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如图，△ABC内接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明
题型：解答题难度：中档来源：贵州省中考真题
解：当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。理由如下：∵P是优弧BAC的中点，∴βB=βC。∴PB=PC。若△PAD是以AD为底边的等腰三角形，则PA=PD。又∵∠PAD=∠PCB，∴△PAD∽△PCB。∴∠DPA=∠BPC。∴∠BPD=∠CPA。在△PBD与△PCA中，∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，PD=PA ，∴△PBD≌△PCA（SAS）。∴BD=AC=4。由于以上结论，反之也成立，∴当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，△ABC内接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中..”主要考查你对&&圆心角，圆周角，弧和弦，全等三角形的性质，三角形全等的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆心角，圆周角，弧和弦全等三角形的性质三角形全等的判定
圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）； 劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示） 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。&&弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。圆心角特征识别:①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。
计算公式:①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；②S(扇形面积) = n/360Xπr2；③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对的弧的度数。理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
与圆周角关系:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。⑥在同圆或等圆中，圆周角相等&=&弧相等&=&弦相等。全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。⑦A.S.S. (角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。解题技巧：一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
发现相似题
与“如图，△ABC内接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中..”考查相似的试题有：
138286350220138427212616199446921006如图 AD是三角形ABC的外角平分线，点P在射线AD上，你可以说明PB+PC大于等于AB+AC的理由吗？
如图 AD是三角形ABC的外角平分线，点P在射线AD上，你可以说明PB+PC大于等于AB+AC的理由吗？
不区分大小写匿名
解：AB+AC＜BP+PC．理由如下：如图，在AE上取一点F，使AF=AC，连接PF．∵AD为△ABC外角平分线，∴∠FAP=∠CAP，在△FAP和△CAP中， ，∴△FAP≌△CAP，∴PF=PC，∵在△BPF中，BF＜BP+PF，∴AB+AC＜BP+PC．当P点与A点重合时：AB+AC=BP+PC所以结论应为：AB+AC≤BP+PC．
三角形大角对大边
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理工学科领域专家在等腰三角形ABC中，AB=AC=6，P为BC上的一点，且PA=4，则PB*PC等于多少？
在等腰三角形ABC中，AB=AC=6，P为BC上的一点，且PA=4，则PB*PC等于多少？
作AD垂直于BC交BC于D
PA^2=AD^2+PD^2 (勾股定理)
BD=CD (三线合一)
PB*PC=BD-PD)(CD+PD)
=（BD-PD)(BD+PD)
=BD^2-PD^2
=AB^2-AD^2-(AP^2-AD^2)
=AB^2-AP^2
=36-16=20
提问者 的感言：谢谢了
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学习帮助领域专家
当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导如图，三角形ABC内接于圆O，AB=6，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA，PB，PC，PD，1.当BD的长度为多少时，三角形PAD是以AD为底边的等腰三角形？
如图，三角形ABC内接于圆O，AB=6，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA，PB，PC，PD，1.当BD的长度为多少时，三角形PAD是以AD为底边的等腰三角形？
不区分大小写匿名
丫的先给图啊！
嘻嘻，即使给了我也不会噻……
&：（1）连接PA，当BD=AC=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴弧PB=弧PC．∴PB=PC．∴当BD=AC=4，∠PBD=∠PCA，△PBD≌△PCA．∴PA=PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD=4时，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2，则AE=
2AD=1．∵∠PCB=∠PAD，∴cos∠PAD=cos∠PCB=
为了广大的抄作业的朋友，我说一下，第2题答案是根号5(那个根号怎么打来着？）
&（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形
∵P是优弧BAC的中点
∴弧PB＝弧PC
∴PB＝PC
∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA
∴△PBD≌△PCA
∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形
这题先入为主了吧&
只能利用PAD是以AD为底边的等腰三角形，利用弧PB=弧PC证明∠PAD+∠PAC=180°，∠PDB+∠PDA=180°，然后证明△PBD≌△PCA才能证明BD=AC=4
解：当BD=4时，△PAD是
以AD为底边的等腰三角形
。理由如下：
∵P是优弧BAC的中点，
∴βB=βC。
若△PAD是以AD为底边的
等腰三角形，
又∵∠PAD=∠PCB，
∴△PAD∽△ PCB。
∴∠DPA=∠BPC。
∴∠BPD=∠CPA。
在△PBD与△PCA中，
∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，
∴△PBD≌△PCA（SAS）
。
∴BD=AC=4。
由于以上结论，反之也成
立，
∴当BD=4时，△PAD是以
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学习帮助领域专家
当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导如图，三角形ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P 求证：PA=PB=PC 点P是否也在边AC的垂直平分线_百度知道
提问者采纳
点P在AB垂直平分线上，∴PA=PB点P在BC垂直平分线上，∴PB=PC∴PA=PB=PC∵PA=PC∴点P也在边AC的垂直平分线
提问者评价
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当然，既是中垂线，肯定有PA=PB=PC ，既然PA=PC了，p自然在AC的中垂线上了，这是定义
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