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[中考数学]几何与代数相结合的综合问题[整理]
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＞＞＞已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y=ax2在..
已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y=ax2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为4，求a的值．
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：∵OA=OB=4，∴△AOB的面积为8， 又∵△AOP的面积为4，∴P是AB的中点， 从而可得△OAP是等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于C，可得P（2，2）， 将P（2，2）代入y=ax2中，得a=．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y=ax2在..”主要考查你对&&二次函数的图像&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
发现相似题
与“已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y=ax2在..”考查相似的试题有：
216025414939510053181808473136551635初中数学专题分析易错题_百度文库
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初中数学专题分析易错题
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你可能喜欢分析：（1）证OP=CD，可以证明它们所在的三角形全等，即证明：△AOP≌△OCD；已知的条件有：∠AOP=∠OCD=90°，OA=OC=4，只需再找出一组对应角相等即可，通过图示可以发现∠OAP、∠HAP是同角的余角，这两个角相等，那么证明三角形全等的全部条件都已得出，则结论可证．（2）点P在x轴上运动，那么就需分三种情况讨论：①点P在x轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明△AOP、△OCD全等，那么得到的条件是OP=CD，然后用t表示OP、BD的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时t的值，要注意t的正负值的判断；②点P在线段OC上时；由于OP、CD都小于等于正方形的边长（即OA、AB），所以只有OP=BD时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出t的值；③点P在点C的右侧时；方法同①．（3）这道题要分两种情况讨论：①线段PC为平行四边形的对角线，那么点Q、D关于PC的中点对称，即两点的纵坐标互为相反数，而QP∥CD，即Q、P的横坐标相同，那么先用t表示出Q点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定t的值；②线段PC为平行四边形的边；先用t表示出PC的长，把点D向左或向右平移PC长个单位就能表达出点Q的坐标，代入抛物线解析式后即可得到t的值．解答：（1）证明：∵OD⊥AH，∴∠OAP=∠DAC=90°-∠AOD；正方形OABC中，OA=OC=4，∠AOP=∠OCD=90°，即：∵OA=OC∠OAP=∠COD∠AOP=∠OCD，∴△AOP≌△OCD∴OP=CD．（2）解：①点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t＜0，如图①；∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，∴∠POH=∠PAO=90°-∠APO；又∵∠POH=∠COD，∴∠COD=∠PAO；在△AOP与△OCD中，∵OA=OC∠PAO=∠COD∠AOP=∠OCD，∴△AOP≌△OCD；∴OP=CD=-t，则：BD=BC+CD=4-t；若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：OPAB=OABD，得：-t4=44-t解得：t=2-25或t=2+25（正值舍去）；②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；因为OP＜OA、BD＜AB、OA=AB，若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：OPOA=BDAB，所以OP=BD，即：t=4-t，t=2；③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；同①可求得t=2+25；综上，t1=2，t2=2+25，t3=2-25．（3）解：假设存在符合条件的点Q，分两种情况讨论：①PC为平行四边形的对角线，则QP∥CD，且QP=CD；若P（t，0）、D（4，t），则Q（t，-t），代入抛物线y=-16x2+23x+4中，得：-16t2+23t+4=-t，即：t2-10t-24=0，解得：t1=-2，t2=12；②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且AD=PC；若P（t，0）、D（4，t），则 PC=QD=|t-4|，Q（t，t）或（8-t，t）；Q（t，t）时，t=-16t2+23t+4，即：t2+2t-24=0，解得 t1=4（舍）、t2=-6；Q（8-t，t）时，t=-16（8-t）2+23（8-t）+4，即：t2-6t+8=0，解得 t1=4（舍）、t2=2．综上可知，t1=2，t2=12，t3=-6，t4=-2．∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．点评：此题是二次函数与几何的综合题，主要涉及了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质、平行四边形的特点等重点知识；题目解题的思路并不复杂，但难度在于涉及的情况太多，需要分情况逐一进行讨论，容易漏解．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y=（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S．（1）求点B坐标和k的值．（2）当S=时，求P的坐标．（3）写出S关于m的函数关系式．
科目：初中数学
如图（1），已知：正方形OABC，A、C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限；将一直角三角板的直角顶点置于点B处，设两直角边（足够长）分别交x轴、y轴于点E、F，连接EF．（1）判断CF与AE的大小关系，并说明理由．（2）已知F（0，6），EF=10，求点B的坐标．（3）如图（2），已知正方形OABC的边长为6，若将三角板的直角顶点移到BC的中点M处，旋转三角板；当点F在OC边上时，设CF=x，AE=y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
科目：初中数学
来源：第23章《二次函数与反比例函数》常考题集（43）：23.6 反比例函数（解析版）
题型：解答题
如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y=（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S．（1）求点B坐标和k的值．（2）当S=时，求P的坐标．（3）写出S关于m的函数关系式．
科目：初中数学
来源：《第1章 反比例函数》2010年单元测评（解析版）
题型：解答题
如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y=（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S．（1）求点B坐标和k的值．（2）当S=时，求P的坐标．（3）写出S关于m的函数关系式．}