京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn决胜 2012 中考：矩形菱形正方形精华试题汇编一 选择题 1、(2011 浙江杭州模拟 14)下列命题中的真命题是( A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 ).B. 中心对称图形都是轴对称图形 D. 等腰梯形是中心对称图形 ）答案：C 2、(2011 浙江杭州模拟 16)下列图形中，周长不是 32 的图形是（答案：B 3.(2011 浙江省杭州市 8 模)如图，ABCD、CEFG 是正方形，E 在 CD 上，直线 BE、DG 交于 H， 且 HE?HB＝ 4 ? 2 2 ，BD、AF 交于 M，当 E 在线段 CD（不与 C、D 重合）上运动时，下 列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD 所夹的锐角为 45°；③ GD= 2 AM ；④ 若 BE 平 分∠DBC，则正方形 ABCD 的面积为 4。其中正确的结论个数有（ ）A MD H E F GB第 3 题图CA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案:D 4、 （2011 年黄冈中考调研六）矩形 ABCD 中， AB ? 1 ， AD ? 2 ， M 是 CD 的中点，点 P 在矩形的边上沿 A ? B ? C ? M 运动， 则 △ APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的 函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） P y y A y y 1 O 1 2 3 3.5 A． x 1 O 1 2 3 3.5 B． x 1 O 1 C 2 3 3.5 x 1 O 1 2 3 3.5 D D M第 4 题图Bx答案 A 5、 （2011 年浙江杭州三模） 如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一直线上，P 是京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/C第 5 题图京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn线段 DF 的中点，连结 PG，PC。若∠ABC=∠BEF =60°，则 A. 2 C. B. D.PG ?（ PC）33 32 2答案：B 6、 （2011 年浙江杭州八模）如图，ABCD、CEFG 是正方形，E 在 CD 上，直线 BE、DG 交于 H， 且 HE?HB＝ 4 ? 2 2 ，BD、AF 交于 M，当 E 在线段 CD（不与 C、 D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD 所 夹的锐角为 45°；③ GD= 2 AM ；④ 若 BE 平分∠DBC，则正 方形 ABCD 的面积为 4。其中正确的结论个数有（ ） A. 1 个 答案：D B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个A MD H E F GB（第 6 题） CB组 1. （2011 浙江慈吉 模拟）如图, 将一个正方体分割成甲、乙、丙三个长方体, 且三个长 方体的长和宽均与正方体的棱长相等; 若已知甲、 乙、 丙三个长方体的表面积之比为 2∶3∶ 4, 则它们的体积之比等于（ ） A. 2∶3∶4 B. 2∶5∶7 C. 1∶10∶23 D. 1∶6∶11甲 乙 丙 乙 甲 丙答案：D第 1 题图2、 （2011 北京四中一模）下列命题中，真命题是( ) (A)有两边相等的平行四边形是菱形 (B)有一个角是直角的四边形是矩形 (C)四个角相等的菱形是正方形 (D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3（2011 深圳市中 考模拟五）下列命题中，真命题是（ Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对 角线互相平分的四边形是平行四边形 答案：D 4. （2011 深圳市全真中考模拟一）如图，顺次连结圆内接矩形各 边的中点，得到菱形 ABCD，若 BD＝10，DF＝4，则菱形 ABCD 的边 长为京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/）AEB OD FC京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn(A)4 2 ． (B)5 2 (C)6． (D)9．（第 4 题） 答案：D 5.（安徽芜湖 2011 模拟）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正 方形 AB ' C ' D ' ，边 B ' C ' 与 DC 交于点 O，则四边形 AB ' OD 的周长 是 （ ．． A． 2 2 答案: A B． 3 C． 2 D． 1 ? 2 ）6.（浙江杭州金山学校 2011 模拟） （原创）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下 一个角，为了得到一个锐角为 60? 的菱形，剪口与折痕所成的角? 的度数应为（ ▲ ） A．15?或 30? B．30?或 45? C．45?或 60? D．30?或 60? 答案：D7.（浙江杭州金山学校 2011 模拟） （引黄冈市 2010 年秋期末考试九年级数学模拟试题） 正方形 ABCD 、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的边长为 4，则 △DEK 的面积为（ ）Ａ、10 答案：DＢ、12Ｃ、14Ｄ、16京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cnDE ? AB ， 8. （河南新乡 2011 模拟） 如图， 菱形 ABCD 的周长为 40cm， 垂足为 E ，则下列结论正确的有（ ① DE ? 6cm ③菱形面积为 60 cm2sin A ?3 5，） ② BE ? 2 cm ④ BD ? 4 10 cmＡ． 1 个Ｂ． 2 个Ｃ． 3 个Ｄ． 4 个 ).答案：C 9.（浙江杭州进化 2011 一模）下列命题中的真命题是( A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 答案:CB. 中心对称图形都是轴对称图形 D. 等腰梯形是中心对称图形10、 （2011 年黄冈市浠水县）如图所示，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落 在 BC 中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 的长是? （ A. 2 答案：B B. 3 C. 4 D. 5 ）11、 （2011 年北京四中 33 模）如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需 要添加的条件是（ ） A．AB=CD B. AD=BC C. AB=BC D. AC=BD B 答案 C 12． （2011 年杭州市上城区一模）如图，顺次连结圆内接矩形各边 的中点，得到菱形 ABCD，若E B O C D F AAD CBD＝6，DF＝4，则菱形 ABCD 的边长为（A.4 2 答案：D B.3 2 C.5） D.7 第 12 题）13． （2011 年杭州市上城区一模）已知下列命题：①若 a ? 0，b ? 0 ，则 a ? b ? 0 ；②若a 2 ? b 2 ，则 a ? b ；③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的 是（ ） B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤A. ① ③④ 答案：C14. （2011 年杭州市模拟） 如图， 矩形的长与宽分别为 a 和b ，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一 个没有空隙的圆柱，则 a 和 b 要满足的数量关系是a 1 ? b 2? ? 1 a 1 C. ? b 2? ? 2A. 答案：DB.a 2 ? b 2? ? 1 a 2 D. ? b ? ?1第 14 题15. （2011 年海宁市盐官片一模）如图所示，正方形 ABCD 的面积 A 为 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角 线 AC 上有一点 P ，使 PD ? PE 的和最小，则这个最小值为 （ ） B． 2 6 C．3 D． 6 B 第 15 题图） A． 2 3 答案：A P EDC二 填空题 1、(2011 浙江杭州模拟 16)同学们在拍照留念的时候最喜欢做一个“V”字型的动作。我们 将宽为 2cm 的长方形如图进行翻折， 便可得到一个漂亮的 “ V” 。 如果 “V” 所成的锐角为 60 ，0那么折痕 AB 的长是 答案：。4 3 32. （2011.河北廊坊安次区一模） 如图 6， 菱形 ABCD 的对角线相交于点 O， 请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn答案: 定义或判定 3.(2011.河北廊坊安次区一模）如图 8，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再 依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩 形的 面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 ． ??第 3 题图 上答案:4. (2011 湖北省天门市一模)如图 4（1） ，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延 长一倍得到新正方形 A1B1C1D1； 把正方形 A1B1C1D1 边长按原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2 （如 图 4（2） ） ；以此下去???，则正方形 A4B4C4D4 的面积为__________。 C2 C1 D1D A C BC1 D1 B1 D2 A1 A2 图（2）D A C BB2 B1A1第 4 题图（1）5. （浙江杭州金山学校 2011 模拟） （原 创） 如图所示， 正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD ? PE 的和最 小 ，则这个最小值为 ▲ . 答案： 2 3答案: 625 6.（2011 浙江杭州模拟 7） 如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AB＝4，点 E、G、H、F 分别在 AB、BC、CD、AD 上，且 AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连结 PE、PF、PG、PH，则△PEF 和△PGH 的面积和等于________．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn（第 6 题图）7.(2011 年宁夏银川)如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 CD 边上一 点， DE ? 1 ． 以 点 A 为 中 心， 把 △ ADE 顺 时 针旋 转 90 ? ， 得 △ ABE? ， 连 接 EE? ， 则 EE? 的 长等 于 答案：2 5 8． （2011 年青岛二中）如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉， 使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周 长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 ． （第 8 题图） 答案：17 BC 、 CA 上， 9 （2011 年浙江仙居） 如图在 △ ABC 中， 点 D、 E、 F 分别在边 AB 、 且 DE ∥ CA ， DF ∥ BA ．下列四种说法： Ａ ①四边形 AEDF 是平行四边形； ②如果 ?BAC ? 90 ，那么四边形 AEDF 是矩形； ③如果 AD 平分 ?BAC ，那么四边形 AEDF 是菱形； ④如果 AD ? BC 且 AB ? AC ，那么四边形 AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号） 答案：①②③④?．Ｆ Ｅ Ｂ Ｄ Ｃ第 9 题图10、(2011 山西阳泉盂县月考)如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、BC 的中点，G、H 在 DC 边上，且 GH= 35 。1 DC，AB=10，BC=12，则阴影 2部分的面积为11． （2011 年江苏盐都中考模拟）如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别 落在 D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 °.A D′ B C′ F C E D第 11 题 答案 50 12、 （2011 年北京四中中考模拟 19）在正方形的截面中，最多可以截出 边形 答案 4 13、 （2011 年浙江杭州三模） 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的一 点，且 BE=BC，点 P 在 EC 上，PM⊥BD 于 M，PN⊥ BC 于 N，则 PM+PN=京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn答案：2（第 14 题图）14、 （2011 年浙江杭州七模）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AB＝4，点 E、G、H、F 分别 在 AB、BC、CD、AD 上，且 AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连 结 PE、PF、PG、PH，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 答案：7B组 1． （2011 安徽中考模拟）如图，菱 形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是 _____________． 答案 ：5 2. （2011 湖北武汉调考模拟二）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠C=60°， 菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转 60°叫 一次操作，则经过 36 次这样的操作菱形中心 D 所经过的路径总长为（结果保留 ? ）___．BD A M B P N C第 1 题图答案： （8 3 ，+4） ?CO D A 3、 （北京四中 2011 中考模拟 14）要使一个平行四边形成为正方形，则需添加的条件为 ____________（填上一个正确的结论即可）. 答案：对角线垂直且相等4. （2011 年杭州市模拟）菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图 y，OC ? 2 2 ， 所示，?AOC ? 45° 则点 B 的坐标为答案： (2 2 ? 2, 2) 5． （2011 年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为 4 的正方形 塑料摸板 ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落 在 A 点， 两条直角边分别与 CD 交于点 F ， 与 CB 延长线交于京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/C ． O A第4题B A D F xEC B（第 5 题） 图）京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn点 E ．则四边形 AECF 的面积是 答案：16．6、 （赵州二中九年七班模拟）若菱形 ABCD 的对角线 AC =24， BD =10 ， 则菱形的周长 为 答案：52 7、 （赵州二中九年七班模拟）用含 30? 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列五种图 形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，⑤等边三角形。其中可以被拼成的图形 是 答案：①③⑤ （只填正确答案的序号）。 。三 解答题 1、(2011 浙江杭州模拟 15) 如图（1）矩形纸片ＡＢＣＤ，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？ （1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出 其中一种情况） （2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。 E A B A B A D （1） 答案： （1）图略 （2）等腰三角形 （4 分） （1 分） D （2） F ＢGCCＤ第 1 题图C京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn（2 分）2、(2011 浙江杭州模拟 15) 如图(1)，△ABC 中，AD 为 BC 边上的的中线，则 实践探究 （1）在图(2)中，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 足 的 关 系 式 A A C D 图(1) ；图(2) 图(3).（模拟改编）之间满 E DB 为BF图(4)C（2） 在图(3)中， E、 F 分别为平行四边形 ABCD 的边 AD、 BC 的中点， 则 之间满足的关系式为 ；（3）在图(4)中，E、F 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 之间满足的关系式为 解决问题： （4）在图(5)中，E、G、F、H 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD、AB、BC、CD 的中点，并且 图中阴影部分的面积为 20 平方米，求图中四个小三角形的面积和，即 S1+ S2+ S3+ S4=？ ；京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn答案：1 S 矩形ABCD 2 1 （2） S阴影 ? S 平行四边形 ABCD 2 1 (3) S阴影 ? S四边形 ABCD 2(1) S阴影 ?（2 分） （2 分） （2 分）1 S四边形ABCD ， S四边形AHCG ? S四边形ABCD ， 2 1 1 ∴S1+x+S2+S3+y+S4 ? S四边形ABCD ．S1+m+S4+S2+n+S3 ? S四边形ABCD ， 2 2（4）由上得 S四边形BEDF ?12∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2 +n+S3） ? S四边形ABCD ． ∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S 阴 ∴S1+S2+S3+S4=S 阴=20． （4 分）3． （10 分） （2011 武汉调考模拟)如图， 四边形 ABCD 为正方形， △BEF 为等腰直角三角形 （∠ 0 BFE=90 ，点 B、E、F，按逆时针排列） ，点 P 为 DE 的中点，连 PC，PF (1)如图①， 点 E 在 BC 上，则线段 PC、PF 的数量关系为_______，位置关系为_____（不 证明） ． 0 (2)如图②，将△BEF 绕点 B 顺时针旋转 a(O&a&45 )，则线段 PC，PF 有何数量关系和位 置关系？请写出你的结论，并证明．(3)如图③，△AEF 为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程 中，能使点 F 落在 BC 上，且 AB 平分 EF，直接写出 AE 的值是________．A DA DADPPF B E CBF C EE B京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/FC京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn24.解：(1) PC=PF, PC⊥PF. (2)延长 FP 至 G 使 PG=PF，连 DC.GC、FC. DB，延长 EF 交 BD 于 N. 由 ? PDG≌ ? PEF,∴DG=EF=BF. ∠PEF= ∠PDG,∴EN// DG,∴∠BNE=∠BDG=450+∠CDG=900-∠NBF=900- (450-∠FBC) ∴∠FBC=∠GDC ∴△BFC≌△DGC,∴FC=CG, ∠BCF=∠DCG. ∴∠FCG= ∠BCD=900. ∴△FCG 为等腰 Rt△，∵PF=PG，∴ PC⊥PF, PF=PC. (3)3 322. (2011 年宁夏银川)（6 分）如图，在□ABCD 中， BE 平分 ?ABC 交 AD 于点 E ， DF 平分 ? ADC 交 BC 于点 F . 求证： （1） △ ABE ≌ CDF ； （2）若 BD ⊥ EF ，则判断四边形 EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结论.A证明： （1）∵四边形 ABCD 是平行四边， ∴ ?A ? ?C，AB ? CD，?ABC ? ?ADC DF 平分 ?ADC， ∵ BE 平分 ?ABC， ∴ ?ABE ? ?CDF ????????? 2 分ED∴ △ABE ≌△CDF ? ASA? ????????????????3 分BFC（2）由 △ ABE ≌△CDF， 得 AE ? CF ?????????????4 分 在平行四边形 ABCD 中， AD ∥ BC，AD ? BC ∴ DE ∥ BF，DE ? BF ∴四边形 EBFD 是平行四边形????????????????5 分 若 BD ? EF， 则四边形 EBFD 是菱形?????????????6 分 1.（2011 年兴华公学九下第一次月考） 如图， 四边形 ABCD 是矩形， ∠EDC=∠CAB， ∠DEC=90°。 (1)求证：AC∥DE； (2)过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，连结 EF，试判别四边形 BCEF 的形状，并说明理由。答案：证明： （1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴CD∥AB ∴∠DCA=∠CAB 又∵∠EDC=∠CAB ∴∠EDC=∠DCA ∴ AC ∥ DE. ------------------------------------------------------------------------------京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn-（3 分） （2）四边形 BCEF 是平行四边形 证明：∵∠DEC=90° ，BF⊥AC ∴在 Rt△DEC 与 Rt△AFC 中 ∠DEC=∠AFB，∠EDC=∠FAB，CD=AB ∴Rt△DEC≌ Rt△AFC ∴CE=BF---------------------------------------------------------------------（6 分） 又∵DE∥AC ∴∠DEC +∠ACE=180° 又∵∠DEC=90°∴∠ACE=90° ∴∠ACE=∠AFB ∴CE∥BF ∴四边形 BCEF 是平行四边形. 2. （2011 年北京四中中考全真模拟 17）如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的 方法，按下列要求设计成四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分 的面积相等。 （可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）答案 ：答案不唯一，如1． （2011 年江苏连云港）(13 分)在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD 边上一动点，连接 PA，分别 过点 B、D 作 BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为 E、F，如图①． (1)请探究 BE、DF、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点 P 在 DC 的延长线 上， 如图②， 那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点 P 在 CD 的延 长线上呢，如图③，请分别直接写出结论； (2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明． F P A E F B P C B 图② F E C P 图① 图③ B C D A D E A D京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn解：（1）图①的结论是： BE ? EF ? DF ， 图②的结论是： DF ? BE ? EF ， 图③的结论是： EF ? BE ? DF ，? ? ? ?? ?2分 4分? ?? ? 6 分（2）图①的结论是： BE ? EF ? DF 的证明： ∵∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+∠ABC=90°， ∴∠DAF=∠ABE。 在△DAF 和△BAE 中， ∵∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB=90°，AD=BA ∴△DAF≌△ABE ∴AF=BE，AE=DF 即 BE ? EF ? DF . ? ? 13 分 ? ? 10 分 ? ? 8分图②与图③的证明与图①的证明方法类似，可参考图①的证明评分。23. （2011 年江苏盐城）(本题满分 10 分)如图，矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线相 交于点 O，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F．连接 CE． (1)求△CDE 的周长； (2)连接 AF，四边形 AECF 是什么特殊的四边形？ 说明你的理由． 答案．(1)得到 AO＝CO??1′，得到 CE＝AE???2′，解得△CDE 的 周长为 10cm????4′ (2) 四 边 形 AECF 是 菱 形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ′ ， 说 明 理 由 (略)???????????8′ 27. （2011 年江苏盐城）(本题满分 12 分)如图(1)，点 M、N 分别是正方形 ABCD 的边 AB、 B A O F C F DAD 的中点，连接 CN、DM．(1)判断 CN、DM 的关系，并说明理由； (2)设 CN、DM 的交点为 H，连接 BH，如图(2)，求证：△BCH 是等腰三角形； (3)将△ADM 沿 DM 翻折得到△A′DM，延长 MA′ 交 DC 的延长线于点 E，如图(3)，求 tan∠DEM．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn27．解：(1)CM＝DM，CN⊥DM??????1′ 证得 CN＝DM． ???????????3′证得△AMD≌△DNC?????2′ 证得 CN⊥DM????????4′(2)延长 DM、CB 交于点 P． 证得 BP＝BC．???7′ 证得△BCH 是等腰三角形．???8′ (3)设 AD＝4k， 解得 DE＝5k． ??????10′ 11′ 解得 tan∠DEM＝ 解得 A′E＝3k ????????4 3???????????????????????????? 1、（2011 杭州模拟 25）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，F、G 分别为边 BC、CD 的中点， 连接 AF，FG，过 D 作 DE∥GF 交 AF 于点 E。 （1）证明△AED≌△CGF （2）若梯形 ABCD 为直角梯形，判断四边形 DEFG 是什么特殊四边形？并证明你的结论。 （原 创）（1）证明；∵ BC=2AD、点 F 为 BC 中点 ∴CF=AD （1 分）∵AD∥CF ∴四边形 AFCD 为平行四边形 ∴∠FAD=∠C ∵DE∥FG ∴∠DEA=∠AFG ∵AF∥CD ∴∠AFG=∠FGC （1 分） （1 分） （1 分） （1 分）∴∠DEA=∠FGC ∴△AED≌△CGF （2）连结 DF ∵DE= DE=FG1 1 AF、 FG= DC 2 2DE∥FG （3 分）∴四边形 DEFG 为平行四边形 又∵∠DFC=90° 点 G 为 DC 中点京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn∴FG=DG ∴平行四边形 DEFG 为菱形 2、（2 分）1、 （2011 年浙江杭州七模如图：把一张给定大小的矩形卡片 ABCD 放在宽度为 10mm 的横格 纸中，恰好四个顶点 都在横格线上，已知α ＝25°,求长方形卡片的周长。 （精确到 1mm，参 考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）. 答案： 解：作 AF ⊥l4，交 l2 于 E，交 l4 于 F 则△ABE 和△AFD 均为直角三角 形 ?????1 分 在 Rt△ABE 中，∠ABE＝∠α ＝25° sin∠ABE＝ ∴AB＝AE ?????????1 分 AB20 ＝50 ?????1 分 0 .4∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α ＝90°－∠BAE ∴∠FAD＝∠α ＝25° 在 Rt△AFD 中，cos∠FAD＝ AD＝AF AD????????1 分AF ≈44.4 ????????????1 分 cos 25?????1 分∴长方形卡片 ABCD 的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm）B组 1． （2011 天一实验学校 二模）如图，在正方形 ABCD 中， E、F 分别是边 AD、CD 上的1 DC，连结 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G． A 4 c （1）求证： △ ABE ∽△DEF ； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长。点,AE=ED,DF= 答案： ⑴证明：在正方形 ABCD 中，∠A=∠D=90°,AB=AD=CD京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/E cD c F c C c G cB c京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn1 DC 4 AE 1 DF 1 AE DF ? , ? ,∴ ? ∴ AB 2 DE 2 AB DE又 AE=DE,DF= ∴△ABE∽△DEF ⑵BG=10(过程略) 2． （2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，将正方形 ABCD 中的△ABD 绕对称中心 O 旋转 至△GEF 的位置，EF 交 AB 于 M，GF 交 BD 于 N．请猜想 BM 与 FN 有怎样的数量关系？并证明 你的结论．D答案：BM=FN 证明：在正方形 ABCD 中，BD 为对角线，O 为对称中心, ∴BO=DO ,∠BDA=∠DBA=45°． ∵△GEF 为△ABD 绕 O 点旋转所得，∴FO=DO, ∠F=∠BDA ∴OB=OF ∠OBM=∠OFNFCG A E B? ?OBM ? ?OFN ? OB ? OF 在 △OMB 和△ONF 中 ? ??BOM ? ?FON ?∴△OBM≌△OFN ∴BM=FN3.（2011 北京四中二模） （本题满分 6 分）如图,有一块三角形土地，它的底边 BC=100 米， 高 AH=80 米，某单位要沿着地边 BC 修一座底面是矩形 DEFG 的大楼，D、G 分别在边 AB、 AC 上.若大楼的宽是 40 米，求这个矩形的面积. A D B G C答案：2000 米2EHF4. （2011 浙江杭州育才初中模拟） （本小题满分 10 分） 如图， 梯形 ABCD 中， AD∥BC， BC=2AD， F、G 分别为边 BC、CD 的中点，连接 AF，FG，过 D 作 DE∥GF 交 AF 于点 E。 （1）证明△AED≌△CGF （2）若梯形 ABCD 为直角梯形，判断四边形 DEFG 是什么特殊 四边形？并证明你的结论。 （原创） DA答案： （1）证明；∵ BC=2AD、点 F 为 BC 中点京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/E B F C京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn∴CF=AD （1 分） ∵ AD∥CF ∴四边形 AFCD 为平行四边形 ∴∠FAD=∠C （1 分） ∵DE∥FG ∴∠DEA=∠AFG ∵AF∥CD ∴∠AFG=∠FGC （1 分） ∴∠DEA=∠FGC （1 分） ∴△AED≌△CGF （1 分） （2）连结 DF ∵DE=1 1 AF、 FG= DC 2 2（3 分）DE=FG DE∥FG ∴四边形 DEFG 为平行四边形 又∵∠DFC=90° 点 G 为 DC 中点 ∴FG=DG ∴平行四边形 DEFG 为菱形（2 分） （1 分）5. （2011 广东南塘二模）△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，当∠B 与 ∠C 满足怎样的关系时，四边形 AEDF 是菱形。并证明你的结论。A EF CB（第 5 题） 答案：∠B＝∠C 时，四边形 AEDF 为菱形。 证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC， ∵AD⊥BC，∴BD＝DC， ∵E、F 分别为 AB、AC 中点，∴DF∥AB、DE∥AC、DE＝DF， ∴四边形 AEDF 为菱形。 6.（2011 广东南塘二模）如图，矩形 OABC 的长 OA= 3 ，AB=1，将△AOC 沿 AC 翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P 点坐标为 ＿＿＿＿＿ （ 2 ） 若 P 、 A 两 点 在 抛 物 线 y P D C BD4 y ? ? x 2 ? bx ? c 上，求抛物线的解析 3式，并判断点 C 是否在这抛物线上。 （3）在（2）中的抛物线 CP 段上（不含 C、 P 点） 是否存在一点 M， 使得四边形 MCPA 的面积最大？若存在，求这个最大值和 M 点坐标，若不存在，说明理由。OAx答案： （1）连 OM、MC、AB，设 MC 交 x 轴于 D。京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn∵∠AOB＝90°，∴AB 为⊙M 直径， 1 ∵OA 为⊙M 的 ，∴∠OMA＝120°，∠OMC＝60°， 3 ∵OM＝2，∴DM＝1，OD＝ 3 ，∴M( 3 ，1)， ∵∠BAO＝∠MOA＝30°，∴OB＝2，∴B(0，2) （2）∵OA＝2?OD，∴A( 2 3 ，0)，C( 3 ，－1)，1 2 2 3 2 把 O、A、C 三点坐标代入 y＝as ＋bx＋c 得：y＝ x － x。 3 3 1 （3）∵∠AOC＝∠OAC＝ ∠OMC＝30°，∴∠BAO＝∠AOC＝30° 2 ∴若存在，则 P 必为抛物线与直线 AB 或与直线 OM 的交点。求得直线 AB 为：? 3 x?2 ?y ? ? 3 ? 3 x ＋2，由 ? y＝－ 3 1 2 3 ? y ? x2 ? x ? 3 3 ?解得：P1(－ 3 ，3)，P2 ( 2 3 ，3) ∵P1O＝OA＝AP2＝ 2 3 ，∴P1、P2 合题意。 7. （2011 深圳市中考模拟五） 如图， 在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形， 如果△ABC 为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点 D、E、F、 G 分别在三角形的三条边上． 求正方形的边长．答案：解：作 CH⊥AB 于 H， ∵四边形 DEFG 为正方形，∴CM⊥GF 由勾股定理可得 AB＝5 根据三角形的面积不变性可求得 CH＝12 ???????2 分 5设 GD＝x ∵GF ∥AB ∴∠CGF＝∠A ,∠CFG＝∠B ∴△ABC∽△GFC∴CM GF ? CH AB即12 ?x x 5 ? ???????6 分 12 5 5京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn整理得：12－5x ＝ 解得： x＝12 x 560 ???????9 分 37 60 ???????10 分 37答：正方形的边长为8. （2011 深圳市中考模拟五）已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD （ AD ? AB ） ，将 纸片折叠一次，使点 A 与 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于 E ，交 BC 边于 F ，分别 连结 AF 和 CE ． （１）求证：四边形 AFCE 是菱形；2 （２）若 AE ? 10cm ， △ ABF 的面积为 24cm ，求 △ ABF 的周长；（３）在线段 AC 上是否存在一点 P ，使得 2AE ＝AC?AP？ 若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．2答案: （１）证明：由题意可知 OA＝OC，EF⊥AO ∵AD∥BC ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO ∴△AOE≌△COF ∵AE＝CE，又 AE∥CF ∴四边形 AECF 是平行四边形 ∵AC⊥EF ∴四边形 AEFC 是菱形（2）∵四边形 AECF 是菱形 ∴AF＝AE＝10???????4 分 设 AB＝ａ，BF＝ｂ，∵△ABF 的面积为 24 a ＋b ＝100，ab＝48 (a＋b） ＝196 ａ＋ｂ＝14 或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去） △ABF 的周长为ａ＋ｂ＋10＝24???????8 分 （３）存在，过点 E 作 AD 的垂线，交 AC 于点 P，点 P 就是符合条件的点 证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP ∴△AOE∽△AEP ∴2 2 2AE AO ? AP AE∴ AE ＝AO?AP2京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn∵四边形 AECF 是菱形，∴AO＝ ∴AE ＝2 21 AC 21 AC?AP 2∴2AE ＝AC?AP???????12 分9. （2011 深圳市全真中考模拟一） 如图 l，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， E 是 AC 上一点，连结 EB，过点 A 作 AM ? BE，垂足为 M，AM 交 BD 于点 F． (1)求证：OE=OF； ( 2)如图 2，若点 E 在 AC 的延长线上，AM ? BE 于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条 件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．A O F B M 图1 C E DA O M B F 图2DCE答案：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形． ∴ ? BOE= ? AOF＝90 ? ．OB＝OA ?????? (1 分) 又∵AM ? BE，∴ ? MEA+ ? MAE＝90 ? = ? AFO+ ? MAE ∴ ? MEA＝ ? AFO??????（2 分） ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ?????? (3 分) ∴OE=OF ??????(4 分) (2)OE＝OF 成立 ?????? (5 分) 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ ? BOE= ? AOF＝90 ? ．OB＝OA ?????? (6 分) 又∵AM ? BE，∴ ? F+ ? MBF＝90 ? = ? B+ ? OBE 又∵ ? MBF＝ ? OBE ∴ ? F＝ ? E??????（7 分） ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ?????? (8 分) ∴OE=OF ??????(9 分)10.（浙江杭州金山学校 2011 模拟） （10 分） （根据 2010 年中考数学考前知识点回归＋巩固 专题 13 二次函数题目改编） 如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．已知 OA＝3，OC＝2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D， 将△BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处． （1）直接写出点 E、F 的坐标； （2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴 于点 P，且以点 E、F、P 为 顶点的三 ．．． 角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周 长最小？如果存在， 求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn， ； F (1， 2) ．???????????????2 分 答案：解： （1） E (31)（2）在 Rt△EBF 中， ?B ? 90 ，?? EF ? EB2 ? BF 2 ? 12 ? 22 ? 5 ． 设点 P 的坐标为 (0，n) ，其中 n ? 0 ， ， 2) ， ∵顶点 F (1 ∴设抛物线解析式为 y ? a( x ? 1)2 ? 2(a ? 0) ．2 2 ①如图①，当 EF ? PF 时， EF ? PF ，?12 ? (n ? 2)2 ? 5 ． 解得 n1 ? 0 （舍去） ； n2 ? 4 ． ? P(0， 4) ．? 4 ? a(0 ? 1)2 ? 2 ．解得 a ? 2 ． ? 抛物线的解析式为 y ? 2( x ? 1)2 ? 2 ???????????????????2 分2 2 ②如图②，当 EP ? FP 时， EP ? FP ，?(2 ? n)2 ? 1 ? (1 ? n)2 ? 9 ． 5 解得 n ? ? （舍去） ．????2 分 2 ③当 EF ? EP 时， EP ? 5 ? 3 ，这种情况不存在．?????????????1 分 2 综上所述，符合条件的抛物线解析式是 y ? 2( x ? 1) ? 2 ． （3）存在点 M ，N ，使得四边形 MNFE 的周长最小． 如图③，作点 E 关于 x 轴的对称点 E ? ，作点 F 关于 y 轴的对称点 F ? ，连接 E ?F ? ，分别与 x 轴、 y 轴交于点 M ，N ，则点 M ，N 就是所求点．??????????????1 分 ? E?(3， ? 1) ， F ?(?1，， 2) NF ? NF ?，ME ? ME? ． ? BF ? ? 4，BE? ? 3 ．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn? FN ? NM ? ME ? F ?N ? NM ? ME ? ? F ?E ? ? 32 ? 42 ? 5 ．又? EF ? 5 ， 的 周 长 最 小 值 是 ? FN ? NM ? ME ? EF ? 5 ? 5 ， 此 时 四 边 形 M N F E 5 ? 5 ．????????????????????????2 分 11. （河南新乡 2011 模拟） （10 分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形 纸片 ABCO．将 纸片翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上，记 为 B′，折痕为 CE，已知 tan∠OB′ C＝3 ． 4（1）求 B′ 点的坐标； （2）求折痕 CE 所在直线的解析式．答案：解： （1）在 Rt△B′OC 中，tan∠OB′C＝3 ，OC＝9， 49 3 ? ∴ OB? 4 ． ???????????????????????????３分解得 OB′＝12，即点 B′ 的坐标为（12，0） ． ???????????????４分 （2）将纸片翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上的 B′ 点，CE 为折痕， ∴ △CBE≌△CB′E，故 BE＝B′E，CB′＝CB＝OA． 由勾股定理，得 CB′＝ OB? ? OC ＝15． ? ?????????????５分2 2设 AE＝ a，则 EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3． 由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得 a＝4． ∴点 E 的坐标为（15，4） ，点 C 的坐标为（0，9） ． ５分?9 ? b, ? 4 ? 15k ? b. 设直线 CE 的解析式为 y＝kx+b，根据题意，得 ??b ? 9, ? 1 ? k ?? . ? 3 解得 ?????? ８分∴CE 所在直线的解析式为 y＝－1 x+9． ???????１0 分 312. （河南新乡 2011 模拟） （ 10 分）京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn如图，⊙O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 B 作 l 的 垂线 BD，垂足为 D，BD 与⊙O 交于点 E． (1) 求∠AEC 的度数； （2）求证：四边形 OBEC 是菱形．答 案：(10 分)（1）解：在△AOC 中，AC=2， ∵ AO＝OC＝2， ∴ △AOC 是等边三角形．???2 分 ∴ ∠AOC＝60°， ∴∠AEC＝30°．???????4 分 （2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l． ∴ OC∥BD． ????????5 分 ∴ ∠ABD＝∠AOC ＝60°． ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ △AEB 为直角三角形，∠EAB＝30°． ?????7 分 ∴∠EAB＝∠AEC． ∴ 四边形 OBEC 为平行四边形． ????????????９分 又∵ OB＝OC＝2． ∴ 四边形 OBEC 是菱形． 13、 （北京四中 2011 中考模拟 12）已知：如图 1，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，点 F 是 CB 的延长线上一点，且 EA⊥ AF. A 求证： DE=BF. 答案： 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90° ∵EA⊥AF，∴∠BAF+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠DAE， ∴Rt△ABF≌Rt△ADE，∴DE=BF. 14、 （2011 北京四中模拟）如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于 E，A F⊥CD 于 F。求证： D ABE ≌ D ACF 答案：∵菱形 ABCD B京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/D EF AB 图1CC E D 第 14 题图 F京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn?C ∵ AE ^ BC, AF ^ CD ∴ ? AEB ? AFC 90? ∴ D ABE ≌ D ACF （AAS）15、 （2011 杭州模拟 20）如图（1） ，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上， E 是线段 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG （1） 连结 GD，求证△ADG≌△ABE； （2） 如图（2） ，将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=1,BC=2，E 是线段 BC 上一 动点（不含端点 B,C ）,以 AE 为边在直 线 MN 的上方作矩形 AEFG ，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上． 判断当 E 由 B 向 C 运动时， ∠FCN 的大小是否保持不变， 若∠FCN 的大小不变， 求 tan ∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，G G A F M B E(1)∴ AB = AC, ? B请举例说明．ADD FCNMBE(2)CN（第 15 题）答案： （1）∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90? ∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD ∴∠BAE＝∠DAG ∴△ BAE≌△DAG ????4 分 （2）当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，????1 分 G 理由是：作 FH⊥MN 于 H 由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90? 结合（1） （2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG D A 又∵G 在射线 CD 上 ∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90? ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE， M B E C EH FH FH ∴ ＝ ＝ 图 （ 2 ） AB BE CH ∴在 Rt△FEH 中，tan∠FCN＝ ＝F H NFH EH ＝2 CH AB ∴当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan∠FCN＝2 ????5 分16、 （2011 年黄冈浠水模拟 1）如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直 线 MN∥BC， 设 MN 交∠BCA 的角平分线于点 E， 交∠BCA 的外角 A 平分线于点 F． 当点 O 运动到何处时， 四边形 AECF 是矩形？ 并 证明你的结论． 答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/M BEO CFN京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn∵CE平分 ?BAC ， ∴∠OCE=∠ECB． 又∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠ECB． ∴∠OCE=∠OEC． ∴ EO ? CO ． 同理， FO ? CO ．∴ EO ? FO ． ∵ EO ? FO ，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形. 又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP， ∴ ?ECF ? 90? ． ∴四边形AECF是矩形． 17、 （2011 年黄冈浠水模拟 2）已知如图在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中 点，BD 是对角线，AG∥BD 交 CB 的延长线于 G. （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边 形？并证明你的结论。 答案： （ 1 ）由 AD=BC ，∠ DAE= ∠ BCF ， AE=CF ，证△ ADE ≌△ A CBF????2 分 （2）四边形 AGBD 是矩形????3 分E G B D F C由题意可知：AE=DE=BE，∴∠DAE=∠ADE，∠EDB=∠EBD，∴∠ADE+∠EDB= 900 ， 又由 AD∥BG，AG∥BD，∴四边形 AGBD 是矩形????7 分 18.（2011 深圳市模四） （本小题满分 7 分） （1） 如图， 在 △ ABC 中，?ACB ? 90 ，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于 D ， 交 AB 于?E ，且 CF ? BE ．①求证：四边形 BECF 是菱形。②当 ? A 的大小满足什么条件时， 菱形 BECF 是正方形？请回答并 证明你的结论。 答案： （1）证明：①∵EF 垂直平分 BC，∴EB=EC，FB=FC。 又∵CF=BE，∴EB=EC=FB=FC。 ∴四边形 BECF 是菱形。 ②∠A 等于 45°时，四边形 BECF 是正方形。ＢＥＤＦＡ第 18 题 图Ｃ19． （2011 年海宁市盐官片一模）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC ＝5．点 M，N 分别在边 AD，BC 上运动，并保持 MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为 E，F． （1）求梯形 ABCD 的面积； （2）求四边形 MEFN 面积的最大值． （3）试判断四边形 MEFN 能否为正方形，若能，求出正方 形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由． 答案：⑴过 C 作 CG⊥AB 于 GA E F B M D C N京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn∵AB=7,CD=1 ∴BG= 由 BC=5 S 梯形ABCD =7 ?1 ?3 2∴CG= 5 2 ? 32 =41 ? 4?1 ? 7? ? 16 2⑵∵MN∥AB,且 ME⊥AB,NF⊥AB ∴四边形 EFNM 为矩形 设 BF 为 x，四边形 MEFN 的面积只为 y ∵NF∥CG, ∴ ? BFN∽ ? BGCBF NF NF x 即 ? ? BG CG 4 3EF\7-2x∴NF=4 x 34 x （7-2x） 3 7 49 当 x= 时，四边形 MEFN 的最大值为 4 6 4 21 ⑶当 x =7-2x 时，即 x= ，MEFN 为正方形 3 10 4 21 14 此时正方形边长为 ? ? 3 10 5 196 正方形面积为 25∴y= A组 一 选择题 1．(2011 上海市杨浦区中考模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AD =4，DC =3，将△ADC 绕点 A 按逆时针方向旋转到△AEF （点 A、 B、 E 在同一直线上） ， 则 C 点运动的路线的长度为 . E F 【答案】5 ?； 2BCA(第 17 题图)D2. （2011 杭州市余杭中考模拟） 如图，矩形 ABCG （ AB ? BC ）与矩形 CDEF 全等，点 B、C、D 在同一条直线上， ?APE 的顶点 P 在 线段 BD 上移动，使 ?APE 为直角的点 P 的个 E 数是 A．0 B．1 C．2 D．3 A 【答案】C G京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/BPCD（第 8 题）京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn3. (2011 杭州市金山学校中考模拟)（原创）如图，把一个长方形的纸片对折两 次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为 60? 的菱形，剪口与折痕所成的角 ? 的度数应为（ ▲ ） A．15?或 30? B．30?或 45? C．45?或 60? D．30?或 60? 【答案】D 4. (2011 杭州市金山学校中考模拟) （引黄冈市 2010 年秋期末考试 九年级数学模拟试题） 正方形 ABCD 、 正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示， 点 G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的边长为 4，则 △DEK 的面 积为（ ▲ ） Ａ、10 Ｂ、12 Ｃ、14 Ｄ、16??DC GFR PKABE【答案】D 5、 （南京市浦口区 2011 年中考一模）如图，从边长为（a＋3）cm 的正方形纸片中剪去一 个边长为 3cm 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙） ，若拼成的矩 形一边长为 acm，则另一边长是（ ▲ ） A． （2 a＋3）cm B． （2 a＋6）cm C． （2a＋3）cm D． （a＋6） cma a+3 答案：D （第 1 题） 6． （南京市下关区秦淮区沿江区 2011 年中考一模）将矩形纸片 ABCD 按如图所示的 方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB＝6，则 BC 的长为( ▲ ) A．1 B．2 2 C．2 3 D．12答案：C7. （2011浙江新昌县模拟）如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形， 那么需要添加的条件是京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/ 第 4 题图京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cnA. AB ? CD 【答案】DB. AD ? BCC. AB ? BCD. AC ? BD二、填空题 1. (2011 杭州市金山学校中考模拟)（原创） 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD ? PE 的和最小，则这个最小 A D 值为 ▲ . 【答案】2 3P E2． （2011 浙江金衢十一校联考）如图正方形 ABCD，其边长为 4．P 是 射线 AB 上的点，且 AP=x．将△APD 沿过点 D 的折痕 PD 折叠，点 A 的 / / 落点记为 A ，若△A DP 与正方形 ABCD 的重叠面积记为 S， B （1）若 x=6, 则 S= ▲ （2） ≤S≤1 时， 则 x 的取值范围为 （用含 x 的不等式表示） ____ ▲ ______． 【答案】CC1 2D16 31 1 ?x? 或 32 ≤x≤64 4 2A3．(2011 浙江舟山市模拟)如图，Rt△ABC 中，∠C= Rt∠，AC=10， BC=20， 正方形 DEFG 顶点 G、F 分别在 AC、BC 边上，D、 E 在边 AB 上，且 JE//GH//BC，IF//DK//AC，则四边 形 HIJK 的面积= 【答案】 。B 第16题图P400 494． （南京市建邺区2011年中考一模）一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图） ，则矩 形的长与宽的比为 ▲ ．（第 3 题图）答案：2U 3 （或22 3 或 ） 3 35． （南京市下关区秦淮区沿江区 2011 年中考一模）如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 边 AB 上， 点 G 在边 AD 上， 且∠ECG＝45°， 点 F 在边 AD 的延长线上， 且 DF= BE． 则 下列结论：①∠ECB 是锐角， ；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG= BE＋GD 中一定 成立的结论有 ▲ (写出全部正确结论)． 答案： ①③④京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn三 解答题 1． （2011 浙江金衢十一校联考） （12 分）已知，边长为 5 的正方形 ABCO 在如图所示的直角 坐标系中，点 M（t，0）为 x 轴上一动点，过 A 作直线 MC 的 垂线交 y 轴于点 N． （1） 当 t=2 时，求直线 MC 的解析式； （2） 设△AMN 的面积为 S，当 S＝3 时，求 t 的值； （3） 取点 P（1，y） ，如果存在以 M、N、C、P 为顶点的 四边形是等腰梯形，当 t＜0 时，甲同学说：y 与 t 2 2 2 应同时满足方程 t －yt－5＝0 和 y －2t －10y＋26＝0； 2 乙同学说：y 与 t 应同时满足方程 t －yt－5＝0 2 和 y ＋8t－24＝0，你认为谁的说法正确，并说明理由． 再直接写出 t＞0 时满足题意的一个点 P 的坐标．y B N A O C D xM【答案】 （1）5 y ? ? x?5 ???? （2 分） 2 1 2 5 （2）S＝ t ＋ t（t＞0）??（1 分） t＝1??（1 分） 2 2 1 2 5 S＝－ t － t（－5＜t＜0）?（1 分） t＝－2，t＝－3 （1 分） 2 2 1 2 5 S＝ t ＋ t（t＜－5）??（1 分） t＝－6??（1 分） 2 2（3） 所以 都正确，作 PH⊥y 轴 ，则△PHN∽△MOC， 得2?t 1 ? ， 5 y ?tt －yt－5＝0， 满足 PN∥CM ????（1 分） 2 2 由 Rt△PCH 得 1＋（y－5） ＝2t ， 2 2 所以 y －2t －10y＋26＝0 ，满足 PC＝MN， 故甲正确??（1 分） 直线 x＝1 与 x 轴交于 E，由 Rt△PＭE 得 ， 2 2 2 （5－ｔ） ＝y ＋（1－t） 2 所以 y ＋8t－24＝0 ，满足 PM＝CN， 故乙正确 ??（1 分） （每个方程 1 分） P（1，6）????（1 分）2.（2011 浙江新昌县模拟）将正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转角 ? 得到正方形 A1 B1C1 D1 ， 如图 1 所示.京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn（1）当 ? =45 时(如图 2)，若线段 OA 与边 A1 D1 的交点为 E ，线段 OA1 与 AB 的交点o为 F ，可得下列结论成立 ① ?EOP ? ?FOP ；② PA ? PA 1 ，试选择一个证明. （2）当 0 ? ? ? 90 时,第（1）小题中的结论 PA ? PA 1 还成立吗?如果成立，请证明;o o如果不成立，请说明理由. （3）在旋转过程中，记正方形 A1 B1C1 D1 与 AB 边相交于 P,Q 两点，探究 ?POQ 的度数 是否发生变化？如果变化，请描述它与 ? 之间的关系 ;A 如果不变，请直接写出 1?POQ 的度数.AA1PFBB1D1EAD1PQOB DOC图2C1B1CDC1图1【答案】 （1）若证明① ?EOP ? ?FOP 当 ? =45 时,即 ?AOA 1 ? 45 ,又 ?PAO ? 45ooo∴ ?PFO ? 90 ∴ EO ? FO ?o,同理 ?PEO ? 90oAB 22分在 Rt ?EOP 和 Rt ?FOP 中，有 ? ∴ ?EOP ? ?FOP 若证明② PA ? PA 1 法一证明:连结 AA1 ,则?OE ? OF ?OP ? OP2分京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn∵ O 是两个正方形的中心，∴ OA ? OA1?PA1 O ? ?PAO ? 45?∴ ?AA1O ? ?A1 AO 2分∴ ?AA 1O ? ?PA 1O ? ?A 1 AO ? ?PAO 即 ?AA1 P ? ?A1 AP ∴ PA ? PA 1 法二：证明，同①先证明 ?EOP ? ?FOP 得 ?EPO ? ?FPO ∵ ?APE ? ?A1 PF ∴ ?APE ? ?EPO ? ?A1 PF ? ?FPO 即 ?APO ? ?A1 PO 2分 在 ?APO 和 ?A1 PO 中有 2分OP ? OP ? ? ? ?APO ? ?A1 PO ??PAO ? ?PA O ? 45? 1 ?∴ ?APO ≌ ?A1 PO ∴ PA ? PA 1 （2）成立 1分 2分A PD1E FA1 QB证明如下：法一证明:连结 AA1 ,则 ∵ O 是两个正方形的中心，∴ OA ? OA1O?PA1 O ? ?PAO ? 45∴ ?AA1O ? ?A1 AOB1?D2分C1C∴ ?AA 1O ? ?PA 1O ? ?A 1 AO ? ?PAO 即 ?AA1 P ? ?A1 AP ∴ PA ? PA 1 2分法二京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn如图，作 OE ? A1 D1 , OF ? AB ,垂足分别为 E,F 则 OE ? OF , ?PFO ? 90o, ?PEO ? 90o在 Rt ?EOP 和 Rt ?FOP 中，有 ? ∴ ?EOP ? ?FOP?OE ? OF ?OP ? OP?EPO ? ?FPO2分∵ ?APE ? ?A1 PF ∴ ?APE ? ?EPO ? ?A1 PF ? ?FPO 即 ?APO ? ?A1 PO 在 ?APO 和 ?A1 PO 中有OP ? OP ? ? ? ?APO ? ?A1 PO ??PAO ? ?PA O ? 45o 1 ?∴ ?APO ≌ ?A1 PO ∴ PA ? PA 1 （3）在旋转过程中, ?POQ 的度数不发生变化， 2分 1分 2分?POQ ? 45?（第 21 题图） 3．(2011 浙江舟山市模拟)（本题 10 分）如图，已知 Rt△ ABC ， AB ? AC ，?ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ，BD 的垂直平分线 分别交 AB , BC 于点 E、F ， CD ? CG ． （1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两 个 等 腰 梯 形 ． 那 么 ， 构成 菱 形 的 四 个 顶 点 是 ▲ 或 ▲ ；构成等腰梯形的四个顶点是 ▲ 或 ▲ ； （2）请你各选择其中一个图形加以证明。A E T B F G （第 22 题图） C D【答案】解： （1）构成菱形的四个顶点是 B、E、D、F 或 E、D、C、G ??????? 2 分 构成等腰梯形的四个顶点是 B、E、D、C 或 E、D、G、F； ????????? 2 分 （2）证出一个得 3 分A E1 3 4 2D京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/T F G CB京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn（）∵ EF 垂直平分 BD （）∵菱形 BEDF ∴ EF ? BD ， BE ? DE , BF ? DF ∴ ED ∥ BC ??? 1 分 ? 3 ? ? 4 ? 90 ? ∴ ∵ AB ? AC ∵ BD 平分 ?ABC ∴ ?ABC ? ?ACB ??? 1 分 ? 1 ? ? 2 ∴ ∴四边形 EDCB 是等腰梯形．??1 分 ∵ BT ? BT ∴ ?BET ≌ ?BFT ∴ BE ? BF ???? 2 分 ∴ BE ? BF ? DE ? DF ??? 1 分 ∴四边形 BEDF 是菱形． 或（）∵等腰梯形 EDCB （）∵菱形 BEDF ， EDCG ∴ BE ? CD ∴ BE ? BF , CD ? CG ∵ ED ? BE , CD ? CG ∵ BE ? CD ∴ ED ? CG ∴ BF ? CG ∵ ED ∥ BC ∵ ?ABC ? ?ACB ∴四边形 EDCG 是平行四边形 ∴ ?BEF ≌ ?CDG ∵ CD ? CG ∴ EF ? DG ∴四边形 EDCG 是菱形． ∵ ED ∥ BC ∴四边形 EDGF 是等腰梯形．4. (2011 珠海市香洲区模拟)设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二 个正方形 ACEF，再以对角线 AE 作第二个正方形 AEGH，如此下去? (1)记正方形 ABCD 的边长为 a1 =1，按上述方法所作的正方形边长依次为 a2 , a3 , a4 ,?an ， 请求出 a 2 , a3 , a 4 的值； (2)根据以上规律写出 an 的值.【答案】 解：⑴ a1 ? 1a2 ? 12 ? 12 ? 2a3 ?2??2 分2? 2? ? ? 2??2??3 分 ??4 分a4 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 25. (2011 珠海市香洲区模拟)已知，如图，在平 行四边形 ABCD 中，AE 是 BC 边上的高，将△ABE 沿 BC 方向平移，使点 E 与点 C 重合，得△ GFC.京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn(1)求证：BE=DG； (2)∠若 B=60°，当 AB 与 BC 满足什么数量关系时，四边形 ABFG 是菱形？证明你的结论. A GDB 【答案】 证明： （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ? CD ． ??1 分 ∵ AE 是 BC 边上的高，且 CG 是由 AE 沿 BC 方向平移而成． ∴ CG ⊥ AD ． ??2 分 ∴ ?AEB ? ?CGD ? 90° ． ∵ AE ? CG ， ∴ Rt△ ABE ≌ Rt△CDG ． ??3 分 ∴ BE ? DG ． ??4 分EFC3 AB 时，四边形 ABFC 是菱形． ??5 分 2 ∵ AB ∥ GF ， AG ∥ BF ， ∴四边形 ABFG 是平行四边形． ??6 分 A Rt △ ABE ? B ? 60 ° ∵ 中， ， ∴ ?BAE ? 30° ， 1 ∴ BE ? AB ． ??7 分 2 B 3 E ∵ BE ? CF，BC ? AB ， 2 1 ∴ EF ? AB ． 2 ∴ AB ? BF ． ??8 分 ∴四边形 ABFG 是菱形． ??9 分(2）当 BC ? 6． （南京市高淳县 2011 年中考一模）GDFC(第 ，正方形 5 题) (9 分)如图(1) ABCD 中，点 H 从点 C 出发，沿 CB 运动到点 B 停止．连结 DH 交正方形对角线 AC 于点 E，过点 E 作 DH 的垂线交线段 AB、CD 于点 F、G． （1）求证： DH＝FG； （2）在图(1)中延长 FG 与 BC 交于点 P，连结 DF、DP（如图（2） ） ，试探究 DF 与 DP 的关系，并说明理由．A F E B H 图（1） 京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/ G C D京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cnA F E B H 图（2） （第 28 题） CDG P解 ： （1）证明：过点 F 作 FP⊥DC 于点 P 在正方形 ABCD 中易证 FP＝DC???1 分 又因为 FP⊥DC，易证∠PFG＝∠HDC???2 分 ∵FP＝DC，∠PFG＝∠HDC，∠FPG＝∠DCH＝90° ∴△FPG≌△DCH ∴DH＝FG ???3 分 ???4 分A F E B H 图（1）DPG C（2）过点 E 分别作 AD、BC 的垂线，交 AD、BC 于点 M、N，交 AB、CD 于点 R、T． 因为点 E 在 AC 上，可得四边形 AREM、ENCT 是正方形．???6 分 易证△FRE≌△DME≌△ENP ∴FE＝DE＝EP ???8 分A F R B E H N 图（2） T G C P M D又∵DE⊥FP，∴DF 与 DP 的关系为相等且垂直．??9 分7． （南京市鼓楼区 2011 年中考一模） （7 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，E、F 为 AB 上两点，且△DAF≌△CBE． 求证： （1）∠A＝90°； （2）四边形 ABCD 是矩形． CD O A BEF答案： （本题 7 分） 证明： （1）∵△DAF≌△CBE，∴∠A＝∠B． ???????????1 分 ∵AD//BC，∴∠A＋∠B＝180°．???????????2 分 ∴2∠A ＝180°． 即∠A ＝90°．??????????????????3 分 （2）∵△DAF≌△CBE，∴AD＝BC．???????????4 分京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn又∵AD//BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．???????????6 分 ∵∠A ＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形．???????????7 分 7． （南京市鼓楼区 2011 年中考一模） （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4 3，BC＝4．点 M 是 AC 上动点（与点 A 不重合） ，设 AM＝x，过点 M 作 AC 的垂线，交直线 AB 于点 N． 8 3 （1）当△AND 的面积为 时，求 x 的值； 3 1 （2）以 D、M、N 三点为顶点的△DMN 的面积能否达到矩形 ABCD 面积的 ？若能，请求出此 8 时 x 的值，若不能，请说明理由．D MD CANB答案： （本题 10 分）BC 4 解： （1）在 Rt△ABC 中，AB＝4 3，BC＝4，∠B＝90°，∴tan∠BAC＝ ＝ ． AB 4 33 ．∵∠BAC 是锐角，∴∠BAC＝30°． 3 在 Rt△AMN 中，AM＝x，∠AMN＝90°， 3 MN 2 3x ∴MN＝AM?tan∠BAC＝ x，AN＝ ＝ ．?????????2 分 3 sin∠BAC 3 ∴tan∠BAC＝ 1 1 2 3x 8 3 ∴S△ADN＝ ?AD?AN＝ ?4? ＝ ．∴x＝2． 2 2 3 3 （2）设 DN 交 AC 于点 E． 1 当点 E、M 重合时，x＝AM= ×4=2 2 ①当 0＜x＜2 时，点 M 在△ADN 的内部． 过 D 作 DF⊥AC，垂足为 F． ∴DF＝AD?sin60°＝4× 3 ＝2 3． 2 ?????????4 分 ?????????3 分1 3 3 2 1 2 3x 4 3 ∵S△AMN＝ ×x× x＝ x ，S△ADN＝ ×4× x＝ x， 2 3 6 2 3 3S△ADM＝ × x×2 3＝ 3x，∴S△DMN＝S△ADN－S△AMN－S△ADM＝ 4 3 3 3 3 x－ x2－ 3x＝ x－ x2． 3 6 3 61 21 3 3 2 1 2 设 S△DMN＝ S 矩形 ABCD， x－ x ＝ ×4 3×4＝2 3，2x－x ＝12． 8 3 6 8 2 2 ∴x －2x＋12＝0．∵ (－2) －4×1×12＜0，∴该方程无实数根． ???6 分 ②当 2＜x≤8 时，点 M 在△ADN 的外部． ∴S△DMN＝S△AMN＋S△ADM －S△ADN＝ 3 2 4 3 3 3 x ＋ 3x－ x＝ x2－ x． 6 3 6 3京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn1 3 2 3 2 设 S△DMN＝ S 矩形 ABCD， x － x＝2 3， x －2x＝12． 8 6 3 ∴x －2x－12＝0．∴x1＝1－ 13＜0，舍去，x2＝1＋ 13． ∵3＜ 13＜4，∴4＜1＋ 13＜5． ∴x＝1＋ 13满足条件． 1 ∴当 S△DMN＝ S 矩形 ABCD 时，x＝1＋ 13．?????????????10 分 8 8． （南京市建邺区 2011 年中考一模） （6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为 D，2AE∥BC, DE∥AB.证明： （1）AE=DC； （2）四边形 ADCE 为矩形． A E答案： （本题 6 分） 证明： B C D （1）在△ABC 中，∵AB=AC，AD⊥BC， （第 8 题图） ∴BD=DC?????????????????????????????????? 1分 ∵AE∥BC, DE∥AB， ∴四边形 ABDE 为平行四边形 ????????????????????????? 2 分 ∴BD=AE，????????????????????????????????? 3 分 ∵BD=DC ∴AE = DC．???????????????????????????????? 4 分 （2） 解法一：∵AE∥BC，AE = DC， ∴四边形 ADCE 为平行四边形． ???????????????????????? 5 分 又∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴四边形 ADCE 为矩形．??????????????????????????? 6 分 解法二： ∵AE∥BC，AE = DC， ∴四边形 ADCE 为平行四边形 ????????????????????????? 5 分 又∵四边形 ABDE 为平行四边形 ∴AB=DE．∵AB=AC，∴DE=AC． ∴四边形 ADCE 为矩形．??????????????????????????? 6 分 9． （南京市江宁区 2011 年中考一模） （本题 6 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在 BC 上， DF ? AE ，垂足为 F ，请你在 AE 上确定一点 G ，使 △ ABG ≌△DAF ，请你 写出两种确定点 G 的方案，并写出其中一种方案的具体作法和证明 △ ABG ≌△DAF ． 方案一： 方案二： （1）作法： ；(2) 证明：京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn答案：解：方案： （一）过点 B 作 BG⊥AE,垂足为 G； （二）在 AE 上截取 AG=DF； （三）作 ?ABG ? ?DAF 交 AE 于点 G；??????????2 分 （注：其中任意一个均可作为方案一，另外再选择一个作为方案二） （作法正确）?????????????????????????????3 分 （2）①如果是过点 B 作 BG⊥AE,垂足为 G，证明如下： ∵ DF ? AE ，BG⊥AE， ∴ ?DFA ? ?AGB ? 90? .???????????????????????4 分 由题意知， ?ADF ? ?DAF ? 90?, ?GAB ? ?DAF ? 90?, ∴ ?ADF ? ?GAB .??????????????????????????5 分 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=AB, △ABG ABG≌△ ≌△ DAF 中， ?DFA ? ?AGB ? 90? ， ?ADF ? ?GAB ，AD=AB, DAF 在△ 与 ∴ △ ABG ≌△DAF （AAS）. ?????????????????????6 分 ②如果是在 AE 上截取 AG=DF，证明如下： ∵ DF ? AE ，AD⊥AE， ∴ ?ADF ? ?DAF ? 90?, ?GAB ? ?DAF ? 90?, ∴ ?ADF ? ?GAB .??????????????????????????4 分 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=AB, ?????????????????5 分 △ABG ABG≌△ ≌△ DAF 中，AG=DF， ?ADF ? ?GAB ，AD=AB, DAF 在△ 与 ∴ △ ABG ≌△DAF （SAS）. ?????????????????????6 分 ③如果作 ?ABG ? ?DAF 交 AE 于点 G，证明如下： ∵ DF ? AE ，AD⊥AE， ∴ ?ADF ? ?DAF ? 90?, ?GAB ? ?DAF ? 90?, ∴ ?ADF ? ?GAB .??????????????????????????4 分 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=AB, ?????????????????5 分 △ABG ABG≌△ ≌△ DAF 中， ?ABG ? ?DAF ， AD=AB， ?ADF ? ?GAB DAF 在△ 与 ∴ △ ABG ≌△DAF （ASA）. ?????????????????????6 分 10． （南京市溧水县 2011 年中考一模） （8 分）在平面上有且只有 4 个点，这 4 个点中有一 个独特的性质：连结每两点可得到 6 条线段，这 6 条线段有且只有两种长度．我们把这四个 点称作准等距点 ．例如正方形 ABCD 的四个顶点(如图 1)，有 AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满 ．．．． 足这样性质的图形有很多，如图 2 中 A、B、C、O 四个点，满足 AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图 3 中 A、B、C、O 四个点，满足 OA=OB=OC=BC，AB=AC． A A D A O O C B B C B C （图 1） （1）如图，若等腰梯形 ABCD 的四个顶点是准等距点，且 AD∥BC． （图 3A （图 2） ） ①写出相等的线段（不再添加字母） ； ②求∠BCD 的度数． B （2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点， 并写出相等的线段． ．．．．． DC京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn解： （1）①AB=DC=AD， AC=BD=BC．?????????????????2 分 ②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，??3 分 ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB， ∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，????????????4 分 ∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，?????????????????5 分 设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2 x°，∠DBC= x°， ∴2 x+2 x+ x=180，解得 x=36， ∴∠BCD=72°．?????????????????????????6 分 （2） AB=BD=AD =AC，BC = CD． 或 AB= BC= CD=BD=AD，AC， ．??8 分11． （南京市溧水县 2011 年中考一模） （9 分）已知 AB ? 2，AD ? 4 ， ?DAB ? 90 ， E AD ∥ BC （如图） ． 是射线 BC 上的动点 （点 E 与点 B 不重合） ，M 是线段 DE 的中点． （1）设 BE ? x ， △ ABM 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值 范围； （2）如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长； （3）连结 BD ，交线段 AM 于点 N ，如果以 A，N，D 为顶点的三角形与 △BME 相似， 求线段 BE 的长．?AD MADB第 11 题图ECB备用图C解：解： （1）取 AB 中点 H ，连结 MH ，? M 为 DE 的中点，? MH ∥ BE ， MH ?又? AB ? BE ，? MH ? AB ． ??????????????????????? 2 分1 ( BE ? AD ) ． ????????? 1 分 21 1 AB?MH ，得 y ? x ? 2( x ? 0) ； ?????????????? 3 分 2 2 （2）过 D 作 DP⊥BC，垂足为 P，? ∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形 ABPD 是矩形． ? 以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切， 1 1 1 ? MH ? AB ? DE ， 又 MH ? ( BE ? AD ) ，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2??4 分 2 2 2 ? PD=AB=2，PE= x-4，DE2= PD2+ PE2，???????????????????5 分 4 2 2 2 ∴（x+2） =2 +（x-4） ，解得： x ? ． 3 4 ∴线段 BE 的长为 ．????????????????????????????6 分 3 （3）由已知，以 A，N，D 为顶点的三角形与 △BME 相似， 又易证得 ?DAM ? ?EBM ． ???????????????????????? 7 分 由此可知，另一对对应角相等 有两种情况：① ?ADN ? ?BEM ；② ?ADB ? ?BME ． ①当 ?ADN ? ?BEM 时，? AD ∥ BE ，??ADN ? ?DBE ．??DBE ? ?BEM ． ? DB ? DE ，易得 BE ? 2 AD ．得 BE ? 8 ； ????????????????? 8 分 ②当 ?ADB ? ?BME 时，? AD ∥ BE ，??ADB ? ?DBE ． ??DBE ? ?BME ．又 ?BED ? ?MEB ，? △BED ∽△MEB ． ? S△ ABM ?京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn?1 DE BE 2 1 2 2 2 2 ? ，即 BE ? EM ?DE = DE ，得 x = [2 +（x-4） ]． 2 2 BE EM 解得 x1 ? 2 ， x2 ? ?10 （舍去） ．即线段 BE 的长为 2． ????????????? 9 分 综上所述，所求线段 BE 的长为 8 或 2．12． （南京市六合区 2011 年中考一模） （8 分）我们通常可以对一些图形进行剪切,并利用图形的轴对称、平移、旋转等进 行图案设计,如图 1 中,可以沿线段 AE 剪切矩形ABCD,再将△ABE 通过变换与梯形 AECD 拼接成等腰梯形.请按下列要求进行图案设计: （1） 把矩形剪切 2 次拼接成一个菱形，请在图 2 中画出剪切线，再画出拼接示意图； （2） 把矩形剪切１次拼接成一个菱形，请在图３中画出剪切线，再画出拼接示意图.答案：（1）????????4 分（2）????????8 分13． （南京市六合区 2011 年中考一模） （9 分）如图 1，△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为 2cm 的菱形 DEFG 两 边 DG、DE 分别在 AC、AB 上．若菱形 DEFG 以 1cm/s 的速度沿射线 AC 方向平移． （1）经过 ▲ 秒菱形 DEFG 的顶点 F 恰好在 BC 上；（2）求菱形 DEFG 的面积； （3）设菱形 DEFG 与△ABC 的重合部分为 Scm ，菱形 DEFG 平移的时间为 t 秒．求京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/2京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cnS 与 t 的函数关系式．答案：解： （1）1．??????????2 分 （2）方法一： 如图，连接 GE、AF，交于点 O，并延长 AF 交 BC 于点 H． ∵由 AG=AE 得∠AGE=∠AEG，由 AB=AC 得∠B=∠C， 180°C∠A ∴∠AEG=∠C= ． 2 AE GE 12 ∴GE∥BC， ∴ = ，得 GE= ．??????3 分 AC BC 5 1 ∵菱形 AEFG 中，GE⊥AF，可得 AH⊥BC，故 CH= BC=3． 2 ∴Rt△ACH 中，AH= AC CCH =4． AO AE 8 16 ∴ = ，得 AO= ，于是 AF= ．????????4 分 AH AC 5 5 1 96 ∴S 菱形 AEFG= ?GE?AF= ． ??????????5 分 2 25 方法二：易求 S△ABC=12．??????3 分 S△AGE AE 2 S△AGE 2 2 由△AGE∽△ABC 得 =( ) ，即 =( ) S△ABC AC 12 5 ．?????4 分2 248 96 所以，S△AGE= 得 S 菱形 AEFG= ．??????????5 分 25 25 96 （3）①当 0≤t≤1 时，S= ．??????????6 分 25 ②当 1&t≤3 时， AD=t，则 CE=5CtC2=3Ct，EN=EC=3Ct， 故 FN=2C（3Ct）=tC1 ． S△FMN FN 2 由△FMN∽△ABC 可得 =( ) ． S△ABC AC 即 S△FMN tC1 2 12 2 =( ) ，所以 S△FMN= (tC1) ． 12 5 25京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn96 12 2 所以 S= S 菱形 AEFGCS△FMN= C (tC1) ．?????7 分 25 25 ③当 3&x≤5 时，AD=t，则 CD=5Ct， S DC 2 由△DMC∽△ABC 可得 =( ) ． S△ABC AC 即 S 5Ct 2 12 2 =( ) ，所以 S= (5Ct) ．????????8 分 12 5 25④当 t&5 时，S=0．??????????9 分14 、 （ 南 京 市 浦 口 区 2011 年 中 考 一 模 （ 6 分 ） 如 图 ， 在 ?ABC 和 ?DCB 中 ， AB ? DC, AC ? DB, AC 、 DB 交于点 M. （1）求证： ?ABC ≌ ?DCB ； N /B D, B N /A CC ,N （2） 作C 交 BN 于点 N， 四边形 BNCM 是什么四边形？请证明你的结 论.A M DB 解： （本题 6 分） （1）在△ABC和△DCB中， ?AB=DC,AC=DB,BC为公共边. ?△ABC≌△DCB N （SSS） ????????????????????2 分 （2）四边形 BNCM 为菱形????????????????????3 分 ?△ABC≌△DCB ?∠DBC=∠ACB 即 MB=MC ????????????????????4 分 ?BN‖AC ,CN‖BD ?四边形 BNCM 为平行四边形.????????????????????? 5 分 又?MB=MC ?平行四边形 BNCM 为菱形.???????????????????????? 6 分C15． （南京市下关区秦淮区沿江区 2011 年中考一模） (6 分)如图， 已知， 四边形 ABCD 为梯形，分别过点 A、D 作底边 BC 的垂线，垂足分别为点 E、F．四边形 ADFE 是何种特殊的四边形？请写出你的理由．A D答案：四边形 ADFE 是矩形．????1 分 B 证 明 ： 因 为 四 边 形 ABCD 为 梯 形 ， 所 以 AD ∥ E EF．????????2 分 因为 AE 是底边 BC 的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°． 所以，AE∥DF，????????4 分 所以，四边形 ADFE 为平行四边形．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/FC京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn又因为∠AEF＝90°，????????6 分 所以四边形 ADFE 是矩形． 16. （南京市玄武区 2011 年中考一模） （9 分）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开， 得到矩形 ABCD 和三角形 EGF 两张纸片，测得 AB=5，AD=4，EF= 5 5 ．在进行如下操作时遇 到了下面的几个问题，请你帮助解决．(1) 请你求出 FG 的长度． (2)在(1)的条件下， 小明先将三角形的边 EG 和矩形边 AB 重合， 然后将△EFG 沿直线 BC 向右平移，至 F 点与 B 重合时停止．在平移过程中，设 G 点平移的距离为 x，两纸片 重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y 与 x 的函数关系式，并求当重叠部 分面积为 10 时，平移距离 x 的值． (3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠 的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也 不可能相 等．请探索这两种情况下重叠部分面积 y 的范围(直接写出结果)． 答案：(1)∵在 Rt△EGF 中，EG=AB=5，EF= 5 5 , ∴FG= EF ? EG2? (5 5 ) 2 ? 5 2 ? 10 ?????..2 分 1 2 (2)当 0≤x≤4 时， y ? ? x ? 5 x ；???????.3 分 42当 4＜x≤10 时，y=－2x+24，????..4 分 当 y=10 时，x=7 或 x ? 10 ? 2 15 ．??????.6 分 (3)当 0≤x≤4 时， y ? ?1 2 1 2 x ? 5 x ? ? ? x ? 10 ? ? 25 ，顶点为(10，25)，??.7 分 4 4∴当 0≤x≤4 时，0≤y≤16．当 4＜x≤10 时，y=－2x+24，4≤y＜16． ∴当 4≤y&16 时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积 y 可能相等．???8 分 当 0≤y＜4 或 y=16 时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．?..9 分17． （南京市雨花台 2011 年中考一模） （8 分）如图，△ABC 中，点 O 在边 AB 上，过点 O 作 BC 的平行线交∠ABC 的平分线于点 D，过点 B 作 BE⊥BD，交直线 OD 于点 E。 （1）求证：OE＝OD ； （2）当点 O 在什么位置时，四边形 BDAE 是矩形？说明理由； （3）在满足（2）的条件下，还需△ABC 满足什么条件时，四边形 BDAE 是正方形？写出你 确定的条件，并画出图形，不必证明 。 ．．．．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn解： （1）∵ BD 是 ?ABC 的平分线，∴ ? 1 ∵ DE ∥ BC ，∴ ? 1 ? 3 ∴? 2 ? 3 ∴ OB = OD ∵ BE ^ BD ∴ ? EBD?? 2。90?∴ ? 4 ? 2 ? 5 ? 3 90 ∴? 4 ? 5 ∴ OE = OB ∴ OE = OD ?????????3 分 （2）当点 O 是边 AB 的中点时，四边形 ABCD 是矩形。????4 分 理由：当点 O 是边 AB 的中点时， OA = OB ∵ OE = OD ∴四边形 BDAE 是平行四边形 ∵ ? EBD 90 ∴四边形 BDAE 是矩形 ?????????5 分 （3）△ ABC 是以 ?ABC 为直角的直角三角形时， 四边形 BDAE 是正方形。 ?????????6 分 （说出“ ?ABC 为直角”即可） 如图 2。 （可以不将四边形 BDAE 画完整） ?????????8 分 （其它解法，正确合理可参照给分 。 ） 18、(2011 海淀一模) 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB ? 6, BC ? 10 .第一次将纸片折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕与?BD 交于点 O1 ；设 O1 D 的中点为 D1 ，第二次将纸片折叠使A点 B 与点 D1 重合，折痕与 BD 交于点 O2 ；设 O2 D1 的中点 为 D2 ，第三次将纸片折叠使点 B 与点 D2 重合，折痕与 BD 交于点 O3 ，? .按上述方法折叠，第 n 次折叠后的折痕与 ， BOn = ． BD 交于点 On ，则 BO1 =DBCADAD1DAD1 O3 O2 O1 D2DO1京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/O2O1CBCBBC京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn?第一次折叠第二次折叠第三次折叠?考查内容: 答案： 23n ?1 22 n ? 319、 （2011 名校联合一模）如图，已知，四边形 ABCD 为梯形，分别过点 A、D 作底 边 BC 的垂线，垂足分别为点 E、F．四边形 ADFE 是何种特殊的四边形？请写 出你的理由．A DBEFC考查内容：矩形 菱形 正方形的判别 答案：四边形 ADFE 是矩形．????1 分 证明：因为四边形 ABCD 为梯形，所以 AD∥EF．????????2 分 因为 AE 是底边 BC 的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°． 所以，AE∥DF，????????4 分 所以，四边形 ADFE 为平行四边形． 又因为∠AEF＝90°，????????6 分 所以四边形 ADFE 是矩形． 20、 （2011 朝阳区一模） 如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，将矩形 ABCD 翻折，使得 点 B 落在 CD 边上的点 E 处，折痕 AF 交 BC 于点 F，求 FC 的长．A DEBFC考查内容: 矩形 菱形 正方形 答案：解：由题意，得 AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. ?????????????? 1 分 在 Rt△ADE 中，由勾股定理，得 DE=3. ?????????????? 2 分 在矩形 ABCD 中，DC=AB=5. ∴CE=DC-DE=2. ????????????????????????? 3 分 设 FC=x，则 EF=4-x. 在 Rt△CEF 中， x2 ? 22 ? ?4 ? x?2 . .????????????????? 4 分京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn解得 x ? 即 FC=3 . 2??????????????????????????? 5 分3 . 2 21、(2011 怀柔一模) （本题满分 4 分） （1）如图①两个正方形的边长均为 3，求三角形 DBF 的面积. （2）如图②，正方形 ABCD 的边长为 3，正方形 CEFG 的边长为 1, 求三角形 DBF 的面积. （3）如图③，正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为 b ，求三角形 DBF 的面积.从 中你能得到什么结论. 结论是：三角形 DBF 的面积的大小只与 a 有关， 与 b 无关. （没写结论也不扣分） 考查内容： 答案：解： （1） （2）上面计算9 29 2?????????（2 分）a2 ????（2 分） 2结论是：三角形 DBF 的面积的大小只与 a 有关， 与 b 无关. （没写结论也不扣分） 22、(2011 广东化州二模) （本小题满分 10 分） 如图 1，在边长为 5 的正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是 BC 、 DC 边上的点，且AE ? EF ， BE ? 2 .（1）求 EC ∶ CF 的值； （2）延长 EF 交正方形外角平分线 CP于点P （如图 2） ，试判断 AE与EP 的大小关系， 并说明理由； （3）若将“边长为 5 的正方形”改为“BC 长为 m(m&2)，AB 长为 n（n&2） ，的矩形” ，其 他条件不变，试判断 AE与EP 的大小关系，并说明理由； D A D A F B E 图2 C PF B E 图1 C考查内容：京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn答案：解： （1）? AE ? EF ??2 ? ?3 ? 90°AD? 四边形 ABCD 为正方形??B ? ?C ? 90°??1 ? ?3 ? 90° ?1 ? ? 2???????????1 分 1 3 B E F 2 C??ABE ? ?EFC ????????????????2 分EC ∶ CF =AB∶BE=5:2 ?????????????3 分? BM ? BE ．??BME ? 45° ，??AME ? 135° ．（2）在 AB 上取一点 M ，使 AM ? EC ，连接 ME ．????（4 分）? CF 是外角平分线，??DCF ? 45° ，??ECF ? 135°．??AME ? ?ECF ． ? ?AEB ? ?BAE ? 90° ， ?AEB ? ?CEF ? 90° ，? ?BAE ? ?CEF ．?△ AME ≌△BCF （ASA） ．???????????????（6 分）? AE ? EF ．???????????????????（7 分）（3） AE : EP ? (n ? 2) : (m ? 2) 在 AB 上取一点 N ，使 AN ? EC ，连接 NE ．BN ? BE ． ?BNE ? 45? ， ?ANE ? 135? ．? CF 是外角平分线，??DCF ? 45° ，??ECF ? 135°．?ANE ? ?ECF ．? ?AEB ? ?BAE ? 90° ， ?AEB ? ?CEF ? 90° ，? ?BAE ? ?CEF ．?ANE ? ?ECP???????????????????（9 分）? AE : EP ? AN : EC ? (n ? 2) : (m ? 2) ??????????（10 分）23、(2011 平顶山二模) （9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC,AB=1,BC= 5 , 对角线 AC、BD 相交于点 0，将直线 AC 绕点 0 顺时针旋转，分别交 BC、AD 于点 E、F. （1）求证：当旋转角为 90°时，四边形 ABEF 为平形四边形； （2）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说 明理由，并求出此时 AC 绕点 0 顺时针旋转的度数.考查内容:京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn答案：证明:(1)如图 1,∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,即 AF∥BE. ??1 分 当旋转角为 90 时,AC⊥EF,又 AB⊥AC, ∴AB∥EF. ∴四边形 ABEF 是平行四边形.0??????????2 分 ??????????3 分 ??4 分(2)在旋转过程中, 当 EF⊥BD 时,四边形 BEDF 可以是菱形.理由如下:如图 2, ∵四边形 ABCD 是平行四边形,由平行四边形的中心对称性可得:OF=OE,OB=OD, ∴四边形 BEDF 是平行四边形.又 EF⊥BD, ∴四边形 BEDF 是菱形. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理可得:AC= BC ? AB ?2 20?????6 分( 5 ) 2 ? 12 ? 2 ,∴OA=0AC ?1. 2∴OA=AB=1,又∠BAC=90 ,即△ABO 为等腰直角三角形, ∴∠AOB=45 . ∵EF⊥BD, ∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=90 , ∴∠AOF=45 .0 0???8 分即:当 AC 绕点 O 顺时针旋转 45 时,四边形 BEDF 是菱形. ??????????9 分A O B E 图1 C B F D A F D0O E 图2 C24、 （2011 年徐汇区诊断卷） （本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 如图，正方形 ABCD 中， M 是边 BC 上一点，且 BM= （2）若 AB ? a , AD ? b , 试用 a , b 表示 DM ； （3）若 AB=4，求 sin∠AMD 的值. A D? ? ? ? ??1 BC . 4?B 考查内容: 答案： （1） ∵正方形 ABCD，∴AD//BC，AB//CD，且 AB=CD=BC=AD，MC????1 分? ? ? ? 1 3? ∵BM= BC ，∴ MC ? b ， DC ? AB ? a ????????????2 分 4 4 ? ? 3? ∴ DM ? a ? b ??????????????????????1 分 4 1 （2）∵AB=4，且 BM= BC ，∴MC=3，BM=1， 4在 Rt△DMC 中，DM ? MC 2 ? DC 2 ? 32 ? 42 ? 5.????????1 分京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn在 Rt△ABM 中，AM ?AB2 ? BM 2 ? 12 ? 42 ? 17. ????????1 分过点 A 作 AE⊥DM 于 E， ?????????????????????1 分 S△ADM=16 1 1 DM ? AE ? AD ? AB ,∴ AE ? . 5 2 2?????????1 分在 Rt△AEM 中，sin∠AMD ?AE 16 17 ?????????????2 分 ? AM 8525、(2011 年天河区) （本小题满分 12 分） 如图，等腰△OBD 中，OD=BD，△OBD 绕点 O 逆时针旋转 一定角度后得到△OAC，此时正好 B、D、C 在同一直线上， 且点 D 是 BC 的中点. （1）求△OBD 旋转的角度； （2）求证：四边形 ODAC 是菱形. 考查内容： 答案： （1）∵OD=BD，CD=BD， ∴OD=CD=BD------------------1 分 又△OBD≌△OAC ∴OD=OC---------------2 分 △ODC 是等边三角形 ∴∠COD=60°---------------4 分 即△OBD 旋转的角度为 60°---------------5 分C D B AO （2）∵△OBD≌△OAC，△ODC 是等边三角形 ∴OD=OC，BD=AC ，OB=OA ∠OCA=∠ODB=180°－60°=120°-----------------7 分 ∴∠ACD=∠OCA－∠OCD=120°－60°=60° ∴△ACD 是等边三角形 ---------------9 分 ∴OD=OC=AC=AD ---------------11 分 ∴四边形 ODAC 是菱形. ---------------12 分另解：连结 AB，由（1）得：∠AOB=60°又 OB=OA ∴△AOB 是等边三角形 ∴OB=AB---------------7 分 ∴OD=OC=BD=AC ∴BC 垂直平分 OA ∴OD= AD --------------9 分 ∴OD=OC=AC=AD ---------------11 分 ∴四边形 ODAC 是菱形. ---------------12 分京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn26.（2011 番禺区综合训练）如图 9，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， EA ⊥ AD ，M 是 AE 上一点，∠BAE ? ∠MCE ，∠MBE ? 45? ． （1）求证： BE ? ME ． （2）若 AB ? 7 ，求 MC 的长．答案:ADM(1)证明：∵AD∥BC, EA⊥AD ∴EA⊥BC ????????? 2 分BE图9C∴∠AEB＝∠CEM=90° 在 Rt△MEB 中，∠MBE＝45° ∴∠BME＝∠MBE＝45° (2)解: 在△ABE 和△CME 中, ∠BAE＝∠MCE ∠AEB＝∠CEM ∴BE＝MEBE＝ME∴△ABE≌△CME ∴MC＝AB 又∵AB＝7 ∴MC＝7 27. 2011 番禺区综合训练） 如图 14， 将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD 折叠, 使点 B 落在边 AD 上（不与 A 、 D 重合）, MN 为折痕，折叠后 B ' C ' 与 DN 交于 P . (1) P 判断 ?MAB ' 与 ?NC ' P 是否相似？并说明理由; (2) 当 B 落在什么位置上时, 折叠起来的梯形 MNC ' B ' 面积最小，并求此时两纸片重叠部分的面积.AB'DMP C'N B图 14C答案: 解： （1） ?MAB ' 与 ?NC ' P 是否相似. 其理由如下:? ?NC ' P ? ?B ' AM ? 90? ,又? ?B ' PD ? ?PB ' D ? 90 , ?B ' PD ? ?MB ' A ? 90 ,? ?京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn??MB ' A ? ?B ' PD,又由 ?NPC ' ? ?B ' PD,??MB ' A ? ?NPC ',?MAB ' ∽ ?NC ' P .（2）如图, 过 N 作 NR ? AB 于 R , 则 RN ? BC ? 1 , 连 BB ' ,交 MN 于 Q . 则由折叠知,A MRB'DP C'?MBQ 与 ?MB ' Q 关于直线 MN对称, 即 ?MBQ ≌ ?MB ' Q , 有 BQ ? B ' Q , MB ? MB ' ,QN B CMQ ? BB ' . ???6 分 ? ?A ? ?MQB, ??MQB ∽ ?B ' AB （ ?ABB ' 公用）?AB ' AB BB ' ? ? . MQ BQ MB1 1 ? x 2 ，代入上式得： 2设 AB ' ? x, 则 BB ' ? 1 ? x2 , BQ ?BM ? B ' M ?1 2 ( x ? 1) . 2在 Rt ?MRN 和 Rt ?B ' AB 中,?MNR ? ?BMQ ? 90? , ?ABB '? ?BMQ ? 90? ,??MNR ? ?ABB ' ,又 ?MRN ? ?B ' AB ? 90?? Rt?MRN ≌ Rt ?B ' AB ,? MR ? AB ' ? x .故 C ' N ? CN ? BR ? MB ? MR ?1 2 1 ( x ? 1) ? x ? ( x ? 1) 2 . 2 2? S梯形MNC ' B ' ?1 1 ?1 1 2 ? ( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? ? 1 ? ( x 2 ? x ? 1) ? 2 2 ?2 2 ?京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn1 2 1 1 3 ( x ? x ? 1) ? ( x ? ) 2 ? ， 2 2 2 8 3 1 得当 x ? 时，即 B 落在 AD 的中点处时,梯形面积最小，其最小值为 . ?12 分 8 2 1 5 3 此时, C ' N ? , BM ? , AM ? , 8 8 8由s ?S 1 2 1 ? NC ' ? 由（1）得 ?NPC ' ? ? ? ?( ) ? ; S?MB ' A ? AM ? 3 9故 S ?NCC ' ?24 4 1 1 3 1 ? S?AMB ' ? ? ( ? ? ) ? , 9 9 2 2 8 96所以两纸片重叠部分的面积为:S梯形MBCN ? S?NCC ' ?28. （2011 萝岗区综合测试一)在如图所示的一张矩形纸片 ABCD （ AD ? AB ）中， 将纸片折叠一次，使点 A 与 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于 E ，交 BC 边于 F ，分 别连结 AF 和 CE ． （1）求证：四边形 AFCE 是菱形；2 （2）过 E 作 EP ? AD 交 AC 于 P ，求证： 2 AE ? AC ?AP2 （3）若 AE ? 8cm ， △ ABF 的面积为 9cm ，求 △ ABF 的周长；3 1 35 ? ? . 8 96 96A 答案： ．解： （1）连结 EF 交 AC 于 O ， 当顶点 A 与 C 重合时，折痕 EF 垂直平分 AC ，ED? OA ? OC ， ?AOE ? ?COF ? 90 ? 在矩形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ??EAO ? ?FCO ， ?△ AOE ?△COF ． ? OE ? OF ? 四边形 AFCE 是菱形． （2）证明：过 E 作 EP ? AD 交 AC 于 P ，?BC F 第 25 题图由作法， ?AEP ? 90 ，?由（1）知： ?AOE ? 90 ，又 ?EAO ? ?EAP ， ?△ AOE ∽△ AEP ，??AE AO 2 ? ，则 AE ? AO?AP AP AE? 四边形 AFCE 是菱形，? AO ?? 2 AE 2 ? AC ?AP1 1 AC ，? AE 2 ? AC ?AP ． 2 2（3）? 四边形 AFCE 是菱形， ? AF ? AE ? 8 ．京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn设 AB ? x ， BF ? y ，? ?B ? 90 ，? x2 ? y 2 ? 64 ① ?( x ? y)2 ? 2 xy ? 64 1 ? xy ? 9 ，则 xy ? 18 ． 又? S△ ABF ? 9， ② 2 由①、②得： ( x ? y)2 ? 100 ? x ? y ? ?10 ， x ? y ? ?10 （不合题意舍去） ?△ ABF 的周长为 x ? y ? AF ? 10 ? 8 ? 18AED P CO B F29. （2011 年天河区综合练习）如图，等腰△OBD 中，OD=BD，△OBD 绕点 O 逆时针旋 转 一定角度后得到△OAC，此时正好 B、D、C 在同一直线上， 且点 D 是 BC 的中点. （1）求△OBD 旋转的角度； （2）求证：四边形 ODAC 是菱形. 答案: 解： （1）∵OD=BD，CD=BD， ∴OD=CD=BD 又△OBD≌△OAC ∴OD=OC △ODC 是等边三角形 ∴∠COD=60° 即△OBD 旋转的角度为 60° （2）∵△OBD≌△OAC，△ODC 是等边三角形 ∴OD=OC，BD=AC ，OB=OA ∠OCA=∠ODB=180°－60°=120° ∴∠ACD=∠OCA－∠OCD=120°－60°=60° ∴△ACD 是等边三角形 ∴OD=OC=AC=AD ∴四边形 ODAC 是菱形. 另解：连结 AB，由（1）得：∠AOB=60°又 OB=OA ∴△AOB 是等边三角形 ∴OB=AB京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/AC D B第 21 题OAC D BO京翰教育初中数学辅导网 www.jhshuxuefudao.cn∴OD=OC=BD=AC ∴BC 垂直平分 OA ∴OD= AD ∴OD=OC=AC=AD ∴四边形 ODAC 是菱形. 30. (2010 海珠区调研） 如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一点， 答案: 证明： ? 正方形 ABCDAD求证：AE=CEE B C? AD ? CD ?ADE ? ?CDE ? AD ? CD ?ADE ? ?CDE DE ? DE ? ?ADE ? ?CDE ? AE ? CE京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/
赞助商链接}