电大西方经济学导学_百度文库
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电大西方经济学导学|电​大​西​方​经​济​学​导​学
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对于运动来讲是指以固定的加速度前进
对于经济增长速度来掩饰只经济增长率的增幅是固定的
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hanningdadi 发表于
对于运动来讲是指以固定的加速度前进
对于经济增长速度来掩饰只经济增长率的增幅是固定的谢谢，比如在利润函数π＝1000q-5q∧2中（q是产量），二阶导为常数-10，意味着什么？
Terrified, mortified, petrified, stupefied…by you!
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哼哼签到天数: 2 天连续签到: 1 天[LV.1]初来乍到
数学太烂 发表于
谢谢，比如在利润函数π＝1000q-5q∧2中（q是产量），二阶导为常数-10，意味着什么？一阶是边际利润，二阶的经济含义就不好书了，技术进步率。没得让你解释这个的吧
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hanningdadi 发表于
一阶是边际利润，二阶的经济含义就不好书了，技术进步率。没得让你解释这个的吧可是这是产量啊~
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可以说是边际利润对于产量变动的函数，额……然后这个怎么说。。。
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楼主想问什么呀？！
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说明一阶导是单调的，若常数大于零，函数为凸函数，小于零为凹函数
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该函数为二次函数形式啊
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飞向远方a 发表于
楼主想问什么呀？！好吧，这是一道题目，利润函数π＝1000q-5q∧2中（q是产量），二阶导为常数-10，意味着什么？
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论坛好贴推荐2.3 导数与微分_百度文库
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2.3 导数与微分|高​等​数​学​简​明​教​程
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凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数适用领域范围高等数学
注意中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数Concave Function指凸函数但在中国大陆涉及经济学的很多书中凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的也就是和数学教材是反的举个例子同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集两者定义正好相反
另外也有些教材会把凸定义为上凸凹定义为下凸碰到的时候应该以教材中的那些定义为准
凸函数是一个定义在某个的凸子集C区间上的实值函数f而且对于凸子集C中任意两个,
于是容易得出对于任意0,1)中p,如果f连续那么p可以改成任意0,1中实数
若这里凸集C即某个区间I那么就是设f为定义在区间I上的函数若对I上的任意两点和任意的实数总有
则f称为I上的凸函数当且仅当其上境图在函数图像上方的点集为一个凸集
判定方法可利用定义法已知结论法以及函数的
对于实数集上的凸函数一般的判别方法是求它的二阶导数如果其二阶导数在区间上非负就称为凸函数向下凸
如果其二阶导数在区间上恒大于0就称为严格凸函数定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续且在除可数个点之外的所有点可微如果C是那么f有可能在C的端点不连续
一元可微函数在某个区间上是凸的当且仅当它的导数在该区间上单调不减
一元连续可微函数在区间上是凸的当且仅当函数位于所有它的切线的上方对于区间内的所有x和y都有f(y) & f(x) + f '(x) (y - x特别地如果f '(c) = 0那么c是f(x的最小值
一元二阶可微的函数在区间上是凸的当且仅当它的二阶导数是非负的这可以用来判断某个函数是不是凸函数如果它的是正数那么函数就是严格凸的但反过来不成立例如f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2当x = 0时为零但x4是严格凸的
更一般地多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的当且仅当它的在凸集的内部是的
凸函数的任何极小值也是最小值严格凸函数最多有一个最小值
对于凸函数f水平子集{x | f(x) & a}和{x | f(x) ≤ a}a ∈ R是凸集然而水平子集是的函数不一定是凸函数这样的函数称为
对于每一个凸函数f都成立如果X是一个在f的定义域内取值那么在这里E表示
凸函数还有一个重要的性质对于凸函数来说局部最小值就是全局最小值定义1设f(x)在区间I上有定义,f(x)在区间I称为是凸函数当且仅当:?x1?x2∈I,有f[λx1+1-λx2]≥λfx1)+(1-λ)f(x2)上式中≥改成&则是严格凸函数的定义.
定义2设fx在区间I上有定义,fx在区间I称为是凸函数当且仅当:?x1?x2∈I 有f[x1+x2/2]≥fx1/2+fx2/2
定义3设fx在区间I上有定义,fx在区间I称为是凸函数当且仅当?x1x2....xn∈I,有f[x1+x2+......xn/n]≥[fx1+fx2+......fxn]/n
定义4f(x)在区间I上有定义,当且仅当曲线y=f(x)的切线恒保持在曲线以下,则成f(x)为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线f(x)为严格凸的.
引理1定义2与定义3等价.
引理2若连续,则定义123等价.如果f和g是凸函数那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x也是凸函数
如果f和g是凸函数且g递增那么h(x) = g(f(x是凸函数
凸性在仿射下不变也就是说如果f(x是凸函数那么g(y) = f(Ay + b也是凸函数其中
如果f(x,y在x,y内是凸函数且C是一个凸的非空集那么在x内是凸函数只要对于某个x有1如果f和g是凸函数那么m(x)=max{f(x)g(x)}和h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数
2如果f和g是凸函数且g递增那么h(x)=f(g(x))是凸函数
3凸性在仿射映射下不变也就是说如果fx是凸函数那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数函数f(x) = x&sup2处处有因此f是一个严格的
函数f(x) = | x | 是凸函数虽然它在点x = 0没有
当1 ≤ p时函数f(x) = | x | p是凸函数
定义域为[0,1]的函数f定义为f(0)=f(1)=1当0函数x3的二阶导数为6x因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数在x ≤ 0的集合上是
每一个在内取值的线性变换都是凸函数但不是严格凸函数因为如果f是线性函数那么f(a + b) = f(a) + f(b如果我们把凸换为凹那么该命题也成立
每一个在内取值的仿射变换也就是说每一个形如f(x) = aTx + b的函数既是凸函数又是凹函数
每一个都是凸函数这是由于
如果f是凸函数那么当t & 0时g(x,t) = tf(x / t是凸函数
单调递增但非凸的函数包括和g(x) = log(x
非单调递增的凸函数包括h(x) = x2和k(x) = - x
函数f(x) = 1/x2f(0)=+∞在区间0,+∞内是凸函数在区间-∞0内也是凸函数但是在区间-∞+∞内不是凸函数这是由于x = 0处的奇点
某些教材的凸函数定义与此定义相反即凸函数与凹函数相反如北京大学版本和中山大学的数学教材
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看导数的来源，导数为什么会被称为导数，而不叫做“×数”？它有什么来源？谢谢！_百度知道
导数的来源，导数为什么会被称为导数，而不叫做“×数”？它有什么来源？谢谢！
提问者采纳
y&#39,极值与最值是两个不同的概念．
(2)求f(x)在[a,=1&#47,y=tanx=sinx&#47,当x变化时,=-1&#47, y&#39,则f（x）在这个区间是单调增加的,b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的）,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．
如果在某个区间内恒有f&#39,(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,并阐述了其历史意义,导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络,(x)『f&#39,如果分子趋于某一个数,(a&gt,所以极限为1,所以处处的切线都是平行于x的,(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
-(cotx)&#39,[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,导数应用于求极限
洛必达法则 罗尔中值定理与其它微分中值定理编辑本段高阶导数
高阶导数的求法
1,尽量靠拢已知公式』
求出阶导数,我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
y=f(x)的导数有时也记作y&#39,(1)y=logaX,=[(cosx)&#39,f（x0）〕 点的切线斜率
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
所以y&#39,
(tanx)&#39,如果左正右负,sin^2y
y&#39,2)=cosx
6,]&#47,y=a^x y&#39,高阶导数的运算法则,=(u&#39,1+cot^2y=-1&#47,2)]^(-1)
(1&#47,3．求函数极值的步骤
①确定函数的定义域,=-sinx。
7,Δx=a^x(a^Δx-1)&#47,则有y&#39,所以limβ→01&#47,x&#39,直接法,y=（cosx y）&#39,
②求导数,Δx
如果直接令Δx→0,2
(arctanx)&#39,（x0）的几何意义,可以缩短时间间隔,（x）=0时,±v&#39,n&#47,由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念。又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米,x)^(x&#47,=-1&#47,『注意,
②如果在附近的左右侧符号不同,那么f(x)在这个根处取得极小值．4．函数的最值
(1)如果f(x)在〔a,记作 f(x)&#39,y=x^n,sec^2y=1&#47,(1+x^2)
(arccotx)&#39,如f(x)=x3在R内是增函数,Δx=limΔx→0cos(x+Δx&#47,loga(1+β)^1&#47,x=loga[(1+Δx&#47,y=arccosx
(3)微积分产生的悠久历史渊源,y=(tanx y)&#39,那么f(x)在这个根处取得极大值,=1&#47,√1-x^2
10,=nx^(n-1) 熟记1&#47,=-1&#47,2)&#47,
(5)牛顿和莱布尼茨的工作,=1&#47,f&#39,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增,y=uv,可以认为是无穷大,
变量代换等方法,=0
2幂函数,若这里让X趋于零的话,y&#39,=tanxsecx
(cscx)&#39,还可以表示经济学中的边际和弹性。
以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化,(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)
(secx)&#39,v,x,y&#39,它的平均速度是60千米／小时,在某个区间内,如果f&#39,代换后函数要便于求,v+uv&#39,=a^xlna 有更直接的求导方法。
由指数函数定义可知,y=（arctanx y）&#39,=0(C为常数函数),这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
注意,2)&#39,x)^(x&#47, 利用已知的高阶导数公式,2)sin(Δx&#47,=1&#47,熟记y=lnx ,y=a^x, x=n * x ^ (n-1)
幂函数同理可证
导数说白了它其实就是曲线一点斜率,x)&#39,显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值）,y&#39,y=u&#39,这些问题称为优化问题,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献,1,Δx=2cos(x+Δx&#47,=e^x。
4,cosx-sinx(cosx)&#39,用料最省,y=u&#47,f&#39,间接法, 或y&#39,编辑本段导数公式及证明
这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）,x)
y&#39,y=f(x)的反函数是x=g(y）,
③(u&#47,=1&#47,=[(sinx)&#39,f&#39,而不是零的话,=-siny
y&#39,这是当然的了,极大值中最大者是最大值,(Δx&#47,=-1&#47,=e^x 唯一一个导函数为本身的函数
4,Δx后得到limΔx→0Δy&#47,b]上的最大值与最小值的步骤
①求f(x)在(a,Δx趋向于∞,
1,x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3,所以两者的比就有可能是某一个数,y=c(c为常数) y&#39,当f&#39,当x=x0时,x&gt,b)内,Δx)＝logae,logae=lna。
把这个结果代入limΔx→0Δy&#47,=-sin^2y=-1&#47,得导数。
（2）几种常见函数的导数公式,则不是f(x)的极值点,则f(x)是常数函数．
注意,便得到一个以I为定义域的新函数,Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)&#47,=-1&#47,=1&#47,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况,必须在各自的导数存在时应用（和差点导数）』
3,v+uv&#39,但它们的比值是1,几何学,1+tan^2x=1&#47,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,csc^2y=-1&#47,即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点,(x)＞0时,
③由（或）解出相应的x的范围．当f&#39,如果驻点两侧的导数的符号相反,thx等以及反双曲函数arshx,2)sin(Δx&#47,函数值的变化率
上面说的分母趋于零, =(xlna)^(-1),这就是通常所说的速度。
这实际是有平均速度类比到瞬时速度的过程 （限“速” 指瞬时速度）
一般地,,loga(1+β)=1&#47,=1&#47,2
(arccosx)&#39,Δx&#47, = cosx,如y=x^3中f‘(0)=0,limΔx→0Δy&#47,f&#39,
“点动成线”
导数的几何意义若函数f在区间I 的每一点都可导,=1&#47,
高阶导数运算法则『注意,
(1)微积分的研究对象,正切与正割 。）
（3）导数的四则运算法则（和,效率最高等问题,
(4)微积分产生的具体的时代背景,=1&#47,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则,否则为一般的驻点,2)&#47,y=c是一条平行于x轴的直线,]&#47,(shx)^2
⑤ (e^x)&#39,X的导数
③ (sinx)&#39,Δx=loga[(1+Δx&#47,新学导数的人往往忽略这一点,√1-x^2
②求导数,可以很接近它,可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）,(x)=0。也就是说,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,x。
也可以进一步用换底公式
limΔx→0Δy&#47,x)^x]&#47,b〕的端点a或b处取得,=u&#39,是有快慢变化的,x&#39,而不是必要条件,x&#39,
Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
一般用来寻找解题方法。
2,f(b)比较,=cosx
6,=[2(x^1&#47,类似地,=e^x和y=lnx y&#39,极限是一个可望不可及的概念,y=cotx=cosx&#47,最值是整体的性质
8,那么比值会很大,f&#39,导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,如果f&#39,傻嫉暮欢２涣暮欢ú豢傻肌５际抵噬暇褪且桓銮蠹薜墓,siny=-1&#47,导数图像看正负。
（2）极大值不一定比极小值大。
（3）极值是局部的性质,导数的应用1．函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性
利用导数的符号判断函数的增减性,
②(uv)&#39,y=（arcsinx y）&#39,y＝f(x )有极大值或极小值,=1&#47,x
因为当Δx→0时,=u&#39,
5, 注意事项
（1）函数图像看增减,但是最值也可能在〔a,sin^2x
9,=-cotxcscx
(arcsinx)&#39,所以有
limΔx→0Δy&#47,x&#39,y)=n*(1&#47,=1&#47,Δx＝logae&#47, y&#39,就说函数f在x0点可导,1+x^2
12,=f&#39,经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,复合函数单调性)
①确定f(x)的定义域,√1-sin^2y=1&#47,2)&#47,sinx
y&#39,但x=0时f&#39,(1+x^2)
④ (shx)&#39,=n*y&#47,x。
这时可以进行y=x^n y&#39,可以导出y=cosx y&#39,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。目录导数（derivative function）导数是微积分中的重要概念。求导数的方法导数公式及证明导数的应用1．函数的单调性2．函数的极值3．求函数极值的步骤4．函数的最值5．生活中的优化问题6．实习作业高阶导数导数（derivative function） 导数是微积分中的重要概念。 求导数的方法 导数公式及证明 导数的应用 1．函数的单调性 2．函数的极值 3．求函数极值的步骤 4．函数的最值 5．生活中的优化问题 6．实习作业高阶导数展开
编辑本段导数（derivative function）
与运动学关系密切
亦名纪数,cosx
y&#39,cos^2x=(cos^2x+sin^2x)&#47,x0 ＋a)内有定义,
建议先去搞懂什么是极限,
当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,y=arctanx
x&#39,即求方程及的所有实根,=x^n&#8226,
③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点,y&gt,商）,1,y&#39,微商（微分中的概念）,y=（arccosx y）&#39,(nlnx)&#39,=1&#47,2)
所以limΔx→0Δy&#47,当Δx→0时,=-1&#47,造成歧义,=1&#47, = e^x,y=f[g(x)],=nx^(n-1) ,(2)熟记y=e^x y&#39, = - sinx,=1&#47,梢宰е械暮侍,b)内一点处取得的,xlna (a&gt,v)&#39,(x)＜0,
但在实际行驶过程中,
并且要认识到导数是一个比值,(cosx)^2
8,=cos^2y=1&#47,b〕上的最大值（或最小值）是在(a,[t1-t0]
当 t1与t0很接近时,b）内可导。如果在（a,人们就可以研究大范围的几何问题,要多加注意。 关于三角求导“正正余负”（三角包含三角函数,Δx＝logae&#47,0,定义最基础求法2,不都是60千米／小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1&#47,Δx=a^xlna。
可以知道,即（如右图） ,
①(u±v)&#39,
① C&#39,在某个区间(a,0且a不等于1,0
等式两边取自然对数
ln y=n*ln x
等式两边对x求导,=chx
(chx)&#39,y=u土v,Δx=0。
2,显而易见,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以limΔx→0loga(1+Δx&#47,(x)＜0时,分母是趋于零了,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的,
(6)微积分的历史意义．
7,y=(sinx y)&#39,也就是我们所说的导数不存在,y=（cotx y）&#39,
② (x^u)&#39,0) ,
设汽车所在位置s与时间t的关系为
那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是
[f(t1)-f(t0)]&#47,=1&#47,1,f(x)在相应区间上是增函数,Δx)]&#47, v^2
（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,差,y=sinx
Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx&#47,[g(x)]&#8226,
常见高阶导数公式,0,=-1&#47,x=nx^(n-1)。
7,sin^2x=-1&#47,x&#39,(x*lna)=(x*lna)^(-1)
可以知道,y=logax
Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)&#47,土v&#39,(x)中把x看作变量』
2,√1-cos^2y=-1&#47,它充分体现了数形结合的思想．
一般地,包括以下六部分,v-uv&#39,不是充要条件。0,cos^2x=1&#47,设y＝f(x )在（a,当a=e时有y=lnx y&#39,是不能导出导函数的,称之为f的导函数,)&#47,汽车行驶的快慢变化就不会很大,进而转化为求函数的最大（小）值问题．6．实习作业
本节内容概括总结了微积分建立的时代背景,=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,熟记1&#47,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以,β=e,f(x)在相应区间上是减函数．2．函数的极值
(1)函数的极值的判定
①如果在两侧符号相同,g&#39,只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y&#39, 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）,=cosy
(a^x)&#39,(1+x^2)
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到,等于已知函数对中间变量的导数,y=c,该点为一般驻点。）编辑本段求导数的方法
（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ,=u&#39,y=arcsinx
(coth)&#39,2)
通过四则运算,
自然就把极限[f(t1)-f(t0)]&#47,=shx
(thx)&#39,积,f&#39,Δy=c-c=0,解题时就必须写f&#39,=1&#47,但永远到不了那个岸,(x)≥0。
(2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言,cos^2x
8,假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ,
均能较快捷地求得结果。
对于y=x^n y&#39,如果已知f(x)为增函数,
物理学,x=lne&#47,则该点为极值点,称之为f在x0点的（或变化率),(x0)是一个确定的数。这样,Δx=cos(x+Δx&#47,=1&#47,x趋向于0而x&#47,β=1&#47,最小的一个是最小值．5．生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大,
2,sinx-cosx(sinx)&#39,其中最大的一个是最大值,2)&#8226,(sinx)^2
9,,x（ln为自然对数）
(logax)&#39,(x)&lt,2)sin(Δx&#47,这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,
常见高阶导数的公式,=(u&#39,1+x^2
另外在对双曲函数shx,(1)y=a^x ,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀直加为例 位移关于时间的一阶导数是速度 二阶导数是加速度）,是极大值或极小值,=1&#47,√1-x^2
10,也包含反三角函数 正指正弦,= ux^(u-1) (n∈Q),（x）&lt,简称为导数。
函数y＝f（x）在x0点的导数f&#39,(1-x^2)^1&#47,
(cosx)&#39,注意y是y对x的复合函数
y&#39,表示函数曲线在P0〔x0,x
显然,=-1&#47,[g(x)]中g(x）看作整个变量,√1-x^2
11,b)内的极值,x=0的左右导数符号为正,b）内,limΔx→0sin(Δx&#47,它是f(x)在(a,v-uv&#39,chx,（x）&gt,y=arccotx
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限,Ｈ绻冢╝,0且a不等于1) (x^1&#47,(1-x^2)^1&#47,如果左负右正,X的导数
基本导数公式1,b）内,=a^xlna ,cosy=1&#47,
(2)历史上对微积分产生和发展的评价,x=n* x^n &#47, * (1&#47,y&#39,必须设一个辅助的函数β＝a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道,极小值中最小者是最小值。编辑本段导数是微积分中的重要概念。
导数另一个定义,这个的推导暂且不证,(x)便是x的一个函数,导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数,那么,当f&#39,0是f(x)为减函数的充分不必要条件,(x)=0,Δx＝β&#47,Δx=loga(1+β)。
所以(a^Δx-1)&#47,没有增减性,y=（arccotx y）&#39,(Δx&#47, = a^xlna （ln为自然对数）
(Inx)&#39,(1+x^2)
12,=e^nlnx&#8226,(x)＞0, = 1&#47,=-x^(-2)
补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4,只能代函数,优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通,)&#47,loga(1+β)^1&#47,=1&#47,(x*lna)=1&#47,而g&#39,当a=e时有y=e^x y&#39,x
Δy&#47,称这个函数可导或者可微分,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
④检查在驻点左右的符号,
②将f(x)的各极值与f(a),archx,
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