3.1 二阶常微分方程的幂级数解法_中华文本库
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第三章 特征值问题与特殊函数
3.1 二阶常微分方程的幂级数解法
y?? ? py? ? qy ? 0
特征方程为 特解
? ? p? ? q ? 0
y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? 0 (*)
1. 变系数→常系数 （不是都可以用） 2. 幂级数法 ? f ( n ) (0) ? n ??? f(x)——Taylor展开 C ? f ( x) ~ ? an x , an ? n ! n ?0
在收敛区域内
解析：若 f(x) 在0点的某个邻域内C∞，且 Taylor级数收敛，称 f 在0点解析。
解析函数由局部性质可推知整体性质.
3.1.1 幂级数解法理论概述
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输 运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、 贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标 系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出 现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常 微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶 常微分方程定解问题。
我们讨论复变函数
的线性二阶常微分方程
其中Z为复变数，
为选定的点，
C0 , C1 为复常数．
这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出， 但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任 意点 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，
代入方程以逐个确定系数．
幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较 广，可借助于解析函数的理论进行讨论． 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围 的问题． 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微
分方程的求解问题中．
1．方程的常点和奇点概念 定义 3.1.1 常点 奇点
如果方程（3.1.1）的系数函数 在选定的点 和
的邻域中是解析的，则点 是
方程（3.1.1）的常点. 如果选定的点
或 的奇点，则点
叫作方程（3.1.1）的奇点．
2. 常点邻域上的幂级数解定理
关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有
下面的定理．
定理3.1.1 若方程（3.1.1）的系数
为点 的邻域
和 中的解析函数， 满足 ，其中
则方程在这圆中存在唯一的解析解
是任意给定的复常数．
既然线性二阶常微分方程在常点
上存在唯一的解析解，
故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.
为待定系数
为了确定级数解（3.1.2）中的系数，具体的做法是以
（3.1.2）代入方程（3.1.1），合并同幂项，令合并后的系数 分别为零，找出系数 最后用已给的初值 ， 来确定各个系数 之间的递推关系，
从而求得确定的级数解．
下面以 阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤．
3.1.2 常点邻域上的幂级
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数学物理方法_第3章 二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题
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常微分方程（第三版）
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