已知三角形ABC的三个内角A.B.C满足2B=A+C且三个内角的对边分别为a.b.c.求证：1/a+b+1/b+c=3/a+b+c_百度知道
已知三角形ABC的三个内角A.B.C满足2B=A+C且三个内角的对边分别为a.b.c.求证：1/a+b+1/b+c=3/a+b+c
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)&#47、B、C是三角形ABC的三个内角所以A+B+C=180°又因为2B=A+C所以2B=180°-B所以B=60°由余弦定理得：1&#47?MM;(a+b)+a/a+b+c证奣完毕;(b+c)=3整理得?+ab+bc=ab+bc+ac+b?+ab+bc=ab+bc+ac移项得?-b：a(a+b)+c(b+c)=(a+b)(b+c)等式两边都除以(a+b)(b+c)得：a;(b+c)=1等式两边都加2得?=ac等式两边嘟加上ab+bc得a：因为A;(b+c)+1=3通分得：cosB＝（a??+c;b+c=3&#47?：(a+b+c)&#47?+c??：a;a+b+1&#47?：c&#47?-b;(a+b)+1+a&#47??;(a+b)+(a+b+c)&#47?：c&#47?-b??;2化简得?提取公因式得?+c;(2ac)=cos60°=1&#47??+c：证明，解答如下
2B=A+C，则A+B+C=3B=180
B=60度。方法一，分析法，这种方法简单些。欲证1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
须证(a+2b+c)/[(a+b)(b+c)]=3/(a+b+c)即須证3(a+b)(b+c)=(a+2b+c)(a+b+c)即须证[展开并移项整理]
b^2=a^2+c^2-ac
[^2指平方]而根据余弦定理，有
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB=a^2+c^2-ac因此问题得证。方法二，综合法，要复杂得多，就是把分析法的步骤通过添项去项，一步步倒回去。由于b^2=a^2+c^2-ac，于是a^2+c^2-b^2-ac=0
即0=a^2+c^2-b^2-ac两边同时添上3ab+3bc+3b^2+3ac得，3ab+3bc+3b^2+3ac=a^2+2b^2+c^2+3ab+2ac+3bc = a^2+ab+ac+2ab+2b^2+2bc+ac+bc+c^2即3b(b+c)+3a(b+c)=a(a+b+c)+2b(a+b+c)+c(a+b+c)即3(a+b)(b+c)=(a+b+b+c)(a+b+c)所以3/(a+b+c)=(a+b+b+c)/[(a+b)(b+c)]即3/(a+b+c)=1/(b+c)+1/(a+b)建议用苐一种。
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已知三角形ABC的三个内角A.B.C满足2B=A+C且三个内角的对边分别为a.b.c.求证：1/a+b+1/b+c=3/a+b+c
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MM，解答如下：
证明：
因为A、B、C是三角形ABC的三个内角
所以A+B+C=180°
又因為2B=A+C
所以2B=180°-B
所以B=60°
由余弦定理得：cosB＝（a?+c?-b?)/(2ac)=cos60°=1/2化简得：a?+c?-b?=ac
等式两边都加上ab+bc得
a?+c?-b?+ab+bc=ab+bc+ac
移項得：a?+c?+ab+bc=ab+bc+ac+b?
提取公因式得：a(a+b)+c(b+c)=(a+b)(b+c)
等式两边都除以(a+b)(b+c)得：c/(a+b)+a/(b+c)=1
等式两边都加2得：c/(a+b)+1+a/(b+c)+1=3
通分得：(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)=3整理得：1/a+b+1/b+c=3/a+b+c
证明完毕！
2B=A+C，则A+B+C=3B=180&& B=60度。
方法一，分析法，这种方法简单些。
欲证1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)&& 须证(a+2b+c)/[(a+b)(b+c)]=3/(a+b+c)
即须证3(a+b)(b+c)=(a+2b+c)(a+b+c)
即须证[展开并移项整理]& b^2=a^2+c^2-ac&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& [^2指平方]
而根据余弦定理，有& b^2=a^2+c^2-2ac*cosB=a^2+c^2-ac
因此问题得证。
方法二，综合法，要复杂得多，就是把分析法的步骤通過添项去项，一步步倒回去。
由于b^2=a^2+c^2-ac，于是a^2+c^2-b^2-ac=0&&&& 即0=a^2+c^2-b^2-ac
两边同时添上3ab+3bc+3b^2+3ac得，
3ab+3bc+3b^2+3ac=a^2+2b^2+c^2+3ab+2ac+3bc = a^2+ab+ac+2ab+2b^2+2bc+ac+bc+c^2
即3b(b+c)+3a(b+c)=a(a+b+c)+2b(a+b+c)+c(a+b+c)
即3(a+b)(b+c)=(a+b+b+c)(a+b+c)
所鉯3/(a+b+c)=(a+b+b+c)/[(a+b)(b+c)]
即3/(a+b+c)=1/(b+c)+1/(a+b)
建议用第一种。
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