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免费整式乘除与因式分解期末复习试卷新课标人教版八年级上初二数学试题试卷网详细信息
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免费整式乘除与因式分解期末复习试卷新课标人教版八年级上初二数学试题试卷网学年度第一学期八年级数学期末复习专题整式乘除与因式分解姓名：_______________班级：_______________得分：_______________一选择题：1.若8×2x=5y+6，那么当y=6时，x应等于（）A.4B.3C.0D.42.计算(2a2b)3的结果是（）A.6a6b3B.8a6b3C.8a6b3D.8a5b33.计算(ab)2等于（）A.a2+b2B.a2b2C.a2+2ab+b2D.a22ab+b24.计算(x-1)(-x-1)的结果是（）A.x2+1B.x21C.x21D.x2+15.若a＋b=5，ab=－24，则a2＋b2的值等于()A.73B.49C.43D.236.多项式的公因式是（）A.B.C.D.7.下列多项式能用平方差公式因式分解的是()A.B.C.D.8.若m-n=-1，则(m－n)2－2m＋2n的值是()A.3B.2C.1D.－19.若9a2+24ab+k是一个完全平方式，则k=（）A.2b2B.4b2C.8b2D.16b210.一个正方形的边长增加，面积相应增加，则这个正方形的边长为（）A.6B.5C.8D.711.计算1982等于（）A.39998；B.39996；C.39204；D.39206；12.若，，则的值是（）(A)9(B)10(C)2(D)113.把多项式分解因式结果正确的是（）A.B.C.D.14.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）A.B.C.D.15.已知x-y=3，x-z=，则(y-z)2+5(y-z)+的值等于（）A.；B.；C.；D.0；16.观察下列各式:①abx-②2x2y+6xy2;③8m3-4m2+2m+1;④a3+a2b+ab2-b3;⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q)2;⑥a2(x+y)(x-y)-4b(y+x).其中可以用提公因式法因式分解的是()A.①②⑤B.②④⑤C.②④⑥D.①②⑤⑥17.现有若干张卡片，分别是正方形卡片A、B和长方形卡片C，卡片大小如图所示．如果要拼一个长为（a＋2b），宽为（a＋b）的大长方形，则需要C类卡片张数为（）A.1B.2C.3D.418.若x2x+1=0，则等于（）A.B.C.D.19.如果a，b，c满足a2+2b2+2c2-2ab-2bc-6c+9=0，则abc等于()A.9B.27C.54D.8120.请你计算：(1x)(1+x)，(1x)(1+x+x2)，…，猜想(1x)(1+x+x2+…+xn)的结果是（）A.1xn+1B.1+xn+1C.1xnD.1+xn二填空题:21.已知2x+3y4=0，则9xo27y的值为．22.[（－x）2]n?[－（x3）n]=______．23.若b为常数，且是完全平方式，那么b=.24.若x2+2(m3)x+16是完全平方式，则m=．25.已知a＋b=7，ab=13，那么a2－ab＋b2=_______．26.若三项式4a2-2a+1加上一个单项式后是一个多项式的完全平方，请写出一个这样的单项式.27.多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k=________，m=________．28.观察下列各式：（1）42－12=3×5；（2）52－22=3×7；（3）62－32=3×9；………则第n（n是正整数）个等式为_____________________________.三简答题:29.已知3m=2，3n=5．（1）求3m+n的值；（2）32mn的值．30.先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n26n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n26n+9=0∴m2+2mn+n2+n26n+9=0∴（m+n）2+（n3）2=0∴m+n=0，n3=0∴m=3，n=3问题:（1）若x2+2y22xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．31.你能化简（a－1）(a99＋a98＋a97＋……＋a2＋a＋1)吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a－1）(a＋1)=；(a－1)(a2＋a＋1)=；(a－1)(a3＋a2＋a＋1)=；……由此猜想(a－1)(a99＋a98＋a97＋……＋a2＋a＋1)=．（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求＋2197＋……＋22＋2＋1的值；②若a5＋a4＋a3＋a2＋a＋1=0，则a6等于多少？32.数学课上老师出了一道题，计算：.小明看后说:"太繁琐了,我是做不出来";小亮思考后说:"若设=x,先运用整体思想将原式代换,再进行整式的运算，就简单了".小明采用小亮的思路,很快就计算出了结果,请你根据小亮思路完成计算.33.在形如的式子中，我们已经研究过已知a和b，求N，这种运算就是乘方运算．现在我们研究另一种情况：已知a和N,求b，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作.例如：因为23=8，所以；因为，所以.（1）根据定义计算：①=______；②=_____；③=______；④如果，那么x=_______.（2）设则(a＞0,a≠1,M、N均为正数),因为，所以所以，即.这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：=_.（其中M1、M2、M3、……、Mn均为正数，a＞0，a≠1）(a＞0,a≠1,M、N均为正数).（3）结合上面的知识你能求出的值吗？四计算题:34.（x2y+4）（x2y4）35.（3a）3（a）o（3a）2．36.4ab[2a23b（abab2）]37.（x1）（x+2）3x（x+3）38.（a2b）2（2a+b）（b2a）4a（ab）39.参考答案1、B2、B3、C4、A5、A6、D7、D8、A9、D10、B11、C12、B13、D14、B15、D；16、D.17、C18、C19、B20、A21、81．22、；23、，24、1或7．25、1026、答案不唯一，如-3a2或-2a或6a或；27、9328、(n+3)2=3(2n+3)29、【解答】解：（1）∵3m=2，3n=5，∴3m+n=3mo3n=2×5=10；（2）∵3m=2，3n=5，∴32mn=（3m）2÷3n=22÷5=．30【解答】解：（1）x2+2y22xy+4y+4=x22xy+y2+y2+4y+4=（xy）2+（y+2）2=0，∴xy=0，y+2=0，解得x=2，y=2，∴xy=（2）2=；（2）∵a2+b2=10a+8b41，∴a210a+25+b28b+16=0，即（a5）2+（b4）2=0，a5=0，b4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜9．31、(1)，………。(2)设x=＋2197＋……＋22＋2＋1利用结论：（2-1）x=（2-1）(＋2197＋……＋22＋2＋1)，得x=2200-1。?同理32、解：设=x则原式=33、（1）①4；②1；③0；④2（2）logaM1M2M3…Mn=logaM1+logaM2+…+logaMn．（3）loga=logaM-logaN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．（4）134、（x2y+4）（x2y4）=（x2y）242=x24xy+4y21635、（3a）3（a）o（3a）2=27a3+a×9a2=27a3+9a3=18a3．36、4ab[2a23b（abab2）]=4ab[2a23ab2+3ab3]=8a3b12a2b3+12a2b4；37、原式=x2+x23x29x=2x28x2；38、原式=a24ab+4b2b2+4a24a2+4ab=a2+3b2；39、x4-8x2y2+16y4
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新人教版八年级数学下教案八年级数学组第十六章16.1.1 从分数到分式一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念.分式16． 16．1 分式2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件， 分式的值为零的条件. 二、重点、难点 点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 重点： 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点： 三、课堂引入 1．让学生填写 P4[思考]，学生自己依次填出： 10 ， s ， 200 ， v .7 a 33 s2．学生看 P3 的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速 顺流航行 100 千米所用实践，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为 多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为 x 千米/时. 轮船顺流航行 100 千米所用的时间为 100 小时， 逆流航行 60 千米所用时间 60 小时，20 + v 20 ? v所以 100 = 60 . 20 + v 20 ? v 3. 以上的式子 100 ， 60 ， s ， v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不20 + v 20 ? vas同点？ 五、例题讲解 P5 例 1. 当 x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母 x 的取值范围. [提问]如果题目为： x 为何值时， 当 分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生 一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例 2. 当 m 为何值时，分式的值为 0？ 2 （1）m ? 1 （2）m m?2 m+3(3)m ?1 m +11 2 [分析] 分式的值为 0 时，必须同时满足两个条件：○分母不能为零；○分子为零，这 ．．样求出的 m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4,7 , 9+ y , m?4 , x 20 53 x+2（2）m=2（3）m=18y ? 3 ， 1 x?9 y22x ? 5 x2 ? 42. 当 x 取何值时，下列分式有意义？ . （1） （2） 3 ? 2 xx+5（3）1新人教版八年级数学下教案八年级数学组3. 当 x 为何值时，分式的值为 0？ . （1） 七、课后练习x+7 5x（2）7x 21 ? 3 x(3)x2 ? 1 x2 ? x1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做 x 个零件，则他 8 小时做零件 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. 个，做 80 个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走 a 千米，水流的速度是 b 千米/时，轮船的顺流速度是 (3)x 与 y 的差于 4 的商是 . x 2 +1 2．当 x 取何值时，分式 无意义？ 3x ? 2 3. 当 x 为何值时，分式 x ? 1 的值为 0？ .x2 ? x八、答案： 答案： 六、1.整式：9x+4, 1. 2．(1）x≠-29+ y , m?4 20 5分式：7 , x8y ? 3 ， 1 x?9 y2（2）x≠3 2（3）x≠±2 (3)x=-1 整式：8x, a+b,x? 4（2）x=0 3．（1）x=-7 80 ,a+b, s , x ? 七、1．18x, x a+b 4 分式： 80 , s x a+b 2． X = ．2 33. x=-1课后反思： 课后反思：2新人教版八年级数学下教案八年级数学组16.1.2 分式的基本性质一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 分 2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点 重点、 重点 重点: 1．重点: 理解分式的基本性质. 2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 难点: 三、课堂引入 1．请同学们考虑：3 与4 15 20相等吗？924 9与3 83 8相等吗？为什么？ 之间变形的过程，并说出变形依据？2．说出3 4与15 20之间变形的过程， 与 243．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 四、例题讲解 P7 例 2.填空： [分析]应用分式的基本性质把已知的分子、 分母同乘以或除以同一个整式， 使分式的值 不变. P11 例 3．约分： [分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的 值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式. P11 例 4．通分： [分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的 最高次幂的积，作为最简公分母. （补充）例 5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.? 6b ， ? x ? 5a 3y， ? 2m ， ? ? 7 m ，?n 6n?? 3x 。 ? 4y[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分 式的值不变. 解 ：? 6b ? 5a=6b 5a， ，?x 3y ?=?x 3y，?2m ?n=2m n，?五、随堂练习 1．填空：? 7m 7m = 6n 6n? 3x 3x = 。 ? 4y 4y( ) 2x 2 (1) 2 = x + 3x x + 3（3)6a 3b 2 3a 3 (2) = ( ) 8b 3(4)( ) b +1 = a + c an + cn(x + y )x2 ? y22=x? y( )3新人教版八年级数学下教案八年级数学组2．约分： （1）3a 2 b 6ab 2 c（2）8m 2 n 2mn 2（3）? 4 x 2 yz 3 16 xyz 5（4）2( x ? y ) 3 y?x3．通分： （1） （3）1 2 和 2 2 3 2ab 5a b c（2） （4）a b 和 2 2 xy 3x 1 1 和 y ?1 y +1 ? 5a ? 13 x 2 ? ( a ? b) 2 m3c a 和? 2 2ab 8bc 2 ? x3 y 3ab 24．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. (1) ? 六、课后练习 1．判断下列约分是否正确： （1） (2) ?? a3 ? 17b 2（3)(4)a+c a = b+c b（2）x? y 1 = 2 2 x ? y x+ y（3）m+n =0 m+n1 2 和 2 3ab 7a 2 b（2）2．通分： （1）x ?1 x ?1 和 2 2 x ?x x +x3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）? 2a ? b ?a+b（2） ?? x + 2y 3x ? y课后反思： 课后反思：4新人教版八年级数学下教案八年级数学组16． 16．2 分式的运算 16． 分式的乘除( 16．2．1 分式的乘除(一)一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算. 教学目标： 二、重点、难点 重点、 重点 1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 重点： 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 难点： 三、课堂引入 1.出示 P13 本节的引入的问题 1 求容积的高 小拖拉机的工作效率的 ?v m ? ，问题 2 求大拖拉机的工作效率是 ab n? a b? ÷ ? 倍. ?m n?[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进 行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则. 1． P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则. 3．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？ 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 四、例题讲解 P14 例 1. [分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应 约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果. P15 例 2. [分析] 这道例题的分式的分子、 分母是多项式， 应先把多项式分解因式， 再进行约分. 结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开. P15 例. [分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出 “丰收 1 号”、“丰收 2 号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收 1 号”、“丰收 2 号” 小麦试验田的单位面积产量，分别是 500 、 500 ，还要判断出以上两个分式的值，哪一a2 ?1(a ? 1)2个值更大.要根据问题的实际意义可知 a&1,因此(a-1) =a -2a+1&a -2+1,即(a-1) &a -1，可 得出“丰收 2 号”单位面积产量高. 五、随堂练习 计算 （1）22222c 2 a 2b 2 ? ab c2 2 （2） ? n ? 4m 2 m 5n 3（3） y ÷ ? ? 2 ? ? ?7x ? x?y+22 (6) y ? 6 y + 9 ÷ (3 ? y )（4）-8xy ÷ 2 y 5x 六、课后练习 计算 （1） x 2 y ? ? ? 1 ? ? ?x3(5)a2 ? 4 a2 ?1 ? 2 a ? 2a + 1 a + 4 a + 42? ?y? ?（2） 5b ÷ ? ? 10bc ? ? ?23ac ?21a ?（3） 12 xy ÷ (? 8 x 2 y )5a5新人教版八年级数学下教案2 2 （4） a ? 4b ? ab a ? 2b 3ab 2八年级数学组2 （5） x ? x ÷ (4 ? x)x ?1（6） 42( x 2 ? y 2 ) ?x? x2 35( y ? x) 3七、答案： 答案： 五、（1）ab （6） 3 ? y 六、（1） ? 1 （5） x1? x（2） ? 2m5n（3） ? y（4）-20x2（5） (a + 1)(a ? 2)( a ? 1)(a + 2)14y+2x（2） ? 7b2c 2（3） ? 3（4） a + 2b3b10ax（6） 6 x ( x + y )5( x ? y ) 2课后反思： 课后反思：6新人教版八年级数学下教案八年级数学组16． 分式的乘除( 16．2．1 分式的乘除(二)一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 教学目标： 二、重点、难点 重点、 重点 1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 重点： 2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 难点： 三、课堂引入 计算 （1） y ÷ x ? ( ? y ) x y x 四、例题讲解 （P17）例 4.计算 [分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把 分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简 的. （补充）例.计算 (1) (2) 3x ÷ (? 3x ) ? (? 1 )4y y 2x3ab 2 8 xy 3x ? (? 2 ) ÷ 3 2x y 9a b (?4b)(先把除法统一成乘法运算)=3ab 2 8 xy ? 4b ? (? 2 ) ? 3 2x y 9a b 3 x 3ab 2 8 xy 4b ? ? 2 x 3 y 9a 2 b 3 x 16b 2 9ax 3=（判断运算的符号）=（约分到最简分式）2x ? 6 ( x + 3)( x ? 2) ÷ ( x + 3) ? 2 3? x 4 ? 4x + 4x 2x ? 6 1 ( x + 3)( x ? 2) = ? ? (先把除法统一成乘法运算) 2 3? x 4 ? 4x + 4x x + 3 2( x ? 3) 1 ( x + 3)( x ? 2) = ? ? (分子、分母中的多项式分解因式) 3? x (2 ? x) 2 x + 3(2) =2( x ? 3) 1 ( x + 3)( x ? 2) ? ? ? ( x ? 3) ( x ? 2) 2 x + 3 2 x?2=?五、随堂练习 计算 (1)3b 2 bc 2a ÷ 2 ? (? ) 16a 2a b（2）5c 20c 3 ÷ (?6ab 6 c 2 ) ÷ 2a 2 b 4 30a 3b107新人教版八年级数学下教案八年级数学组（3）3( x ? y ) 2 9 ? ( x ? y) 4 ÷ 3 y?x ( y ? x)（4） ( xy ? x ) ÷2x 2 ? 2 xy + y 2 x ? y ? 2 xy x六、课后练习 计算 (1) ? 8 x y ?2 43x x2 y ÷ (? ) 6z 4y6(2)a 2 ? 6a + 9 3 ? a a 2 ÷ ? 2 + b 3a ? 9 4 ? b2 x 2 + xy xy ÷ ( x + y) ÷ 2 2 x ? xy y ? xy(3)y2 ? 4y + 4 1 12 ? 6 y ? ÷ 2y ? 6 y + 3 9 ? y2(4)七、答案： 答案：3a 2 五.（1） ? 4c36 xz 六. (1) 3 y5 （2） ? 4 8c( x ? y) 4 （3） 3（3）（4）-y （4） ?a2 (2) b?22? y 121 x课后反思： 课后反思：8新人教版八年级数学下教案八年级数学组16． 分式的乘除( 16．2．1 分式的乘除(三)一、教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算. 教学目标： 二、重点、难点 重点、 重点 1．重点：熟练地进行分式乘方的运算. 重点： 2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 难点： 三、课堂引入 计算下列各题：a a 3 a a a =（ ） (2) ( ) = ? ? =（ ） b b b b b a a a ? ? =（ ） b b b a n [提问]由以上计算的结果你能推出 ( ) （n 为正整数）的结果吗？ b（1） ( ) = 四、例题讲解 （P17）例 5.计算 [分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号， 再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运 算顺序：先做乘方，再做乘除. 五、随堂练习 1．判断下列各式是否成立，并改正.a 2 a ? b b a 4 a （3） ( ) = ? b bb3 2 b5 （1） ( ) = 2a 2a 2 2y 3 8y3 （3） ( ) = 3 ? 3x 9x2．计算 (1) (? 3b 2 ? 9b 2 （2） ( ) = 2a 4a 23x 2 9x 2 （4） ( ) = 2 x?b x ? b2 3a 2 b 3 ) ? 2c 35) ( ?5x 2 2 ) 3y（2） (（3） (a3 2 ay ) ÷ (? 2 ) 3 2 3 xy 2x（4） (x2 y 3 ? x3 2 ) ÷( ) z ? z2x 2 y2 ) ? (? ) ÷ (? xy 4 ) y x(6) ( ?y 2 3x 3x 2 ) ? (? ) 3 ÷ (? ) 2x 2y 2ay六、课后练习 计算 (1) ( ? (3) ( 七、答案： 答案：2b 2 3 ) a3(2) (?a2 2 ) b n +1(4) (c3 2 c4 a ) ÷ ( 3 )2 ÷ ( )4 2 c a b a ba ?b 2 ?a 3 ) ?( ) ? (a 2 ? b 2 ) ab b?a9新人教版八年级数学下教案八年级数学组五、1. （1）不成立， (b3 2 b6 ) = 2 2a 4a2y 3 8y3 ) =? ? 3x 27 x 3 27 a 6b 3 8c 9（2）不成立， ( （4）不成立， (? 3b 2 9b 2 ) = 2 2a 4a（3）不成立， (9x 2 3x 2 ) = 2 x?b x ? 2bx + b 2 y3 z42. （1）25 x 4 9 y2 1 x2（2） ?（3） ?8a 3 x 4 9y2（4） ?(5)(6)a3 y2 4x 2 a4 b2n+2六、(1) ?? 8b 6 a9(2)（3）c2 a2（4）a+b b课后反思： 课后反思：10新人教版八年级数学下教案八年级数学组16． 分式的加减（ 16．2．2 分式的加减（一）一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算. 教学目标： （2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点 重点、 重点 1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 重点： 2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 难点： 三、课堂引入 课堂引入 1.出示 P18 问题 3、问题 4，教师引导学生列出答案. 引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运 算. 2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？ 3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？ 4．请同学们说出 确定方法吗？ 四、例题讲解 （P20）例 6.计算 [分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式 的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第 （2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积. （补充）例.计算 （1）1 1 1 , 4 2, 的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的 2 3 2 x y 3 x y 9 xy 2x + 3y x + 2 y 2x ? 3 y ? 2 + 2 2 x ?y x ? y2 x2 ? y2[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看 作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. (2)1 1? x 6 + ? 2 x ? 3 6 + 2x x ? 9[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简 公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 五、随堂练习 计算3a + 2b a + b b ? a + 2 ? 2 5a 2 b 5a b 5a b 1 6 （3） + 2 a+3 a ?9(1) 六、课后练习 计算 (1)m + 2n n 2m ? + n?m m?n n?m 3a ? 6b 5a ? 6b 4a ? 5b 7 a ? 8b （4） ? ? ? a+b a?b a+b a ?b（2）5a + 6b 3b ? 4a a + 3b + ? 3a 2 bc 3ba 2 c 3cba 2(2)3b ? a a + 2b 3a ? 4b ? 2 ? 2 2 a ?b a ? b2 b2 ? a 211新人教版八年级数学下教案八年级数学组(3)b2 a2 + + a + b +1 a?b b?a(4)1 1 3x ? ? 2 6x ? 4 y 6x ? 4 y 4 y ? 6x 21 （4）1 a ?3 1 （4） 3x ? 2 y七、答案： 答案：5a + 2b 3m + 3n （2） 2 n?m 5a b 2 a ? 3b (2) 2 （3）1 六.(1) 2 a b a ? b2五.（1） 课后反思： 课后反思：（3）12新人教版八年级数学下教案八年级数学组16． 分式的加减（ 16．2．2 分式的加减（二）一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 教学目标： 二、重点、难点 重点、 重点 1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 重点： 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 难点： 三、课堂引入 1．说出分数混合运算的顺序. 2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 四、例题讲解 （P21）例 8.计算 [分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序： 先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分 式. （补充）计算 （1） (x+2 x ?1 4? x ? 2 )÷ 2 x x ? 2x x ? 4x + 4[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本 身的前边.. 解： (x+2 x ?1 4? x ? 2 )÷ 2 x x ? 2x x ? 4x + 4 x+2 x ?1 x =[ ? ]? 2 x ( x ? 2) ( x ? 2) ? ( x ? 4)=[( x + 2)( x ? 2) x( x ? 1) x ? ]? 2 2 ? ( x ? 4) x ( x ? 2) x ( x ? 2)=x2 ? 4 ? x2 + x x ? 2 ? ( x ? 4) x ( x ? 2) 1 x ? 4x + 422=?x y x4 y x2 （2） ? ? 4 ÷ 2 x ? y x + y x ? y4 x + y2[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.x y x4 y x2 解： ? ? 4 ÷ 2 x ? y x + y x ? y4 x + y2 x y x4 y x2 + y2 = ? ? 2 ? x ? y x + y ( x + y 2 )( x 2 ? y 2 ) x222=xy 2 x2 y ?? 2 ( x ? y )( x + y ) x ? y 213新人教版八年级数学下教案八年级数学组=xy ( y ? x) ( x ? y )( x + y ) xy x+ y=?五、随堂练习 计算 (1) (x2 4 x+2 a b 1 1 + )÷ （2） ( ? )÷( ? ) x?2 2? x 2x a?b b?a a b 3 12 2 1 （3） ( + 2 )÷( ? ) a?2 a ?4 a?2 a+2六、课后练习 1．计算 (1) (1 + (2) (y x )(1 ? ) x? y x+ ya+2 a ?1 a?2 4?a ? 2 )? ÷ 2 2 a a ? 2 a a ? 4a + 4 a 1 1 1 xy (3) ( + + ) ? x y z xy + yz + zx 1 1 4 ? ) ÷ 2 ，并求出当 a = -1 的值. a+2 a?2 a（2）2．计算 (七、答案： 答案： 五、（1）2x 六、1.(1)ab a?b(2)（3）3 （3）xy 2 x ? y21 a?21 z2. ?a2 1 ,2 a ?4 3课后反思： 课后反思：14新人教版八年级数学下教案八年级数学组16． 16．2．3 整数指数幂一、教学目标： 教学目标： 1．知道负整数指数幂 a?n=1 （a≠0，n 是正整数）. an2．掌握整数指数幂的运算性质. 3．会用科学计数法表示小于 1 的数. 二、重点、难点 重点、 重点 1．重点：掌握整数指数幂的运算性质. 重点： 重点 2．难点：会用科学计数法表示小于 1 的数. 难点： 三、课堂引入 1．回忆正整数指数幂的运算性质： （1）同底数的幂的乘法： a ? a = am n m+ n(m,n 是正整数)；（2）幂的乘方： (a m ) n = a mn (m,n 是正整数)； （3）积的乘方： ( ab) n = a n b n (n 是正整数)； （4）同底数的幂的除法： a ÷ a = am n m? n( a≠0，m,n 是正整数， m＞n)；（5）商的乘方： ( ) =na ban (n 是正整数)； bn02．回忆 0 指数幂的规定，即当 a≠0 时， a = 1 . 3．你还记得 1 纳米=10 米，即 1 纳米= 4．计算当 a≠0 时， a ÷ a =3 5-91 米吗？ 10 9a3 a3 1 = 3 2 = 2 ，再假设正整数指数幂的运算性质 5 a a ?a aa m ÷ a n = a m? n (a ≠ 0 ， m,n 是 正 整 数 ， m ＞ n) 中 的 m ＞ n 这 个 条 件 去 掉 ， 那 么 1 a 3 ÷ a 5 = a 3?5 = a ?2 .于是得到 a ?2 = 2 （a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当 n 是 a 1 ?n 正整数时， a = n （a≠0）. a四、例题讲解 （P24）例 9.计算 [分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数 指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式. （P25）例 10. 判断下列等式是否正确？ [分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化 为乘法这个结论， 从而使分式的运算与整式的运算统一起来， 然后再判断下列等式是否正确. （P26）例 11. [分析] 是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于 1 的数. 五、随堂练习 1.填空15新人教版八年级数学下教案八年级数学组（1）-2 = （4）2 = 2.计算 (1) (x y )3 -2 2 02（2）(-2) = ( 5）2 = （2）x y2 -2 -32（3）(-2) = ( 6）(-2) =3 -30?(x y)-2(3)(3x y )2 -22÷(x y)-23六、课后练习 1. 用科学计数法表示下列各数： 0．000 04， 2.计算 (1) (3×10 )×(4×10 ) 七、答案： 答案： 五、1.（1）-4 2.（1） （2）4 （2）-5 -8 3-0. 034,0.000 000 45,-3 20. 003 009-3 3(2) (2×10 ) ÷(10 )（3）1（4）1（5）1 8（6） ?1 8x6 y4y x4（3）-29 x10 y7（3）4.5×103 -7六、1.(1) 4×10(2) 3.4×10-5（4）3.009×10-32.（1） 1.2×10 课后反思： 课后反思：（2）4×1016新人教版八年级数学下教案八年级数学组16． 分式方程( 16．3 分式方程(一)一、教学目标： 教学目标： 1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检 验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点 重点、 重点 1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 重点： 重点 原方程的增根. 2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 难点： 原方程的增根. 三、课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程 2．提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时， 它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用 时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为 v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得 到方程x + 2 2x ? 3 ? =1 4 6100 60 = . 20 + v 20 ? v像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 四、例题讲解 （P34）例 1.解方程 [分析]找对最简公分母 x(x-3),方程两边同乘 x(x-3),把分式方程转化 为整式方程，整式方程的解必须验根 这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便. （P34）例 2.解方程 [分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数 1 漏 乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根. 五、随堂练习 解方程 (1)3 2 2 3 6 = （2） + = 2 x x?6 x +1 x ?1 x ?1 x +1 4 2x x （3） ? 2 = 1 （4） + =2 x ?1 x ?1 2x ? 1 x ? 21．解方程 (1)六、课后练习2 1 ? =0 5 + x 1+ x(2)6 4x ? 7 = 1? 3x ? 8 8 ? 3x17新人教版八年级数学下教案八年级数学组2 3 4 1 5 3 ? =? + 2 ? 2 =0 (4) x + 1 2x + 2 4 x + x x ? x x ?1 2x + 9 1 2 ? ? 的值等于 2？ 2．X 为何值时，代数式 x+3 x?3 x(3)2七、答案： 答案： 五、（1）x=18 六、1． (1) x=3 （2）原方程无解 (2) x=3 （3）x=1 （4）x=4 5 3 2（3）原方程无解 （4）x=1 2. x=课后反思： 课后反思：18新人教版八年级数学下教案八年级数学组16． 分式方程( 16．3 分式方程(二)一、教学目标： 教学目标： 1．会分析题意找出等量关系. 2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 二、重点、难点 重点、 重点 1．重点：利用分式方程组解决实际问题. 重点： 2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系. 难点： 三、例题讲解 P35 例 3 分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没 有具体的工作量，工作量虚拟为 1，工作的时间单位为“月”. 等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 P36 例 4 分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度= （量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间 四、随堂练习 1. 学校要举行跳绳比赛， 同学们都积极练习.甲同学跳 180 个所用的时间， 乙同学可以 跳 240 个；又已知甲每分钟比乙少跳 5 个，求每人每分钟各跳多少个. 2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单 独做,需要超过规定日期 4 天才能完成,如果两组合作 3 天后,剩下的工程由第二组单独做, 正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天? 3. 甲、乙两地相距 19 千米，某人从甲地去乙地，先步行 7 千米，然后改骑自行车，共 用了 2 小时到达乙地， 已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍， 求步行的速度和骑自 行车的速度. 五、课后练习 1．某学校学生进行急行军训练，预计行 60 千米的路程在下午 5 时到达，后来由于把速 度加快路程 .这题用字母表示已知数 时间1 ，结果于下午 4 时到达，求原计划行军的速度。 5 2 ，求甲、 32．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做 1 天后，再由两队合作 2 天就 完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的 乙两队单独完成各需多少天？ 3．甲容器中有 15%的盐水 30 升，乙容器中有 18%的盐水 20 升，如果向两个容器个加入 等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？ 六、答案： 答案： 五、1. 15 个，20 个 六、1. 10 千米/时 2. 12 天 2. 4 天，6 天 3. 5 千米/时，20 千米/时 3. 20 升19新人教版八年级数学下教案八年级数学组课后反思： 课后反思：20新人教版八年级数学下教案八年级数学组第十七章 反比例函数17．1．1 反比例函数的意义 ． ．一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 ．重点： 2．难点：理解反比例函数的概念 ．难点： 三、课堂引入 1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 四、例习题分析 例 1．见教材 P47 分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以先设 y = 常数 k，即利用了待定系数法确定函数解析式。 例 1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1） y = （6） y =k ，再把 x＝2 和 y＝6 代入上式求出 xx 3（2） y = ?2 x（3）xy＝21（4） y =5 x+2（5） y = ?3 2x1 +3 x（7）y＝x－4k （k 为常数，k≠0） x 1 + 3x 的形式，这里（1）、 （7）是整式， （4）的分母不是只单独含 x， （6）改写后是 y = ， x分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成 y = 分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式 例 2．（补充）当 m 取什么值时，函数 y = (m ? 2) x 分析：反比例函数 y =3? m 2是反比例函数？k （k≠0）的另一种表达式是 y = kx ?1 （k≠0），后一种写法 x中 x 的次数是－1，因此 m 的取值必须满足两个条件，即 m－2≠0 且 3－m2＝－1，特别注 意不要遗漏 k≠0 这一条件，也要防止出现 3－m2＝1 的错误。 解得 m＝－2 例 3． （补充）已知函数 y＝y1＋y2，y1 与 x 成正比例，y2 与 x 成反比例，且当 x＝1 时， y＝4；当 x＝2 时，y＝5 （1） 求 y 与 x 的函数关系式 （2） 当 x＝－2 时，求函数 y 的值 分析：此题函数 y 是由 y1 和 y2 两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意 分别设出 y1、 y2 与 x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。 这里要注意 y1 与 x 和 y2 与 x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为 k，要用21新人教版八年级数学下教案八年级数学组不同的字母表示。 略解：设 y1＝k1x（k1≠0）， y 2 = k2＝2，则 y = 2 x +k2 k （k2≠0），则 y = k1 x + 2 ，代入数值求得 k1＝2， x x2 ，当 x＝－2 时，y＝－5 x五、随堂练习 1．苹果每千克 x 元，花 10 元钱可买 y 千克的苹果，则 y 与 x 之间的函数关系式为 2．若函数 y = (3 + m) x8? m 2是反比例函数，则 m 的取值是3．矩形的面积为 4，一条边的长为 x，另一条边的长为 y，则 y 与 x 的函数解析式为 4． 已知 y 与 x 成反比例， 且当 x＝－2 时， y＝3， y 与 x 之间的函数关系式是 则 ， 当 x＝－3 时，y＝ 5．函数 y = ?1 中自变量 x 的取值范围是 x+2六、课后练习 已知函数 y＝y1＋y2，y1 与 x＋1 成正比例，y2 与 x 成反比例，且当 x＝1 时，y＝0； 当 x＝4 时，y＝9，求当 x＝－1 时 y 的值 答案： 答案：y＝4 课后反思： 课后反思：22新人教版八年级数学下教案八年级数学组17．1．2 反比例函数的图象和性质（1） ． ． 反比例函数的图象和性质（ ）一、教学目标 1．会用描点法画反比例函数的图象 2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质 3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法 重点、 二、重点、难点 1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质 ．重点： 2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 ．难点： 三、课堂引入 提出问题： 1．一次函数 y＝kx＋b（k、b 是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函 数 y＝kx（k≠0）呢？ 2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 3．反比例函数的图象是什么样呢? 四、例习题分析 例 2．见教材 P48，用描点法画图，注意强调： （1）列表取值时，x≠0，因为 x＝0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以 “0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求 y 值 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样 便于连线，使画出的图象更精确 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线 （4）由于 x≠0，k≠0，所以 y≠0，函数图象永远不会与 x 轴、y 轴相交，只是无限 靠近两坐标轴 例 1．（补充）已知反比例函数 y = (m ? 1) x 指出在每个象限内 y 随 x 的变化情况？ 分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即 y = kx ?1 （k≠0）自变量 x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则 m－1 ＜0，不要忽视这个条件 略解：∵ y = (m ? 1) x 又∵图象在第二、四象限 解得 m = ± 2 且 m＜1m 2 ?3 m 2 ?3的图象在第二、四象限，求 m 值，并是反比例函数 ∴m－1＜0∴m2－3＝－1，且 m－1≠0则m = ? 2例 2．（补充）如图，过反比例函数 y =1 （x＞0）的图 x象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D， 连接 OA、OB，设△AOC 和△BOD 的面积分别是 S1、S2，比 较它们的大小，可得（ ） （A）S1＞S2 （B）S1＝S223新人教版八年级数学下教案八年级数学组（C）S1＜S2（D）大小关系不能确定k （k≠0）的图象上任一点 P（x，y）向 x 轴、y 轴作垂线段， x 1 与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积 S = xy = k ，由此可得 S1＝S2 ＝ ，故选 B 2分析：从反比例函数 y = 五、随堂练习 1．已知反比例函数 y =3?k ，分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围 x（1）函数图象位于第一、三象限 （2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大 2．函数 y＝－ax＋a 与 y =?a （a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ x）3．在平面直角坐标系内，过反比例函数 y =k （k＞0）的图象上的一点分别作 x 轴、 xy 轴的垂线段，与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积是 6，则函数解析式为 六、课后练习 1．若函数 y = ( 2 m ? 1) x 与 y = 2． 反比例函数 y = ?3?m 的图象交于第一、三象限，则 m 的取值范围是 x； x＜－2 时； 的取值范围是 当 y ；2 ， x＝－2 时， 当 y＝ xa2 ?6当 x＞－2 时；y 的取值范围是 3． 已知反比例函数 y = (a ? 2) x 求函数关系式 答案： ． 答案：3． a = ? 5 , y = 课后反思： 课后反思： ，当 x & 0 时，y 随 x 的增大而增大，? 5?2 x24新人教版八年级数学下教案八年级数学组17．1．2 反比例函数的图象和性质（2） ． ． 反比例函数的图象和性质（ ）一、教学目标 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法 重点、 二、重点、难点 1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 ．重点： 2．难点：学会从图象上分析、解决问题 ．难点： 三、课堂引入 复习上节课所学的内容 1．什么是反比例函数？ 2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？ 四、例习题分析 例 3．见教材 P51 分析：反比例函数 y =k 的图象位置及 y 随 x 的变化情况取决于常数 k 的符号，因此 x要先求常数 k，而题中已知图象经过点 A（2，6），即表明把 A 点坐标代入解析式成立，所 以用待定系数法能求出 k，这样解析式也就确定了。 例 4．见教材 P52 例 1．（补充）若点 A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数 y =k （k x＜0）图象上，则 a、b、c 的大小关系怎样？ 分析：由 k＜0 可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增 大，因为 A、B 在第二象限，且－1＞－2，故 b＞a＞0；又 C 在第四象限，则 c＜0，所以 b＞a＞0＞c 说明： 由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内， 因此函数 y 随 x 的增减性就不能连 续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说 k＜0 时 y 随 x 的增大而增大，就会 误认为 3 最大，则 c 最大，出现错误。 此题还可以画草图，比较 a、b、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。 例 2． （补充）如图， 一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y =m 的图象交于 xA（－2，1）、B（1，n）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2） 根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取 值范围 分析：因为 A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数 的解析式 y = ?2 ，又 B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出 xn 的值，最后再由 A、B 两点坐标求出一次函数解析式 y＝－x－1， 第（2）问根据图象可得 x 的取值范围 x＜－2 或 0＜x＜1，这是因为比较两个不同函数的值 的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。 五、随堂练习25新人教版八年级数学下教案八年级数学组1．若直线 y＝kx＋b 经过第一、二、四象限，则函数 y = （A）第一、三象限 （C）第三、四象限kb 的图象在（ x）（B）第二、四象限 （D）第一、二象限2．已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线 y = ? 式正确的是（ （A）y1＞y2＞y3 （C）y2＞y1＞y3 六、课后练习 ） （B）y1＞y3＞y2 （D）y3＞y1＞y2k 2 +1 上，则下列关系 x1． 已知反比例函数 y =2k + 1 的图象在每个象限内函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， x且 k 的值还满足 9 ? 2( 2k ? 1) ≥2k－1，若 k 为整数，求反比例函数的解析式 2．已知一次函数 y = kx + b 的图像与反比例函数 y = ? 点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是－2 ， 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积 答案： 答案： 1． y = ．8 的图像交于 A、B 两点，且 x1 3 5 或y= 或y= x x x2．（ ）y＝－x＋2，（2）面积为 6 ．（1） ．（课后反思： 课后反思：26新人教版八年级数学下教案八年级数学组17．2 实际问题与反比例函数（1） ． 实际问题与反比例函数（ ）一、教学目标 1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力 重点、 二、重点、难点 1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 ．重点： 2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式 ．难点： 三、课堂引入 寒假到了， 小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰， 突然发现前面有一处冰出现了裂痕， 小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理 吗？ 四、例习题分析 例 1．见教材第 57 页 分析： （1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为 104，底面积是 S，深度为 d， 满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，由题意知 S 是函数，d 是自变量，改写后所得 的函数关系式是反比例函数的形式， （2）问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值， （3）问则是与（2）相反 例 2．见教材第 58 页 分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间， 由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度 v 和时间 t，因此具有反比关系，（2） 问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量 t 取最大值时，函数值 v 取最小值是多少？ 例 1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当 温度不变时，气球内气体的气压 P（千帕）是气体体积 V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种 压强单位） （1）写出这个函数的解析式； （2） 当气球的体积是 0.8 立方米时，气球内的气压是多少 千帕？ （3）当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为 了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 分析：题中已知变量 P 与 V 是反比例函数关系，并且图象经过点 A，利用待定系数法 可以求出 P 与 V 的解析式，得 P =96 ，（3）问中当 P 大于 144 千帕时，气球会爆炸，即 V 2 立方米 3当 P 不超过 144 千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随 V 的增大而减 小，可先求出气压 P＝144 千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于五、随堂练习 随堂练习 1．京沈高速公路全长 658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程 所需时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的函数关系式为 2． 完成某项任务可获得 500 元报酬， 考虑由 x 人完成这项任务， 试写出人均报酬 y （元） 与人数 x（人）之间的函数关系式 3．一定质量的氧气，它的密度 ρ （kg/m3）是它的体积 V（m3）的反比例函数，当 V27新人教版八年级数学下教案八年级数学组＝10 时， ρ ＝1.43，（1）求 ρ 与 V 的函数关系式；（2）求当 V＝2 时氧气的密度 ρ 答案： 答案： ρ ＝14.3 ，当 V＝2 时， ρ ＝7.15 V六、课后练习 1．小林家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v（米/分）， 所需时间为 t（分） （1）则速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ （2）若小林到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ （2）如果小林骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位？ 答案： 答案： v =3600 ，v＝240，t＝12 t2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤 0.6 吨计 算，一学期（按 150 天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为 x 吨，那么这批煤能维持 y 天 （1）则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ （2）画函数图象 （3）若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？课后反思： 课后反思：28新人教版八年级数学下教案八年级数学组17．2 实际问题与反比例函数（2） ． 实际问题与反比例函数（ ）一、教学目标 1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比 例函数这一数学模型 重点、 二、重点、难点 1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 ．重点： 2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题 ．难点： 三、课堂引入 1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆 桶呢？其原理是什么？ 2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？ 四、例习题分析 例 3．见教材第 58 页 分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变 量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力 F 是自变量动力臂 l 的反比例 函数，当 l ＝1.5 时，代入解析式中求 F 的值；（2）问要利用反比例函数的性质， l 越大 F 越小，先求出当 F＝200 时，其相应的 l 值的大小，从而得出结果。 例 4．见教材第 59 页 分析：根据物理公式 PR＝U2，当电压 U 一定时，输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数， 则P =220 2 ，（2）问中是已知自变量 R 的取值范围，即 R110≤R≤220，求函数 P 的取值范围，根据反比例函数的性 质，电阻越大则功率越小， 得 220≤P≤440 例 1． （补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药 熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中 的含药量 y(毫克)与时间 x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与 x 成反比例(如图)，现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空 气中每立方米的含药量 6 毫克，请根据题中所提供的信息， 解答下列问题： (1)药物燃烧时，y 关于 x 的函数关系式为 ,自变量 x 的取值范为 ； 药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式为 . (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开 始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能 有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么? 分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数 y 是 x 的正比例函数，设 y = k1 x ，将点（8， 6）代人解析式，求得 y = 函数，设 y =3 x ，自变量 0＜x≤8；药物燃烧后，由图象看出 y 是 x 的反比例 4k2 48 ，用待定系数法求得 y = x x29新人教版八年级数学下教案八年级数学组（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某 一时间进入办公室，先将药含量 y＝1.6 代入 y =48 ，求出 x＝30，根据反比例函数的图象 x 3 x 中，得 x＝4，即当 4与性质知药含量 y 随时间 x 的增大而减小，求得时间至少要 30 分钟 （3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当 y＝3 时，代入 y =药物燃烧 4 分钟时，药含量达到 3 毫克；药物燃烧后，药含量由最高 6 毫克逐渐减少，其间 还能达到 3 毫克，所以当 y＝3 时，代入 y =48 ，得 x＝16，持续时间为 16－4＝12＞10， x因此消毒有效 五、随堂练习 1．某厂现有 800 吨煤，这些煤能烧的天数 y 与平均每天烧的吨数 x 之间的函数关系是 （ ） （A） y =300 （x＞0） x（B） y =300 （x≥0） x（C）y＝300x（x≥0） （D）y＝300x（x＞0） 2．已知甲、乙两地相 s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗 油量为 a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量 y（升）与汽车的行驶速度 v（千米/时） 的函数图象大致是（ ）3． 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着 数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比 例函数，其图象如图所示： （1）写出 y 与 S 的函数关系式； （2） 求当面条粗 1.6mm2 时， 面条的总长度是多少米？ 六．课后练习 一场暴雨过后，一洼地存雨水 20 米 3，如果将雨水全部排完需 t 分钟，排水量为 a 米 3/分， 且排水时间为 5～10 分钟 （1）试写出 t 与 a 的函数关系式，并指出 a 的取值范围； （2）请画出函数图象 （3）根据图象回答：当排水量为 3 米 3/分时，排水的时间需要多长？ 课后反思： 课后反思：30新人教版八年级数学下教案八年级数学组第十八章勾股定理18．1 勾股定理（一） ． 勾股定理（一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学 习。 重点、 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号， 如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定 理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明 勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC，用刻度尺量出 AB 的长。 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺 折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直 角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。 再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ABC，用刻度尺量 AB 的长。 你是否发现 32+42 与 52 的关系，52+122 和 132 的关系，即 32+42=52，52+122=132，那么就 有勾 2+股 2=弦 2。 C D 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 四、例习题分析 例 1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C 的对边为 a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。 a 分析： ⑴让学生准备多个三角形模型， 最好是有颜色的吹塑纸， b 让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 c A B ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S 小正=S 大正 4×1 ab＋（b－a）2=c2，化简可证。 2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达 300 余 b a 种。这个古老的精彩的证法，出自 我国古代无名数学家之手。激发学 a c 生的民族自豪感，和爱国情怀。 c 例 2 已知：在△ABC 中，∠ C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为 c b c a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。a ba ab c ababcbab31新人教版八年级数学下教案八年级数学组分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 左边 S=4×1 ab＋c2 2右边 S=（a+b）2 左边和右边面积相等，即 4×1 ab＋c2=（a+b）2 2化简可证。 五、课堂练习 1． 勾股定理的具体内容是： 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°， （用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ； ⑵若 D 为斜边中点，则斜边中线 ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。 3．△ABC 的三边 a、b、c，若满足 b2= a2＋c2，则 =90°； 若 2 2 2 2 2 满足 b ＞c ＋a ，则∠B 是 角； 若满足 b ＜c ＋a2，则∠B 是 角。 4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。。A DCA DBacb E六、课后练习 c a 1．已知在 Rt△ABC 中，∠B=90°，a、b、c 是△ABC 的三边，则 B ⑴c= 。（已知 a、b，求 c） C b ⑵a= 。（已知 b、c，求 a） ⑶b= 。（已知 a、c，求 b） 2．如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 a＜b＜c，试根据表中已有数的规律， 写出当 a=19 时，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。 3、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41 …… 19，b、c 32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 …… 192+b2=c23．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC= 10 3 cm，一动 点 P 从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移动，问当 P 点移动多少秒 时，PA 与腰垂直。 4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 在 CB 的延长线 上。 求证：⑴AD2－AB2=BD?CD ⑵若 D 在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。 课后反思： 课后反思：ADBC32新人教版八年级数学下教案八年级数学组18．1 勾股定理（二） ． 勾股定理（一、教学目标 1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 重点、 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例 1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形， 理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会 利用不同的条件转化为已知两边求第三边。 例 2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思 想。 例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作 高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。 让学生把前面学过的知识和新知识综合运用， 提 高综合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例 1（补充）在 Rt△ABC，∠C=90° ⑴已知 a=b=5,求 c。 ⑵已知 a=1,c=2, 求 b。 ⑶已知 c=17,b=8, 求 a。 ⑷已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。 ⑸已知 b=15，∠A=30°，求 a，c。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两 直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的 便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知 任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边， 学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三 C 边。 分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应 分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类 讨论思想。 例 3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是 6cm。 B A D ⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求 S△ABC。 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高 CD，可将其置身于 Rt△ADC 或 Rt△BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD=1 AB=3cm，则此题可解。 233新人教版八年级数学下教案八年级数学组六、课堂练习 1．填空题 。 ⑴在 Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则 c= ⑵在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则 c= 。 ⑶在 Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则 a= ，b= ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，，则第三边长为 ⑹ 已 知 等 边 三 角 形 的 边 长 为 2cm ， 则 它 的 高 ，面积为 。 为 A 2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB= 4 3 ， AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。 3．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰 C 三角形的面积。 七、课后练习 1．填空题 在 Rt△ABC，∠C=90°， 。 ⑴如果 a=7，c=25，则 b= ⑵如果∠A=30°，a=4，则 b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则 c= 。 。 ⑷如果 c=10，a-b=2，则 b= ⑸如果 a、b、c 是连续整数，则 a+b+c= 。 。 ⑹如果 b=8，a：c=3：5，则 c= 2．已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求 BC 的长。B。 。 。DBADC课后反思： 课后反思：八、参考答案 课堂练习 1．17； 2．8； 课后练习 1．24；7 ； 6，8； 6，8，10； 4 或 34 ；3．48。3， 3；4 3； 3 2；6； 12； 10；2．2 3 334新人教版八年级数学下教案八年级数学组18．1 勾股定理（三） ． 勾股定理（一、教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 重点、 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的应用。 2．难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析 例 1（教材 P74 页探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学 会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。 例 2（教材 P75 页探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角 D 三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。 勾股定理的发现和使 用解决了许多生活中的问题， 今天我们就来运用勾股定理解决一些问题， 你 可以吗？试一试。 五、例习题分析 A 例 1（教材 P74 页探究 1） 分析： ⑴在实际问题向数学问题的转化过程中， 注意勾股定理的使用条件， 即门框为长方形， 四个角都是直角。 ⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？ ⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度， 只记长度， 探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理 的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。 例 2（教材 P75 页探究 2） 分析：⑴在△AOB 中，已知 AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算 A OB。 ⑵ 在△COD 中，已知 C CD=3，CO=2，利用勾股定理计算 OD。 则 BD=OD－OB，通过计算可知 BD≠AC。 D O B ⑶进一步让学生探究 AC 和 BD 的关系，给 AC 不同的值， 计算 BD。 六、课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树， 米。 这棵红叶树的离地面的高度是 2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3 米，则这两株树之间的垂直距离是 米 ， 水 平 距 离 是CCB米。BA30BCA2 题图 3 题图 4 题图 3．如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离35新人教版八年级数学下教案八年级数学组是 。 4．如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建， 已知高速公路一公里造价为 300 万 元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80 公 A 里，BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？ 七、课后练习 1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点， 在江对岸取一点 A，使 AC 垂直江岸，测得 BC=50 米， B C ∠B=60°，则江面的宽度为 。R2．有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去 盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。 3．一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q 厘米。 两点，PQ=16 厘米，且 RP⊥PQ，则 RQ= 4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24 米，∠B=∠C=30°，E、F 分别为 BD、CD 中点，试 求 B、C 两点之间的距离，钢索 AB 和 AE 的长度。（精确到 1 米）B EPQADFC课后反思： 课后反思：八、参考答案： 参考答案： 课堂练习： 1． 250 2 ； 3．18 米； 课后练习 1． 50 3 米； 3．20； 2．6， 2 3 ； 4．11600；2．2 ； 24．83 米，48 米，32 米；36新人教版八年级数学下教案八年级数学组18．1 勾股定理（四） ． 勾股定理（一、教学目标 1．会用勾股定理解决较综合的问题。 2．树立数形结合的思想。 重点、 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的综合应用。 2．难点：勾股定理的综合应用。 三课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 四、例习题分析 例1 （补充） 已知： Rt△ABC 中， 1． 在 ∠C=90°， CD⊥BC 于 D， ∠A=60°， CD= 3 ， 求线段 AB 的长。 分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及 性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的 知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 C BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30°或 45° 特殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求 AB，可由 AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特 B A D 殊角， 求出 BD=3 和 AD=1。 或欲求 AB， 可由 AB =AC 2 + BC 2 ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 AC=2 和 BC=6。 C 例 2（补充）已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°， ∠A=60°，根据题设可知什么？ 分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只 能直接求得∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置 AB 边上的高这条辅助线，就可以求得 AD，CD，BD，AB，BC B A D 及 S△ABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？ 小结： 可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。 并指出如何作 辅助线？ 解略。 例 3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°， A AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。 分析： 如何构造直角三角形是解本题的关键， 可以连结 AC， D 或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于 E，根据本 E 题给定的角应选后两种， 进一步根据本题给定的边选第三种 B C 较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。 解：延长 AD、BC 交于 E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= 48 = 4 3 。37新人教版八年级数学下教案八年级数学组∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= 12 = 2 3 。 ∴S 四边形 ABCD=S△ABE-S△CDE=1 1 AB?BE- CD?DE= 6 3 2 2小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形 的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。 例 4（教材 P76 页探究 3） 分析： 利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点， 进一步体会数轴上的点与实数一一 对应的理论。 变式训练：在数轴上画出表示 3 ? 1,2 ?2 的点。，S△ABC= 度， ∠B=A五、课堂练习 1．△ABC 中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm,则 BC= 2． △ABC 中， 若∠A=2∠B=3∠C， AC= 2 3 cm， 则∠A= ∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。。 度,3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC= 2 3 ，CD⊥AB 于 D， ， CD= ， BD= ， 则 AC= AD= ,S△ABC= 。 4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求 S△ABC。BC六、课后练习 1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥BC 于 D，∠A=60°，CD= 3 ，AB= 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且 a＜b，则 a= 3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°， AC= 2 2 ， 求（1）AB 的长；（2）S△ABC。 4．在数轴上画出表示－ 5 , 2 + 5 的点。B C。 。，b=A课后反思： 课后反思：38新人教版八年级数学下教案八年级数学组18．2 勾股定理的逆定理（一） ． 勾股定理的逆定理（一、教学目标 1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 重点、 二、重点、难点 1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、课堂引入 创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？ ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比， 从勾股定 理的逆命题进行猜想。 四、例习题分析 例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。 ⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 例 2（P82 探究）证明：如果三角形的三边长 a，b， c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 A A1 分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图 形，然后写已知求证。 c ⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道 b b 若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题 a a B C 转化为如何判断一个角是直角。 C1 B1 ⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三 角形全等，使问题得以解决。 ⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边 A1B1=c，则通过三边对应 相等的两个三角形全等可证。 ⑸先让学生动手操作， 画好图形后剪下放到一起观察能否重合， 激发学生的兴趣和求知 欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更 容易接受。 例 3（补充）已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，a=n2－1， b=2n，c=n2＋1（n＞1） 求证：∠C=90°。 分析： ⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤： ①先判 2 2 2 2 2 2 断那条边最大。②分别用代数方法计算出 a +b 和 c 的值。③判断 a +b 和 c 是否相等，若 相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 ⑵要证∠C=90°，只要证△ABC 是直角三角形，并且 c 边最大。根据勾股定理的逆定 理只要证明 a2+b2=c2 即可。 2 2 2 ⑶由于 a2+b2= （n2－1）＋ （2n）=n4＋2n2＋1， 2= 2＋1）= n4＋2n2＋1， c （n 从而 a2+b2=c2， 故命题获证。 五、课堂练习 1．判断题。39新人教版八年级数学下教案八年级数学组⑴在一个三角形中， 如果一边上的中线等于这条边的一半， 那么这条边所对的角是直角。 ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是 30°，那么它所对的边是另一边的一半。” 的逆命题是真命题。 ⑶勾股定理的逆定理是： 如果两条直角边的平方和等于斜边的平方， 那么这个三角形是 直角三角形。 ⑷△ABC 的三边之比是 1：1： 2 ，则△ABC 是直角三角形。 2．△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（ A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC 是直角三角形。 B．如果 c2= b2―a2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°。 C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC 是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形。 3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= 5 ，b= 3 ，c= 2 D．a：b：c=2：3：4 ）4．已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断 该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a= 3 ，b= 2 2 ，c= 5 ； ⑶a=2，b= 3 ，c= 7 ； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑷a=5，b= 2 6 ，c=1。六、课后练习， 课后练习， 1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 ⑴如果 a3＞0，那么 a2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于 90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 2．填空题。 ⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。 2 2 2 三角形， 是直角； ⑶在△ABC 中，若 a =b －c ，则△ABC 是 若 a2＜b2－c2，则∠B 是 。 ⑷若在△ABC 中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC 是 三角形。 3．若三角形的三边是 ⑴1、 3 、2； ⑵ ,1 1 1 , ； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； 3 4 5⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A．2 个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 4．已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判 断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b= 2 3 ，c=4； 课后反思： 课后反思： ⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。40新人教版八年级数学下教案八年级数学组18．2 勾股定理的逆定理（二） ． 勾股定理的逆定理（一、教学目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 重点、 二、重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例 1（P83 例 2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 例 2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决 实际问题的意识。 N 四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一 R S 些数学知识和数学方法。 Q 五、例习题分析 E 例 1（P83 例 2） P 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得 PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30； 2 2 2 2 2 2 ⑷因为 24 +18 =30 ，PQ +PR =QR ，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 例 2（补充）一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较 短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； ⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13； ⑶根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。 六、课堂练习 C 1．小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到 原 地 。 小 强 在 操 场 上 向 东 走 了 80m 后 ， 又 走 60m 的 方 向 是 。 2．如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿，早晨测得 B A D 它的影长为 4 米，中午测得它的影长为 1 米，则 A、B、C 三点能否构成直角三角形？为什么？ 3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海 域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截， 六分钟后同时到达 C 地将其拦截。 已知 甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海 里，航向为北偏西 40°，问：甲巡逻艇的航向？ 七、课后练习N CE A B41新人教版八年级数学下教案八年级数学组1．一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 A 此三角形的形状为 。 2．一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD 固定，现已知 用去铁丝 AC=15 米，AD=13 米，又测得地面上 B、C 两点之间 距离是 9 米，B、D 两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否 垂直，为什么？ B 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了 D 一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下 D 产量。 小明找了一卷米尺， 测得 AB=4 米， BC=3 米， CD=13 米，DA=12 米，又已知∠B=90°。A，CCB课后反思： 课后反思：参考答案： 八、参考答案： 课堂练习： 课堂练习： 1．向正南或正北。 2．能，因为 BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以 BC2+AC2= AB2； 3．由△ABC 是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏 东 50°。 课后练习： 课后练习： 1．6 米，8 米，10 米，直角三角形； 2．△ABC、△ABD 是直角三角形，AB 和地面垂直。 3．提示：连结 AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°， S 四边形=S△ADC+S△ABC=36 平方米。42新人教版八年级数学下教案八年级数学组18．2 勾股定理的逆定理（三） ． 勾股定理的逆定理（一、教学目标 1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。 3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 重点、 二、重点、难点 1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 三、例题的意图分析 例 1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。 例 2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的 问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造 3、4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理 证明 DE 就是平行线间距离。 例 3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。 四、课堂引入 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 五、例习题分析 例 1（补充）已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足 2 2 a +b +c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC 的形状。 D A 分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为 0， 则都为 0；⑶已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形 状为直角三角形。 例 2（补充）已知：如图，四边形 ABCD，AD∥BC，AB=4， B C BC=6，CD=5，AD=3。 E 求：四边形 ABCD 的面积。 分析：⑴作 DE∥AB，连结 BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC 中，3、4、5 勾股数，△DEC 为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解， C 或利用三角形的面积。 例 3（补充）已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高， 且 CD2=AD?BD。 B A D 求证：△ABC 是直角三角形。 2 2 2 2 2 2 分析：∵AC =AD +CD ，BC =CD +BD ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD?BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2 六、课堂练习 1．若△ABC 的三边 a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC 是（ ） A．等腰三角形； B．直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。43新人教版八年级数学下教案八年级数学组2．若△ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1： 2 ，试判断△ABC 的形状。AD3 13 3．已知：如图，四边形 ABCD，AB=1，BC= ，CD= ，AD=3，且 4 4AB⊥BC。 B 求：四边形 ABCD 的面积。 4．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，且 CD2=AD?BD。 求证：△ABC 中是直角三角形。 A 七、课后练习， 课后练习， 1．若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， 求△ABC 的面积。 2．在△ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。 求证：△ABC 是等腰三角形。 3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D 为 BC 上一点，且 BD=DC，AC2=AE2+CE2。CEBDC求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c= 14 ， 试判定△ABC 的形状。课后反思： 课后反思：八、参考答案： 考答案： 课堂练习： 课堂练习： 1．C； 2．△ABC 是等腰直角三角形； 3．9 44．提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2= AD2+2AD?BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°。 课后练习： 课后练习： 1．6； 2．提示：因为 AD2+BD2=AB2，所以 AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知 AB=BC。 3． 提示： AC2=AE2+CE2 得∠E=90°； 有 由△ADC≌△AEC， AD=AE， 得 CD=CE， ∠ADC= 2 2 2 ∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知 AB=AC，则 AB =AE +CE 。 2 4． 提示： 直角三角形， 用代数方法证明， （a+b）=16， 2+2ab+b2=16， 因为 a ab=1， 所以 a2+b2=14。 又因为 c2=14，所以 a2+b2=c2 。44新人教版八年级数学下教案八年级数学组第十九章 平行四边形19.1.1一、平行四边形及其性质(一 平行四边形及其性质 一)教学目标： 教学目标：1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、 重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形 的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么 四边形 ABCD 是平行四边形． 平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形（判定）； ②∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端 点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条 边的对角． （教学时要结合图形，让学生认识清楚） 2． 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平 行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形， 观察这个四边形， 它除具有四边 形的性质和两组对边分别平行外以， 它的边和角之间有什么关系？度量一下， 是不是和你猜 想的一致？ （1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中， 相邻的角互为补角． （相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角． 注意和第一章的邻角相区别． 教学时结合 图形使学生分辨清楚． ）45新人教版八年级数学下教案八年级数学组（2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等． 猜想 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图 ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作 ABCD 的对角线 AC，它将平行四边形分成△ABC 和△CDA，证明这两个 三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线， 通过作对角线， 可以把未知问题转化为已知 的关于三角形的问题． ） 证明：略 由此得到： 平行四边形性质 1 平行四边形性质 2 四、例习题分析 例 1（教材 P93 例 1） 例 2（补充）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF， 求证：AF=CE． 五、随堂练习 1．填空： （1）在 ABCD 中，∠A= 50° ，则∠B= 度，∠C= 度， ∠B= 度，∠D= 度， ∠C= 度． 度， ∠D= 度． cm， （2） 如果 ABCD 中， ∠A―∠B=240， 则∠A= 平行四边形的对边相等． 平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等． 平行四边形的对角相等．（3）如果 ABCD 的周长为 28cm，且 AB：BC=2∶5，那么 AB= CD= cm，CD= cm． 2．如图 4.3－9，在 ABCD 中，AC 为对角线，BE⊥AC，DF ⊥AC，E、F 为垂足，求证：BE＝DF． 六、课后练习 1． （选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（cm，BC=） ．（A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是 360° 2．在 ABCD 中，如果 EF∥AD，GH∥CD，EF 与 GH 相交与点 O，那么图中的平行四边 形一共有（ ） ． （A）4 个 （B）5 个 （C）8 个 （D）9 个 3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD 平分∠ABC，求证 AB=CE．19.1.1 平行四边形的性质 二) 平行四边形的性质(二一、 教学目标： 教学目标： 1． 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2． 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题． 3． 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．46新人教版八年级数学下教案八年级数学组二、重点、 重点、难点1． 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用． 2． 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．复习提问： （1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质： ①具有一般四边形的性质（内角和是 360° ）． ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 边：平行四边形的对边相等． 2．【探究】： 请学生在纸上画两个全等的 ABCD 和 EFGH，并连接对角线 AC、BD 和 EG、HF， 设它们分别交于点 O．把这两个平行四边形落在一起，在点 O 处钉一个图钉，将 ABCD 绕点 O 旋转 180° ，观察它还和 EFGH 重合吗？你能从子中 看出前面所得到的平行四边形的边、 角关系吗？进一步， 你还 能发现平行四边形的什么性质吗？ 结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 四、例习题分析 例 1（补充） 点 E、F． 求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． ※【引申】若例 1 中的条件都不变，将 EF 转动到图 b 的位置，那么例 1 的结论是否成 立？若将 EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图 c 和图 d），例 1 的 结论是否成立，说明你的理由． 已知：如图 4－21， ABCD 的对角 线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与 AB、CD 分别相交于例 2（教材 P94 的例 2）已知四边形 ABCD 是平行四 边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求 BC、CD、 AC、OA 的长以及 ABCD 的面积． 解略（参看教材 P94）．47新人教版八年级数学下教案八年级数学组五、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于 48， ① 已知一边长 12，求各边的长 ② 已知 AB=2BC，求各边的长 ③ 已知对角线 AC、BD 交于点 O，△AOD 与△AOB 的周长的差是 10，求各边的长 2．如图， ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC 的周 长是____ ___cm． 3． ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成 5cm ，7cm 的两条线段，则 ABCD 的周长是__ ___ cm ．六、课后练习 1．判断对错 （1）在 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，则 AO=OB=OC=OD． （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （4）平行四边形是轴对称图形． 2．在 ABCD 中，AC＝6、BD＝4，则 AB 的范围是__ ． （ （ （ （ ______． ） ） ） ）3．在平行四边形 ABCD 中，已知 AB、BC、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和 16，则这个四边形的周长是4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修 几条笔直的小路， 如图， AB＝15cm，AD＝12cm， AC⊥BC， 求小路 BC，CD，OC 的长，并算出绿地的面积．19.1.2（一） 平行四边形的判定 （一、 教学目标： 教学目标： 1． 在探索平行四边形的判别条件中， 理解并掌握用边、 对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 重点、 3． 重点：平行四边形的判定方法及应用． 4． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 三、课堂引入48新人教版八年级数学下教案八年级数学组1．欣赏图片、提出问题． 展示图片， 提出问题， 在刚才演示的图片中， 有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？ 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制}