳偶函数的定义，并板书：
定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数；偶函数的图像关于轴对称（板书）。
问题、你能从图像和定义两方面说明是偶函数吗？
意图：通过对也是偶函数的分析，进一步熟悉偶函数的概念。
（）类比迁移
问题、刚才我们研究了图像是轴对称图形的函数的性质，你还能举出图像是中心对称图形的函数吗？
说明：学生可能会举，等，并画图观察。
问题、你能仿照研究偶函数的方法，从数的角度来描述这种函数的特征吗？
说明：老师简单总结研究偶函数的过程为：画图&填表&找数量关系&归纳&形成概念，再由学生以函数为例小组讨论，讨论完后请一位中上等学生讲解，需要教师适当引导和补充。
结论：对任意，都有。
问题、你能从数和形的角度解释原因吗？
形：反映在图像上就是（，）在图像上，那么它关于原点的对称点（，）也在图像上。
通过对数和形两方面原因的解释，进一步理解奇函数的本质，进而形成奇函数的定义。
定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数。奇函数的图像关于原点对称。
问题、你能分别利用图像和定义说明是奇函数吗？
说明：通过对也是奇函数的分析，进一步熟悉奇函数的概念。
追问：函数是奇函数吗？函数是偶函数吗？
说明：引导学生从图像和定义两个方面分析。通过这个问题强调奇偶函数的隐含条件：定义域关于原点对称，要判断一个函数是奇（偶）函数，必须先考虑定义域是否关于原点对称。（板书隐含条件：定义域关于原点对称）
& 典型例题
本阶段需要解决的主要问题
熟悉判断一个具体函数奇偶性的方法，进一步深化对奇偶函数的理解。
具体教学安排
本阶段设计了一个例题，要求判断一些简单函数的奇偶性。
判断下列函数的奇偶性
说明：通过（）（）小题完善判断函数奇偶性的步骤，强调需要先判断定义域是否关于原点对称，（）作为范例，（）作为练习。第（）小题的定义域是，学生对其定义域是否关于原点对称可能产生疑义，此时可以适当介绍一些常见的关于原点对称的定义域类型。第（）小题的定义域不关于原点，可以直接判断该函数是非奇非偶函数，再次强调了判断定义域关于原点对称的重要性。
& 课堂小结
本阶段需要解决的主要问题
总结本节课的主要知识和方法。
具体教学安排
问题、（）本节课我们研究了函数的什么性质？是通过什么方法研究的
教师带着学生总结：这节课研究了函数奇偶性。先观察函数图像，再归纳代数特征，最后得出奇偶函数的定义，这也是我们研究函数的一般方法。
（）什么是奇函数？什么是偶函数？它们的图像有什么特征？
回答：偶函数任意，有图像关于轴对称；
奇函数任意，有图像关于原点对称；
强调：奇偶函数的定义域一定关于原点对称。
（）判断函数奇偶性的一般步骤是什么？
回答：①判断定义域关于原点对称；②如果定义域关于原点对称，判断或是否成立；③下结论。
& 布置作业
基础题：课本第页练习、
提高题：、若为偶函数，则。
、设是定义在上的奇函数和偶函数，且，。判断的奇偶性。
思考题：判断函数的奇偶性。
课题：函数奇偶性
定义新知探究例
判断奇偶性方法
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函数的奇偶性
[导读]函数的奇偶性 教学目的：1、从形与数的角度引导学生理解并掌握函数奇偶性的概念。 2、掌握判断函数奇偶性的基本方法。 3、通过概念的形成，培养学生的观察、抽象等能力，渗透数形结合的数学思想以及从特殊到一般的思想。 教学重点：函数奇偶性的概念以及函数奇偶性的判断。...
函数的奇偶性
教学目的：1、从形与数的角度引导学生理解并掌握函数奇偶性的概念。
2、掌握判断函数奇偶性的基本方法。
3、通过概念的形成，培养学生的观察、抽象等能力，渗透数形结合的数学思想以及从特殊到一般的思想。
教学重点：函数奇偶性的概念以及函数奇偶性的判断。
教学难点：函数奇偶性的概念的理解
教学方法：师生共同探讨
教学过程：
一、情景引入：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，冬天漂亮的雪花，人和镜子中的像......这种对称美在我们的数学中也有许多，今天这节课我们就一起来学习跟对称有关的问题。
二、学生活动：请两位同学到黑板前画出y=x2 与y=的图象。
问题1：从对称的角度观察 y=x2与 y= 的图象，找出它们的共性？
观察结果：y=x2与 y=的图象关于y轴对称。
问题2：函数图象的这种对称性除了可以从图象上认识外，是否可以用数量关系来表述？
答：当自变量取一对相反数时，y取同一值。
例：f(x)=x2
f(?1)=f(1)=1
即 f(?x)=f(x)
问题3：再抽象出来：如果点 (x, f(x)) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点 (x1, f(x1)) 也在函数y=x2的图象上．这两个点的坐标之间有什么关系？
答：x1=-x，f(x1)= f(x) 即f(-x) = f(x)
三：建构数学：一般的，如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数。
注意：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间-----这是偶函数的大前提。
②其实质是当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值相等。
四：学生活动：
问题4：画出函数y=x与y=-的图象并从对称的角度观察这两个图象的共性？
观察结果：y=x与y=-的 图象关于原点对称。
问题5：试着从数量关系上来表述这一对称关系？
答：当自变量取一对相反数时，y亦取相反数．
例：f(x)= x
f(?1)=?f(1)=?1
即 f(?x)=f(x)
问题6：再抽象出来：如果点 (x, f(x)) 在函数y=x的图象上，则该点关于原点的对称点
(x1, f(x1)) 也在函数y=x的图象上，这两个点的坐标之间有什么关系？
答：x1=-x，f(x1)=- f(x) 即f(-x) =- f(x)
五：建构数学：一般的，如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数。
注意：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间------这是奇函数的大前提
②其实质是当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值相反。
小结：判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义f(?x)=f(x)
( 或f(?x)=?f(x) )来判断。
六：数学应用：
　　1：判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
　　　　(1)f(x)=x2-1
(2) f(x)=2x
　　　　(3) f(x)=2-5
(4) f(x)=(x-1)2
　解：（1）函数f(x)=x2-1的定义域是R
　　　因为对于任意的x R，都有f(?x)=( x)2-1= x2-1= f(x)
　　　所以函数f(x)=x2-1是偶函数。
　　　（2）、（3）、（4）略
小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、既奇且偶函数、非奇非偶函数
（奇函数）　　
　　　　　　　 y=?3x2+1
（偶函数）　
　　　　y=0
（既奇且偶函数）
　　　　y=2x+1　
（非奇非偶函数）
2、已知f(x)=ax3+bx+5（a0）,且f(3)=10,求f(-3)的值。
解：方法一、∵f(3)=a×33+b×3+5=10
∴a×33+b×3=5
∴f(-3)=a×(-3)3+b×(-3)+5=-(a×33+b×3)+5=-5+5=0
(利用整体带入)
方法二、设g(x)= ax3+bx,g(-x)=-g(x),∴g(x)是奇函数，
则f(3) = g(3)+5=10，∴g(3)=-5
∴ f(-3)=g(-3)+5=-g(3)+5=0
3 、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x&0时f(x)=x(1-x)，求当x&0时f(x)的表达式。
解：设x&0, ∴-x&0
∴f(-x)=-x(1+x)又f(x)为奇函数， ∴f(-x)=-f(x)=-x(1+x)
∴f(x)=x(1+x)
变式：求f(x)的表达式。（注意x=0时的情况）
七、课堂小结：
1． 定义 ：
肢体语言表述：人的身体作为y轴，伸出左手得到x，则伸出右手得到-x，左手再向上得到f(x)，（1）若右手也向上得到f(-x)，关于身体对称，得到了偶函数，（2）若右手向下得到f(-x)，两手关于原点对称得到了奇函数。
2．图象特征 ： 奇函数?图象关于原点对称 ，偶函数?图象关于轴对称
3．判定方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义-----
f(?x)=f(x)
( 或f(?x)=?f(x) )来判断。
八、作业：P40
P43 习题2. 1（3）
课堂教学设计说明：
　　函数的奇偶性是部分函数的重要性质,是研究函数性质的主要方面，其内容对学生是比较陌生的，学好这个内容十分重要。在教学设计过程中，没有一上课就给出定义，而是先给出一组图形，让学生通过观察，寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识。引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述。并引导学生表述定义，培养学生从特殊到一般的概括能力。运用计算机辅助教学对于提高学生思维能力，激励学生探索精神，调动学生学习积极性有很大帮助。
函数的奇偶性
淮阴师院附中徐建敏2006年3月
函数的奇偶性
品德与社会
Copyright& 北京学而思网络科技有限公司（京ICP备号-1）北京市公安局海淀分局备案编号：函数奇偶性 -
一般地，对于函数f(x)⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x?【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数
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3秒自动关闭窗口若函数f(x)=ax^2+(b+3)x+b(a≠0)是偶函数,其定义域是[a-3,2a],则a=____,b=_____百度知道
若函数f(x)=ax^2+(b+3)x+b(a≠0)是偶函数,其定义域是[a-3,2a],则a=____,b=____
我会加追分的
提问者采纳
+(b+3)x+b偶函数f(-x)=f(x)(-x)²+(b+3)x+bx²+(b+3)(-x)+b=x²-(b+3)x+b=x²+(b+3)x+b2(b+3)x=0这是恒等式所以b+3=0所以a=1偶函数则定义域关于原点对称所以a-3和2a是相反数所以a-3=-2aa=1f(x)=x&sup2
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于f(x)是偶函数：a＝1从而f(x)＝x^2＋(b＋3)x＋b又f(x)是偶函数，即有a－3＋2a＝0得，故其定义域关于0对称
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