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2010届高三数学全程复习方略
解析几何§9.1直线的倾斜角与斜率1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为+45°，则的范围为
0°＜＜135°2.（2008?全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为
45°3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为
14.已知直线l的倾斜角为，且0°≤＜135°，则直线l的斜率取值范围是
（-∞,-1）∪［0，+∞）5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-的直线垂直，则实数a的值为
-　　　　　　　　　　　　　　　例1
若∈，则直线2xcos+3y+1=0的倾斜角的取值范围是
.　答案例2
（14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,　（1）试判断l1与l2是否平行；　（2）l1⊥l2时，求a的值.　解
（1）方法一
当a=1时，l1:x+2y+6=0,　l2:x=0,l1不平行于l2;　当a=0时，l1:y=-3,　l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;
2分　当a≠1且a≠0时，两直线可化为　l1:y=--3,l2:y=-(a+1),　l1∥l2，解得a=-1,
5分　综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.
6分　方法二
由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，　由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0,
2分　∴l1∥l2
4分　a=-1,
5分故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.
6分　（2）方法一
当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.
8分当a≠1时，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),
12分　由?=-1a=.
14分　方法二
由A1A2+B1B2=0，　得a+2(a-1)=0a=.
已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).　试求：的最大值与最小值.解
由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB,　由已知可得：A（1，1），B（-1，5），　∴≤k≤8，　故的最大值为8，最小值为.1.直线xcos+y+2=0的倾斜角的取值范围是
.　答案2.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，l1与l2:　（1）相交？（2）平行？（3）垂直？　解
m=-5时，显然，l1与l2相交；　当m≠-5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为　k1=-，k2=-，　它们在y轴上的截距分别为b1=，b2=.　（1）由k1≠k2,得-≠-，　m≠-7且m≠-1.　∴当m≠-7且m≠-1时，l1与l2相交.（2）由,得，m=-7.　∴当m=-7时，l1与l2平行.　（3）由k1k2=-1,　得-?=-1，m=-.　∴当m=-时，l1与l2垂直.3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为
.　答案一、填空题1.直线xcos+y-1=0 (∈R)的倾斜角的范围是
.　答案2.（2009?姜堰中学高三综合练习）设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为,且=+90°,则m的值为
-23.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是
.　答案4.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为
-25.若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l的斜率是
-6.（2008?浙江理，11）已知a＞0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a=
1+7.已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是
（-∞，-3］∪［1，+∞）8.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是
.　答案二、解答题9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.　解
直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.　kAP==-2，kAQ==，　则-≥或-≤-2，　∴-≤m≤且m≠0.　又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，　∴所求m的取值范围是-≤m≤.　方法二
过P、Q两点的直线方程为　y-1=(x+1),即y=x+,　代入x+my+m=0,　整理，得x=-.　由已知-1≤-≤2,　解得-≤m≤.10.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得：　（1）l1与l2相交；（2）l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合.　解
（1）由已知1×3≠m(m-2),　即m2-2m-3≠0,　解得m≠-1且m≠3.　故当m≠-1且m≠3时，l1与l2相交.　（2）当1?（m-2）+m?3=0，即m=时，l1⊥l2.(3)当=≠,即m=-1时，l1∥l2.　（4）当==，　即m=3时，l1与l2重合.11.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.　解
设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，　∴kAB?kBC=0≠-1，　即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.　①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，　∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.　又kAD=kBC，∴=0，即y=3.　此时AB与CD不平行.　故所求点D的坐标为（3，3）.　②若AD是直角梯形的直角边，　则AD⊥AB，AD⊥CD，　kAD=，kCD=.　由于AD⊥AB，∴?3=-1.　又AB∥CD，∴=3.　解上述两式可得　此时AD与BC不平行.　故所求点D的坐标为,　综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或.12.已知两点A（-1，2），B（m，3）.　（1）求直线AB的方程；　（2）已知实数m∈，求直线AB的倾斜角的取值范围.解
（1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,当m≠-1时，直线AB的方程为y-2=(x+1).　（2）①当m=-1时，=;②当m≠-1时，m+1∈，　∴k=∈（-∞，-］∪，　∴∈.　综合①②知，直线AB的倾斜角∈.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　§9.2
直线的方程、直线的交点坐标与距离公式1.下列四个命题中真命题的序号是
.　①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示　②经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示　③不经过原点的直线都可以用方程表示　④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示　答案
②2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为
x+y-5=03.（2008?全国Ⅱ文）原点到直线x+2y-5=0的距离为
.　答案4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为
2x+y=05.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为
x+2y-2=0或2x+y+2=0　　　例1
求适合下列条件的直线方程：　（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；　（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.　解
（1）方法一
设直线l在x,y轴上的截距均为a,　若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），　∴l的方程为y=x，即2x-3y=0.　若a≠0，则设l的方程为，　∵l过点（3，2），∴，　∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,　综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.　方法二
由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,　设直线方程为y-2=k(x-3),　令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,　由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,　∴直线l的方程为：　y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.　（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，　则所求直线的倾斜角为2.　∵tan=3,∴tan2==-.　又直线经过点A（-1，-3），　因此所求直线方程为y+3=-(x+1),　即3x+4y+15=0.例2
过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：　（1）△AOB面积最小时l的方程；　（2）|PA|?|PB|最小时l的方程.　解
设直线的方程为 (a＞2,b＞1),　由已知可得.　（1）∵2≤=1，∴ab≥8.　∴S△AOB=ab≥4.　当且仅当==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.　（2）由+=1,得ab-a-2b=0,　变形得(a-2)(b-1)=2,　|PA|?|PB|　=?　=　≥.　当且仅当a-2=1,b-1=2,　即a=3,b=3时，|PA|?|PB|取最小值4.　此时直线l的方程为x+y-3=0.　方法二
设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0),　则l与x轴、y轴正半轴分别交于　A、B（0，1-2k）.　（1）S△AOB=（1-2k）　=×　≥（4+4）=4.　当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.　（2）|PA|?|PB|=　=≥4,　当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.例3
（14分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.　解
若直线l的斜率不存在，　则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是　A（3，-4），B（3，-9），　截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.
4分　若直线l的斜率存在时，　则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,　分别与直线l1,l2的方程联立，　由,　解得A.
8分　由,解得B,　由两点间的距离公式，得　+=25，　解得k=0,即所求直线方程为y=1.
12分　综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.
14分　方法二
设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),　则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,　两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5
6分　又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25
②　联立①②可得或,
12分　由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，　故所求的直线方程为x=3或y=1.
求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.　解
由　知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），　∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),　即kx-y+2k-1=0.　在直线l上任取一点（1，2），　由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，　由点到直线的距离公式得　=，解得k=(k=2舍去)，　∴直线l2的方程为x-2y=0.　方法二
设所求直线上一点P（x,y）,　则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.　由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点　P2在直线l上.　∴，变形得,　代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,　整理得x-2y=0.　所以所求直线方程为x-2y=0.1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；　（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.　解
（1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，　设所求的直线方程为y=kx,　将（-5，2）代入y=kx中，　得k=-，此时，直线方程为y=-x,　即2x+5y=0.　②当横截距、纵截距都不是零时，　设所求直线方程为=1，　将（-5，2）代入所设方程，　解得a=-，　此时，直线方程为x+2y+1=0.　综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.　（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=.　于是tan==,　tan2=,　所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8),　即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8),　即24x-7y-150=0.2.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.　解
设直线l的方程为（a＞0,b＞0）,　∴A(a,0),B(0,b),　∴解得　∴所求的直线方程为=1,　即2x+3y-12=0.　方法二
设直线l的方程为y-2=k(x-3),　令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,　令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.　∴(2-3k)=24.解得k=-.　∴所求直线方程为y-2=-(x-3).　即2x+3y-12=0.3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.　　(1)求a的值；　　(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.　　解
(1)l2即为2x-y-=0,∴l1与l2的距离d=,∴=,∴=,　　∵a＞0,∴a=3.　　(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，且=，即C=或C=，　∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；　若P点满足条件③，由点到直线的距离公式=×，　即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，　∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；　由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意.　联立方程，　解得 (舍去).　由解得　∴假设成立，P即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.　解
由　得　∴反射点M的坐标为（-1,2）.　又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P′(x0,y0)，由PP′⊥l可知,kPP′=-=.　而PP′的中点Q的坐标为,　Q点在l上，∴3?-2?+7=0.　由得　根据直线的两点式方程可得l的方程为　29x-2y+33=0.　方法二
设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y),　则,　又PP′的中点Q在l上，　∴3×-2×+7=0,　由　可得P点的坐标为　x0=，y0=，　代入方程x-2y+5=0中，　化简得29x-2y+33=0,　即为所求反射光线所在的直线方程.一、填空题1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为
22.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1⊥l2，则直线l2的方程是
x+3y-15=03.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是
-4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是
x+2y-3=05.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为
2x+y-6=06.点（1，cos）到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0°≤≤180°)，那么=
30°或150°7.设l1的倾斜角为，∈，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为
2x-y+8=08.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是
(1,+∞)二、解答题9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：　（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.解
（1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是--3，3k+4，　由已知，得（3k+4）（+3）=±6，　解得k1=-或k2=-.　直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,　由已知，得|-6b?b|=6，∴b=±1.　∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）.　（1）求光线的入射方程；　（2）求这条光线从P到Q的长度.　解
（1）设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，∵kl=-1，∴kQQ′=1.　∴QQ′所在直线方程为y-1=1?（x-1）　即x-y=0.　由　解得l与QQ′的交点M的坐标为.　又∵M为QQ′的中点，　由此得.　解之得∴Q′（-2，-2）.　设入射线与l交点N，且P，N，Q′共线.　则P（2，3），Q′（-2，-2），得入射线方程为　，即5x-4y+2=0.　(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而|NQ|=|NQ′|.　∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|　==,　即这条光线从P到Q的长度是.11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.　解
设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.　由得正方形的中心坐标P（-1，0），　由点P到两直线l,l1的距离相等，　则,　得c=7或c=-5（舍去）.∴l1：x+3y+7=0.　又∵正方形另两边所在直线与l垂直，　∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.　∵正方形中心到四条边的距离相等，　∴=，得a=9或a=-3,　∴另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.　∴另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.　解
设点A（x，y）在l1上，　由题意知，∴点B（6-x，-y），　解方程组，　得，∴k=.　∴所求的直线方程为y=8(x-3),　即8x-y-24=0.　方法二
设所求的直线方程为y=k(x-3),　则,解得,　由,解得.　∵P(3,0)是线段AB的中点，　∴yA+yB=0，即+=0，　∴k2-8k=0，解得k=0或k=8.　又∵当k=0时，xA=1,xB=-3,　此时,∴k=0舍去，　∴所求的直线方程为y=8(x-3),　即8x-y-24=0.§9.3
圆的方程1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是
-2＜a＜2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是
.　答案3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是
（x-1）2+(y-1)2=44.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为
(x-2)2+(y+1)2=95.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r＞0)的圆心位于第
象限.　答案
已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为
x2+y2-4x=0例2
（14分）已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心　坐标及半径.　解
将x=3-2y,　代入方程x2+y2+x-6y+m=0,　得5y2-20y+12+m=0.
4分　设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：　y1+y2=4,y1y2=.
6分　∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
8分　而x1=3-2y1,x2=3-2y2.　∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.　∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为，半径r=.
14分　方法二
如图所示，设弦PQ中点为M，　∵O1M⊥PQ，∴=2.　∴O1M的方程为:y-3=2,　即：y=2x+4.　由方程组.　解得M的坐标为（-1，2）.　则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.
6分　∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.　∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.　在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.　∴+（3-2）2+5=.　∴m=3.∴半径为,圆心为.
14分　方法三
设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.　由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.　∴m-3=0，即m=3.
3分　∴圆的方程可化为　x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0　即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.
6分　∴圆心M，
7分　又圆在PQ上.　∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.
12分　∴圆心为，半径为.
已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.　（1）求y-x的最大值和最小值；　（2）求x2+y2的最大值和最小值.解
（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2±.　所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.　又圆心到原点的距离为=2，　所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，　x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.1.（2008? 山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是
(x-2)2+(y-1)2=12.已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).　（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；　（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.　（1）证明
直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,　即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.　两方程联立，解得交点为（3，1），　又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部，　∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解
从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2=2=4.此时，kl=-,从而kl=-=2.　∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.　（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；　（2）求x-2y的最大值和最小值；　（3）求的最大值和最小值.　解
（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为　d==.　∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为　d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.　（2）设t=x-2y,　则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.　∴≤1.∴--2≤t≤-2，　∴tmax=-2，tmin=-2-.　（3）设k=，　则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，　∴≤1.∴≤k≤,　∴kmax=，kmin=.　　　　一、填空题1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为
.　答案2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是
-＜a＜13.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是
3+4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是
x2+y2-x±2y+=05.若直线2ax-by+2=0 (a＞0,b＞0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是
46.从原点O向圆：x2+y2-6x+=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为
.　答案7.（2008?四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为
.　答案8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为
（x+2)2+=二、解答题9.根据下列条件求圆的方程：　（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；　（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.解
（1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：=，即x+y-1=0.解方程组,得圆心C的坐标为（4，-3）.又圆的半径r=|OC|=5,所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25.　（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
①　将P、Q点的坐标分别代入①得：　令x=0，由①得y2+Ey+F=0
④　由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根，　所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48
⑤　解②、③、⑤组成的方程组得　D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，　故所求圆的方程为　x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.解
将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,如图，由于四边形PACB的面积等于Rt△PAC面积的2倍，所以SPACB=2××|PA|×r=.　∴要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.　当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得　|PC|min==3,　故四边形PACB面积的最小值为2.11.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.　(1)求线段AP中点的轨迹方程;　(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.　解
(1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).　∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4.　故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.　(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,　|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ,　所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,　所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.　故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.　(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.　解
(1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,　其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.　又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a)2+(0-b)2=25.　解方程组,　可得或,　故所求圆C的方程为　(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.　(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d==5.　当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；　当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；　当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.§9.4
直线、圆的位置关系1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为
在圆外2.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是
-6＜a＜43.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为
24.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+有两个不同的交点，则k的取值范围是
.　答案5.(2008?重庆理，15)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为
x-y+1=0例1
已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.　（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；　（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；　（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.　（1）证明
配方得：（x-3m）2+［y -(m-1)］2=25，　设圆心为（x，y），则，消去m得　l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.　（2）解
设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，　则圆心到直线l1的距离为d==.　∵圆的半径为r=5，　∴当d＜r，即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；　当d=r,即b=±5-3时，直线与圆相切；　当d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.　（3）证明
对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，　弦长=2且r和d均为常量.　∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2
从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.　解
如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=.　∴反射光线所在直线的方程为　y=(x-b),　即3x-(b+3)y-3b=0.　∵已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1,　∴=1,解得b1=-,b2=1.　∴kAB=-或kAB=-.　∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二
已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.　设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,　即12k2+25k+12=0.　∴k1=-，k2=-.　则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.　方法三
设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴,消去b得.　即12k2+25k+12=0,∴k1=-,k2=-.　则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.例3
已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？解
对于圆C1与圆C2的方程，经配方后　C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.　（1）如果C1与C2外切，则有=3+2.　(m+1)2+(m+2)2=25.　m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.　（2）如果C1与C2内含，则有＜3-2.　(m+1)2+(m+2)2＜1,m2+3m+2＜0,　得-2＜m＜-1,　∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；　当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.例4
（14分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.　（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；　（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解
（1）方法一
如图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2，圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.
2分设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,　即kx-y+5=0.　由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=.　此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
4分　又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.
6分　则y2-12y+24=0,∴y1=6+2,y2=6-2,　∴y2-y1=4,故x=0满足题意.　∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
8分　方法二
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为　y-5=kx,即y=kx+5,　联立直线与圆的方程,　消去y得（1+k2）x2+(4-2k)x-11=0
2分　设方程①的两根为x1,x2,　由根与系数的关系得
4分　由弦长公式得|x1-x2|　==4,　将②式代入，解得k=，　此时直线的方程为3x-4y+20=0.
6分　又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.　∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.
8分　（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,　则CD⊥PD，即?=0，
10分　（x+2,y-6）?(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为　x2+y2+2x-11y+30=0.
14分　　　　　　　　　　　　　　　1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5.　（1）无公共点；　（2）截得的弦长为2；　（3）交点处两条半径互相垂直.　解
（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=,　圆心到直线2x-y+m=0的距离　d==，　∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即＞,　∴m＞5或m＜-5.　故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点.　（2）如图所示，由平面几何垂径定理知　r2-d2=12，即5-=1.　得m=±2,　∴当m=±2时，直线被圆截得的弦长为2.　（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，　∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，　∴d=r，即?,　解得m=±.　故当m=±时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.2.从圆C：x2+y2-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| （O为原点）.求|PT|的最小值及此时P的坐标.　解
已知圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.　∴圆心C的坐标为（2，3），半径r=1.　如图所示，连结PC，CT.由平面几何知，　|PT|2=|PC|2-|CT|2　=（a-2）2+（b-3）2-1.　由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|2=|PO|2，　即（a-2）2+（b-3）2-1=a2+b2.　化简得2a+3b-6=0.　得|PT|2=a2+b2=（13a2-24a+36）.　当a=时，　|PT|min==.　|PT|的最小值为，此时点P的坐标是.3.求过点P（4，-1）且与圆C：x2+y2+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.　解
设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r,　则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，　因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），　则,　解得m=3,n=1,r=,　所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.　方法二
因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0,　所以设所求圆A的方程为　x2+y2+2x-6y+5+(2x-y)=0,　因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程，　解得=-4,　所以所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.4.圆x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.　（1）当=时,求AB的长；　（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.　解
（1）当=时，kAB=-1，　直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0.　故圆心（0，0）到AB的距离d==，　从而弦长|AB|=2=.　（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.　由　两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，　即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，　∴kAB=.　∴直线l的方程为y-2=（x+1），即x-2y+5=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　一、填空题1.（2008?辽宁理）若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为
(-,)2.（2008?重庆理，3）圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是
相交3.已知圆C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a=
-14.（2008?全国Ⅰ文）若直线与圆x2+y2=1有公共点，则与1的大小关系是
≥15.能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为
（-3，-）∪（，3）6.（2008?湖北理）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有
327.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=
08.（2008?湖南文，14）将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是
；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是
（x-1）2+y2=1
或-二、解答题9.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.　解
∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，　∴切线的斜率是±1，或切线过原点.　当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2（b-3）x+（b2-4b+3）=0.　或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0,　由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0，　即［2(b-3)］2-4×2×（b2-4b+3)=-b2+2b+3=0,　∴b=3或-1,Δ2=0,　即［2(c-1)］2-4×2×(c2-4c+3)=-c2+6c-5=0.　∴c=5或1,当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0.　由=，得k=2±,∴y=(2±)x.　故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±)x.10.已知曲线C：x2+y2-4ax+2ay-20+20a=0.　（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；　（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；　（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.　（1）证明
曲线C的方程可变形为　(x2+y2-20)+(-4x+2y+20)a=0，　由,解得，　点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）.　（2）证明
原方程配方得(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,　∵a≠2时，5(a-2)2＞0,　∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是|a-2|的圆.　设圆心坐标为（x,y），则有,　消去a得y=-x,故圆心必在直线y=-x上.（3）解
由题意得|a-2|=|a|,解得a=.11.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.解
假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）2+(y+2)2=9,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N,以AB为直径的圆经过原点，　∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=，　∴|AN|=.　又|ON|=，　由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.　∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.12.设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足?=0.　（1）求m的值；　（2）求直线PQ的方程.　解
（1）曲线方程为（x+1）2+(y-3)2=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.　∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，　∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1.　（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，　∴设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b.　将直线y=-x+b代入圆的方程，　得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.　Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)＞0,　得2-3＜b＜2+3.　由根与系数的关系得　x1+x2=-(4-b),x1?x2=.　y1?y2=b2-b(x1+x2)+x1?x2=+4b.　∵?=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2-6b+1+4b=0,　解得b=1∈(2-3,2+3),　∴所求的直线方程为y=-x+1.　　　§9.5
曲线与方程1.已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列说法错误的是
（只填序号）.　①曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0　②凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上　③不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0　④不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0　答案
①②③2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是
线段AB3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是
84.（2008?北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为
(写出曲线形状即可).　答案
抛物线5.已知直线l的方程是f（x，y）=0，点M（x0，y0）不在l上，则方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲线与l的位置关系是
如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，　求线段AB中点M的轨迹方程.　解
设点M的坐标为（x,y）,　∵M是线段AB的中点，　∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.　∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.　由已知?=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，　即x+2y-5=0.　∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.例2
（5分）在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B（-,0），C（，0）且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是
-=1（y≠0)的右支例3
如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.　解
设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），　则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，　又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有　Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x+y）.　又|AR|=|PR|=，　所以有（x1-4）2+y=36-（x+y）.　即x+y-4x1-10=0.　因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.　代入方程x+y-4x1-10=0，得　-4?-10=0.　整理得x2+y2=56.　这就是Q点的轨迹方程.1.已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||?||+?=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.　解
由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,　∵||?||+?=0，　∴?+（x-2）?4+y?0=0，　两边平方，化简得y2=-8x.2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.　解
如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得　|MC1|-|AC1|=|MA|，　|MC2|-|BC2|=|MB|.　因为|MA|=|MB|，　所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1).3.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.　解
设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），　由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴，即.　∵⊥,=(x0,-y0), =(1,-y0),　∴(x0,-y0)?（1，-y0）=0,∴x0+y=0.　∴-x+ =0,即y2=4x.　故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.　　　　　　　　　　　　　一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是
y2=8x2.已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于
43.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，=2，则点C的轨迹是
（写出形状即可）.　答案
椭圆4.平面直角坐标系中，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足= +（O为原点），其中，∈R，且+=1，则点C的轨迹是
（写出形状即可）.　答案
直线5.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为
（写出形状即可）.　答案
圆6.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为
（写出形状即可）.　答案
椭圆7.已知△ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB边上的中线长|CD|=3，则顶点A的轨迹方程为
(x-10)2+y2=36(y≠0)8.平面上有三点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为
y2=8x二、解答题9.如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.　解
（参数法）：设M的坐标为（x,y）.　若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为（1，1）.　若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为-，故直线CA方程为：y=k(x-2)+2,　令y=0得x=2-,则A点坐标为(2-,0).　CB的方程为：y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，　则B点坐标为（0,2+），由中点坐标公式得M点的坐标为　
①　消去参数k得到x+y-2=0 (x≠1),　点M（1，1）在直线x+y-2=0上，　综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.　方法二
（直接法）设M（x，y），依题意A点坐标为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）.∵|MA|=|MC|，　∴=,　化简得x+y-2=0.　方法三
（定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|,　即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.10.如图所示，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a（a>0）,|CD|=2b (b0)，动点P满足|PA|?|PB|=|PC|?|PD|.求动点P的轨迹方程.　解
以O为坐标原点，直线AB、CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，　则A（-a，0），B（a，0），C（0，-b），D（0，b）,　设P（x，y），由题意知　|PA|?|PB|=|PC|?|PD|，　∴?　=?,　化简得x2-y2=.　故动点P的轨迹方程为x2-y2=.11.已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都动）与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程.　解
设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.　由弦心距、半径、半弦长间的关系得，　即　消去r得动点M满足的几何关系为=25,　即.　化简得（x+1）2-y2=65.　此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.12.已知椭圆上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且=2，点M的轨迹为曲线E.　（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足=2，求直线l的方程.　解
（1）设M（x,y）,P(x0,y0),　∵=2，∴,　将其代入椭圆方程得　得曲线E的方程为：.　(2)设G（x1，y1）、H（x2，y2），　∵=2，∴x2=2x1.
①依题意，当直线l斜率不存在时，G（0，1），H（0，-1），不满足=2.故设直线l:y=kx+2,代入曲线E的方程并整理得（1+2k2）x2+8kx+6=0,　∴x1+x2=-,x1?x2=
②　联立①②解得k=±,　所以直线l的方程为：y=±x+2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　§9.6
椭圆　　1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于
.　答案2.若椭圆=1的离心率为，则实数m=
或3.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
44.已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为
(-∞,-1)∪5.(2008?天津文)设椭圆+=1(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为
=1　　　　　　　　　　　　　例1
一动圆与已知圆O1：(x+3）2+y2=1外切，与圆O2：(x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.　解
两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；　O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，　则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.　∴|MO1|+|MO2|=10.　由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，　且a=5，c=3.　∴b2=a2-c2=25-9=16，　故动圆圆心的轨迹方程为=1.例2
（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；　（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1）、P2（-，-），求椭圆的方程.　解
（1）若焦点在x轴上，设方程为=1 (a＞b＞0).　∵椭圆过P（3，0），∴=1.　又2a=3×2b,∴a=3,b=1,方程为.　若焦点在y轴上，设方程为=1(a＞b＞0).　∵椭圆过点P（3，0），∴=1　又2a=3×2b,∴a=9,b=3.∴方程为=1.　∴所求椭圆的方程为或=1.　（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n).　∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，　则　①、②两式联立，解得　∴所求椭圆方程为.例3
已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.　（1）求椭圆离心率的范围；　（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.　（1）解
设椭圆方程为=1 （a＞b＞0）,　|PF1|=m,|PF2|=n.　在△PF1F2中，由余弦定理可知，　4c2=m2+n2-2mncos60°.　∵m+n=2a，　∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，　∴4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.　又mn≤=a2（当且仅当m=n时取等号）,　∴4a2-4c2≤3a2，∴≥，即e≥.　∴e的取值范围是.　（2）证明
由（1）知mn=b2,　∴=mnsin60°=b2,　即△PF1F2的面积只与短轴长有关.例4
（16分）如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1（a＞b＞0)上的三点，其中点　A的坐标为（2，0）,BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.　（1）求点C的坐标及椭圆E的方程；　（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量与是否共线，并给出证明.　解
（1）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）,　∴|OC|=|AC|.又A（2，0），∠ACB=90°,　∴C（，）,
3分　∵a=2，将a=2及C点坐标代入椭圆方程得　=1,∴b2=4,　∴椭圆E的方程为:=1.
7分（2）对于椭圆上两点P、Q，∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，　∴直线PC的方程为y-=k(x-),　即y=k(x-)+.
①　直线CQ的方程为y=-k(x-)+,
10分　将①代入=1,　得(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3=0,
③　∵C(,)在椭圆上，∴x=是方程③的一个根.　∴xP?=，∴xP=，　同理可得,xQ=,　∴kPQ==.
14分　∵C（，），∴B（-，-），　又A（2，0），∴kAB==，
15分　∴kAB=kPQ，∴向量与向量共线.
16分　　　　　　　　　　　　　　1.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|=1，则|MF1|的长等于
62.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；　（2）经过两点A（0，2）和B.解
（1）设椭圆的标准方程是=1或=1，则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2，∴a=.在方程=1中令x=±c得|y|=在方程=1中令y=±c得|x|=依题意并结合图形知=.∴b2=.即椭圆的标准方程为=1或=1.　（2）设经过两点A（0，2），B的椭圆标准方程为mx2+ny2=1，代入A、B得　，　∴所求椭圆方程为.3.（2008?江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率e=
.　答案4.在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.　（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.　解
（1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+,　代入椭圆方程得+(kx+)2=1.　整理得+2kx+1=0
①　直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于　Δ=8k2-4=4k2-2＞0,　解得k＜-或k＞.　即k的取值范围为(-∞,- )∪(,+∞).　（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2），　由方程①得x1+x2=-
②　又y1+y2=k(x1+x2)+2
③　而A（，0），B（0，1），=（-，1）.　所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2)，　将②③代入上式，解得k=.　由（1）知k＜-或k＞,故没有符合题意的常数k.　　　　　　　　　　　　　　一、填空题1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是
=1或=12.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为
或3.若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，5），直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为，则这个椭圆的方程为
.　答案4.椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的
75.已知椭圆(a＞5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为
46.已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
27.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则?等于
-8.（2008?全国Ⅰ理，15）在△ABC中，AB=BC，cosB=-，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=
.　答案二、解答题9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：　（1）两个焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；　（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）；　（3）经过P（-2，1），Q（，-2）两点.　解
（1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为=1(a＞b＞0).　∴2a==10,　∴a=5.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9.　故所求椭圆的方程为=1.　(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为　=1 (a＞b＞0).　　由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），　∴∴故所求椭圆的方程为+x2=1.　(3)设椭圆的标准方程为　mx2+ny2=1 (m＞0,n＞0,m≠n),　点P（-2,1）,Q(,-2)在椭圆上，　代入上述方程得　解得∴=1.10.如图所示，点P是椭圆=1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.　解
在椭圆=1中，　a=,b=2.∴c= =1.　又∵点P在椭圆上，　∴|PF1|+|PF2|=2a=2.
①　由余弦定理知：　|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°　=|F1F2|2=(2c)2=4.
②　①式两边平方得　|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|=20，
③　③-②得（2+）|PF1|?|PF2|=16，　∴|PF1|?|PF2|=16（2-），　∴=|PF1|?|PF2|sin30°=8-4.11.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m，0）（m是大于0的常数）.　（1）求椭圆的方程；　（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||=2||，求直线l的斜率.　　解
（1）设所求椭圆方程是=1（a＞b＞0）.　　由已知，得c=m，=，∴a=2m，b=m.　　故所求的椭圆方程是：=1.（2）设Q（xQ，yQ），直线l：y=k（x+m），则点M（0，km），当=2时，由于F（-m，0），M（0，km），　∴（xQ-0，yQ-km）=2（-m-xQ，0-yQ）　∴xQ==-，yQ==.　又点Q在椭圆上，　所以=1.　解得k=±2.　当=-2时，　xQ==-2m，yQ==-km.　于是+=1,解得k=0.　故直线l的斜率是0，±2.12.已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为，直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上， = +，求椭圆的方程.　解
由e=得a2=4b2,椭圆可化为:　x2+4y2=4b2.　将y=x+1代入上式，消去y并整理得：　x2+2x+2-2b2=0.
①　∵直线y=x+1与椭圆交于A、B两点，　∴Δ=4-4（2-2b2）＞0,∴b＞.　设A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x,y),则由　= +,　得.　∵M在椭圆上，∴（x1+x2)2+(y1+y2)2=4b2,　∴x1x2+4y1y2=0.　∴x1x2+?4=0，　即x1x2+(x1+x2)+2=0
②　又由①知x1+x2=-2,x1?x2=2-2b2,　代入②中得b2=1,满足b＞.　∴椭圆方程为+y2=1.　　§9.7
双曲线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为
=12.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是
14+83.已知椭圆=1（a＞b＞0）与双曲线=1（m＞0,n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0）.若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率等于
.　答案4.设F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为
.　答案5.（2008?上海春招）已知P是双曲线=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3，则|PF1|=
已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.　解
设动圆M的半径为r，　则由已知|MC1|=r+，　|MC2|=r-，　∴|MC1|-|MC2|=2.　又C1（-4，0），C2（4，0），　∴|C1C2|=8，∴2＜|C1C2|.　根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.　∵a=，c=4，　∴b2=c2-a2=14，　∴点M的轨迹方程是=1（x≥）.例2
根据下列条件，求双曲线的标准方程.　（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（-3，2）；　（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.　解
（1）设所求双曲线方程为=(≠0),　将点（-3,2）代入得=,　所以双曲线方程为=，即=1.　(2)设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.　又双曲线过点（3，2），∴-=1.　又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.　故所求双曲线的方程为=1.例3
双曲线C：=1 (a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使?=0，求此双曲线离心率的取值范围.　解
设P点坐标为（x,y），　则由?=0，得AP⊥PQ，　则P点在以AQ为直径的圆上，　即+y2=
①　又P点在双曲线上，得=1
②　由①，②消去y,得　(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0.　即［（a2+b2）x2-（2a3-ab2）］（x-a）=0.　当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去.　当x=时，满足题意的P点存在，　需x=＞a,化简得a2＞2b2,　即3a2＞2c2,＜.∴离心率e=∈.例4
(14分)已知双曲线C：-=1（0＜＜1）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使?=0，其中点O为坐标原点.　解
设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求B（1，0），　①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，　设M（1，y0），N（1，-y0）（y0＞0），　由?=0，得y0=1，　∴M（1，1），N（1，-1）.　又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，　∴-=12+-1=0=，
4分　因为0＜＜1,所以=.
5分　②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).　由,　得［-(1-)k2］x2+2(1-)k2x-(1-)(k2+)=0,
8分　由题意知：-(1-)k2≠0,　所以x1+x2=,　x1x2=,　于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=,
10分　因为?=0,且M、N在双曲线右支上，　所以＜＜.
13分　由①②，知≤＜.
14分1.由双曲线=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.　解
由双曲线方程知　a=3,b=2,c=.　如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得　|PF1|-|PF2|=2a.　由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a.
①　|NF1|+|NF2|=2c.
②　由①②得|NF1|==a+c.　∴|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3.　故切点N的坐标为（3，0）.　根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为（-3，0）.2.已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,　（1）若双曲线经过P（，2），求双曲线方程；　（2）若双曲线的焦距是2，求双曲线方程；　（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.　解
（1）由双曲线的渐近线方程y=±x及点P（，2）的位置可判断出其焦点在y轴上，（a＞0,b＞0）　故可设双曲线方程为.　依题意可得　故所求双曲线方程为.　(2)若焦点在x轴上，可设双曲线方程为.　依题意　此时所求双曲线方程为=1.　若焦点在y轴上，可设双曲线方程为.　依题意　此时所求双曲线方程为.　故所求双曲线方程为=1或.　（3）若焦点在x轴上，则a=3,且=.　∴a=3,b=2,双曲线方程为=1.　若焦点在y轴上，则a=3,且=.　∴a=3,b=,双曲线方程为.　故所求双曲线方程为=1或.　方法二
由双曲线的渐近线方程=0,　可设双曲线方程为(≠0).　(1)∵双曲线经过点P（，2），　∴=,即=-,　故所求双曲线方程为=1.　(2)若＞0，则a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13.　由题设2c=2,则13=13,即=1.　此时，所求双曲线方程为=1.　若＜0，则a2=-4,b2=-9,c2=a2+b2=-13.　由题设2c=2,得=-1.　此时，所求双曲线方程为=-1.　故所求双曲线方程为=1或=1.（3）若＞0，则a2=9,由题设知2a=6.　∴=1，此时所求双曲线方程为=1.　若＜0，则a2=-4,由题设知2a=6,知=-.　此时所求双曲线方程为.　故所求双曲线方程为=1或.3.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为,且过点P（4，-）.　（1）求双曲线方程；　（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：?=0；　（3）求△F1MF2的面积.　（1）解
∵e=，　∴可设双曲线方程为x2-y2=(≠0).　∵过点（4，-），∴16-10=，即=6.　∴双曲线方程为x2-y2=6.　（2）证明
由（1）可知，双曲线中a=b=,　∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),　∴=,=,　?==-.　∵点（3，m)在双曲线上，∴9-m2=6,m2=3,　故?=-1,∴MF1⊥MF2，∴?=0.　方法二
∵=（-3-2，-m），　=（2-3，-m），　∴?=（3+2）×（3-2）+m2=-3+m2.　∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0,　∴?=0.（3）解
△F1MF2的底|F1F2|=4,　△F1MF2的高h=|m|=,∴=6.4.（2008?天津理，21）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0.　(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.　解
（1）设双曲线C的方程为=1（a＞0,b＞0）.　由题设得
解得　所以双曲线C的方程为=1.　（2）设直线l的方程为y=kx+m (k≠0).　点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组　　将①式代入②式，得-=1,整理得　(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.　此方程有两个不等实根，于是5-4k2≠0,且　Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)＞0,　整理得m2+5-4k2＞0.
③　由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0,y0）满足x0==,y0=kx0+m=.　从而线段MN的垂直平分线的方程为　y-.　此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为　,.　由题设可得?=.　整理得m2=,k≠0.　将上式代入③式得+5-4k2＞0,　整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)＞0,k≠0.　解得0＜|k|＜或|k|＞.　所以k的取值范围是(-∞,- )∪(-,0)∪(0, )∪(,+∞).　　　　　　　　　　　　　　　　　一、填空题1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=
-2.双曲线=1和椭圆=1 (a＞0,m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a,b,m为边长的三角形是
三角形.　答案
直角3.（2008?重庆理）已知双曲线=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx（k＞0）,离心率e=k，则双曲线方程为
=14.已知双曲线=1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是
.　答案5.如图，F1和F2分别是双曲线=1(a＞0,b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为
1+6.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且?=0,则|+|=
27.若双曲线x2-y2=1右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值是
.　答案8.（2008?安徽文，14）已知双曲线=1的离心率为,则n=
4二、解答题9.求与双曲线=1共渐近线，且过点A（2，-3）的双曲线方程.　解
双曲线=1的渐近线方程为　y=±x，　分两种情况讨论：　(1)设所求双曲线方程为=1，　∴=，
①　∴b=a　∵A（2，-3）在双曲线上，∴=1
②　联立①②，得方程组无解，　(2)设双曲线方程为=1，　∴=
③　∵点A（2，-3）在双曲线上，　∴=1
④　由③④联立方程组，解得a2=，b2=4.　∴双曲线方程为：=1.　方法二
由题意，设双曲线方程为=t（t≠0），　∵点A（2，-3）在双曲线上，∴=t，　∴t=-，∴双曲线方程为：=1.10.已知定点A（0，7）、B（0，-7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.解
设F（x，y）为轨迹上的任意一点，　∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，　∴|FA|+|CA|=2a，|FB|+|CB|=2a（其中a表示椭圆的长半轴长），　∴|FA|+|CA|=|FB|+|CB|，　∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA|　=-=2.　∴|FA|-|FB|=2.　由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，　∴点F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1).11.已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x2-=1于A、B两点，且=（+）.　（1）求直线AB的方程；　（2）若过N的直线交双曲线于C、D两点，且?=0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？　解
（1）由题意知直线AB的斜率存在.　设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x2-=1　得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0.
(*)　令A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1、x2是方程（*）的两根，　∴2-k2≠0且x1+x2=.　∵=（+），∴N是AB的中点，∴=1,　∴k（2-k）=-k2+2,k=1,　∴直线AB的方程为y=x+1.　（2）将k=1代入方程（*）得x2-2x-3=0,　解得x=-1或x=3,　∴不妨设A（-1，0），B（3，4）.　∵?=0，∴CD垂直平分AB，　∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,　即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,　令C（x3,y3）,D(x4,y4)及CD中点M（x0,y0）　则x3+x4=-6,x3?x4=-11,　∴x0==-3，y0=6，即M(-3,6).　|CD|=|x3-x4|==4；　|MC|=|MD|=|CD|=2，　|MA|=|MB|=2，　即A、B、C、D到M距离相等，∴A、B、C、D四点共圆.12.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.　（1）求实数k的取值范围；　（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.　解
（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0
①　依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，　故　解得k的取值范围为-2＜k＜-.　(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),　则由①式得
②　假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得　（x1-c）(x2-c)+y1y2=0.　即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.　整理得：　(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0
③　把②式及c=代入③式化简得　5k2+2k-6=0.　解得k=-或k=(-2,-)（舍去）.　可知k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.§9.8
抛物线1.设a≠0,a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为
.　答案2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为
43.抛物线y2=24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为
y2=8x4.（2008?重庆文）若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为
45.（2008?全国Ⅱ文，15）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于
已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最　小值时P点的坐标.　解
将x=3代入抛物线方程　y2=2x，得y=±.　∵＞2，∴A在抛物线内部.　设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，　当PA⊥l时，|PA|+d最小，　最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，　此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，　∴点P坐标为（2，2）.例2已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.　解
①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py(p＞0)，　这时准线方程为y=,　由抛物线定义知-(-3)=5,解得p=4,　∴抛物线方程为x2=-8y,　这时将点A（m,-3）代入方程，得m=±2.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax (a≠0)，从p=|a|知准线方程可统一成x=-的形式，于是从题设有，　解此方程组可得四组解,,，.　∴y2=2x,m=；y2=-2x,m=-；　y2=18x,m=；y2=-18x,m=-.例3
（2008?山东理，22改编）(16分)如图所示,设抛物线方程为x2=2py (p＞0),M为直线y=-2p上任意一点,过M　引抛物线的切线,切点分别为A,B.　(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列；　(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程.　(1)证明
由题意设A,B,x1＜x2,　M.　由x2=2py得y=,则y′=,　所以kMA=,kMB=.
2分　因此,直线MA的方程为y+2p=(x-x0),　直线MB的方程为y+2p=(x-x0).　所以,+2 p = (x1-x0),
①　+2 p =(x2-x0).
5分　由①、②得=，　因此，x0=，即2x0=.　所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
8分　（2）解
由（1）知，当x0=2时，　将其代入①、②，并整理得：　x-4x1-4p2=0，x-4x2-4 p 2=0，　所以，x1、x2是方程x2-4x-4 p 2=0的两根，
10分　因此，x1+x2=4，x1x2=-4 p 2，　又kAB===，　所以kAB=.
12分　由弦长公式得　|AB|=　=.　又|AB|=4，所以p=1或p=2，　因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
16分1.（2008?辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为
.　答案2.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求此抛物线的方程.　解
设抛物线的方程为y2=2 p x(p＞0),　其准线为x=-.设A（x1,y1）,B(x2,y2),　∵|AF|+|BF|=8，∴x1++x2+=8，　即x1+x2=8-p.　∵Q（6，0）在线段AB的中垂线上，　∴|QA|=|QB|.即(x1-6)2+y12=(x2-6)2+y22,　又y12=2px1,y22=2px2,∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.　∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2,　故x1+x2-12+2p=8- p-12+2 p=0,　即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.3.已知以向量v=为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.　（1）求抛物线C的方程；（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N，若?+p2=0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程.　解
（1）由题意可得直线l的方程为y=x+,
①　过原点垂直于l的直线方程为y=-2x.
②　解①②得x=-.　∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，　∴-=-×2, p=2.　∴抛物线C的方程为y2=4x.　(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y),由题意知y=y1.　由?+ p 2=0，得x1x2+y1y2+4=0,　又y12=4x1,y22=4x2,解得y1y2=-8,
③　直线ON：y=x，即y=x.
④　由③、④及y=y1得点N的轨迹方程为x=-2(y≠0).一、填空题1.若点P到点F（0，2）的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则P的轨迹方程为
x2=8y2.设F为抛物线y2=ax (a＞0)的焦点，点P在抛物线上，且其到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则|PF|=
.　答案3.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是
.　答案4.已知抛物线y2=4x,过焦点的弦AB被焦点分成长为m、n（m≠n)的两段，那么m+n与mn的大小关系是
相等5.设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则?=
-6.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点.若++=0,则||+||+||=
67.（2008?全国Ⅱ理，15）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点.设|FA|＞|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于
3+28.（2008?江西理，15）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=
.　答案二、解答题9.已知抛物线y2=2px(p＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边的方程是y=2x,求抛物线的方程.　解
因为一直角边的方程是y=2x,　所以另一直角边的方程是y=-x.　由，解得,或（舍去），　由,解得,或（舍去）,　∴三角形的另两个顶点为和（8 p,-4p）.　∴=2.解得p=,故所求抛物线的方程为y2=x.10.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线=1（a＞0,b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线方程.　解
由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c.抛物线方程为y2=4cx.　∵抛物线过点，∴6=4c?.　∴c=1，故抛物线方程为y2=4x.　又双曲线=1过点，　∴=1.又a2+b2=c2=1.　∴=1.∴a2=或a2=9（舍）.　∴b2=，故双曲线方程为4x2-=1.11.如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.　（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；　（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2为定值，　　并求此定值.　（1）解
由已知得2 p=8,∴=2,　∴抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=-2.　（2）证明
设A（xA，yA），B（xB，yB），直线AB的斜率为k=tan,则直线方程为y=k(x-2),　将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,　故xA+xB=,　记直线m与AB的交点为E（xE,yE)，则　xE==,yE=k(xE-2)=,　故直线m的方程为y-=-,　令y=0,得点P的横坐标xP=+4,　故|FP|=xP-2==,　∴|FP|-|FP|cos2=(1-cos2)==8,为定值.12.已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴非负半轴上，点M在直线AQ上，满足?=0，=-.　（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（2）设轨迹C的准线为l,焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G，H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n,且n∩l=E，试问点E，O，H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由.解
（1）设M（x,y）为轨迹上任意一点，　A（0,b）,Q(a,0)(a≥0),　则=（x,y-b），=(a-x,-y),　∵=-，　∴（x，y-b）=-（a-x，-y），　∴，从而.　∴A，且=, =.　∵?=0，　∴?=0，即3x-y2=0,　∴y2=4x,故M点的轨迹方程为y2=4x.　(2)轨迹C的焦点为F（1，0），准线为l:x=-1,对称轴为x轴.设直线m的方程为y=k(x-1)(k≠0),　由ky2-4y-4k=0,　设G（x1,y1）,H(x2,y2),　则由根与系数的关系得，y1y2=-4,　又由已知=（-1，y1),=,　∴(-1)×y2-y1×=-y2-?y2=-y2+y2=0,　∴∥,故O，E，H三点共线.　　单元检测九一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.（2008?福建文）"a=1"是"直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直"的
条件.　答案
充要2.过点（-1，3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为
x-2y+7=03.（2008?安徽理）若过点A（4，0）的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为
.　答案4.过点M（2，1）的直线l与x轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|=|MQ|，则l的方程是
x+2y-4=05.直线x-2y-3=0与圆C：(x-2)2+(y+3)2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为
26.（2008?海南文，15）过椭圆=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则　△OAB的面积为
.　答案7.若a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sinA?x+ay+c=0与bx-sinB?y+c=0的位置关系是
垂直8.（2009?姜堰中学高三综合练习）已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e=
.　答案9.（2008?山东理）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为
2010.设P为双曲线x2-=1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点.若|PF1|∶|PF2|=3∶2，则△PF1F2的面积为
1211.（2009?东海高级中学高三调研）两个正数m,n的等差中项是5，等比中项是4，若m＞n,则椭圆=1的离心率e的大小为
.　答案12.已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=
813.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆=1上，则=
.　答案14.已知两点A（1，0），B（b,0），若抛物线y2=4x上存在点C使△ABC为等边三角形，则b=
5或-二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.（14分）过点M（0，1）作直线，使它被直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程.解
过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，显然不满足中点是点M（0，1）的条件.　故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l1,l2分别交于A、B两点，联立方程组　
②　由①解得xA=,由②解得xB=.　∵点M平分线段AB，　∴xA+xB=2xM，即+=0.　解得k=-，故所求直线方程为x+4y-4=0.　方法二
设所求直线与已知直线l1,l2分别交于A、B两点.　∵点B在直线l2:2x+y-8=0上，　故可设B（t,8-2t）,M(0,1)是AB的中点.　由中点坐标公式得A(-t,2t-6).　∵A点在直线l1:x-3y+10=0上，　∴（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4.　∴B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为x+4y-4=0.16.（14分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；　（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；　（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.　解
（1）（x-1)2+(y-2)2=5-m,∴m＜5.　（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），　则x1=4-2y1，x2=4-2y2，　则x1x2=16-8（y1+y2）+4y1y2　∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0　∴16-8（y1+y2）+5y1y2=0
①　由　得5y2-16y+m+8=0　∴y1+y2=,y1y2=,代入①得，m=.　（3）以MN为直径的圆的方程为　（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0　∴所求圆的方程为x2+y2-x-y=0.17.（14分）已知双曲线=1的右焦点是F，右顶点是A,虚轴的上端点是B，?=6-4，∠BAF=150°.　（1）求双曲线的方程；　（2）设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若+2=0，求直线l的斜率.　解
（1）由条件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)　?=（-a, b)?(c-a,0)=a(a-c)=6-4　cos∠BAF=　=-=cos150°=-.　∴a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.　∴a=,b2=c2-a2=2,故双曲线的方程为.　(2)∵点F的坐标为（2，0）.　∴可设直线l的方程为y=k(x-2),　令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)　设Q（m,n），则由+2=0得　(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).　即(4-m,2k-n)=（0,0).　即，∵.　∴=1，得k2=，k=±.18.（16分）过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解
设椭圆C的方程为=1(a＞b＞0)，显然，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=k(x-1)代入椭圆方程，整理得　(k2a2+b2)x2-2k2a2x+a2k2-a2b2=0.　因为直线l与C交于A、B两点　∴Δ=4k4a4-4(a2k2-a2b2)(k2a2+b2)＞0.　即k2a2-k2+b2＞0,
①　当Δ＞0时，设直线l与椭圆C的交点为　A（x1,y1）、B（x2,y2），AB中点为M（x0,y0),则　x0=(x1+x2）=　∴y0=(y1+y2)= ［k(x1-1)+k(x2-1)］　=-.　∵M(x0,y0)在直线y=x上，　∴-=?,　∴k=-.又=1-e2=1-=,　∴k=-=-1.　因此直线l的方程为y=-x+1.　∵a2=2b2，∴椭圆C的方程为=1，其右焦点为（b，0），设（b，0）点关于直线y=-x+1的对称点为(x′,y′),　则.　因为点（1,1-b)在椭圆上.　∴1+2(1-b)2=2b2，解得b2=.　把b2=,a2=,k2=1代入①式，得Δ＞0.　∴b2=，a2=.　∴椭圆C的方程为=1,　直线l的方程为y=-x+1.19.(2008?海南（宁夏）理，20)(16分)在直角坐标系xOy中,椭圆C1: =1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=.　（1）求C1的方程；　（2）平面上的点N满足=+，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若?=0，求直线l的方程.解
(1)由C2:y2=4x,知F2(1,0),设M(x1,y1),M在C2上,因为|MF2|=,所以x1+1=,得x1=,y1=.所以M.　M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1,　于是　消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.　解得a=2(a=不合题意,舍去).　故b2=4-1=3.　故椭圆C1的方程为.　(2)由=+,知四边形MF1NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O,　因为l∥MN,所以l与OM的斜率相同.　故l的斜率k==.　设l的方程为y=(x-m).　由消去y并整理得　9x2-16mx+8m2-4=0.　设A(x1,y1),B(x2,y2),　则x1+x2=,x1x2=.　因为⊥,所以x1x2+y1y2=0.　所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)　=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2　=7?-6m?+6m2　=(14m2-28)=0.　所以m=±.此时Δ=(16m)2-4×9(8m2-4)＞0.　故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.20.(16分)已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.　（1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；　（2）在x轴上是否存在点M，使?为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.　解
（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1),　将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,　消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.　设A（x1,y1）,B(x2,y2),　则　由线段AB中点的横坐标是-，　得=-=-,解得k=±，适合①.　所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.　(2)假设在x轴上存在点M（m，0），使?为常数.　（）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知　x1+x2=-,x1x2=.
③　所以?=（x1-m）(x2-m)+y1y2　=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)　=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.　将③代入，整理得　?=+m2　=+m2　=m2+2m--.　注意到?是与k无关的常数，从而有　6m+14=0，m=-，此时?=.　（）当直线AB与x轴垂直时，　此时点A，B的坐标分别为　、，　当m=-时，亦有?=.　综上，在x轴上存在定点M，使?为常数.}