来源：《云南师范大学学报(自然科学版)》2000年第01期 作者：林谦
重要极限lim[1+1/n]~n=e(n→∞)的推广及应用
在极限内容和实际应用中，极限ｌｉｍｎ→∞１＋１ｎｎ＝ｅ都占有一定的位置。本文中，笔者将从极限ｌｉｍｎ→∞１＋１ｎｎ＝ｅ的特征出发对它作形式上的推广，并给出一些应用。在各种微积分书中，我们都能见到如下极限ｌｉｍｎ→∞１＋１ｎｎ＝ｅ（１）ｌｉｍｘ→∞１＋１ｘｘ＝ｅ（２）ｌｉｍｘ→０（１＋ｘ）１ｘ＝ｅ（３）经过观察，我们可以看到它们具有如下特征：１．　具有“１＋”的形式；２．　加数与指数互倒；３．　指数→∞或加数→０。如果我们用符号?来表示某个式子（可以是变量，也可以是任何函数，下面所出现的?的含义都如此，不再重复），则根据以上特征及重要极限（２）、（３）易证得如下命题：命题１　若ｌｉｍ?＝∞（注：没写极限过程表明对任何趋势结论都成立。），则ｌｉｍ１＋１??＝ｅ。命题２　若ｌｉｍ?＝０，则ｌｉｍ（１＋?）１?＝ｅ。例１　求极限ｌｉｍｘ→∞１＋ｋｘｔｘ，其中ｋ，ｔ是整数，且ｋ≠０。解　应用命题１（?＝ｘｋ）有ｌｉｍｘ→∞１＋ｋｘｔｘ＝ｌｉｍ?→∞１＋１??ｋｔ＝ｅｋｔ?　　例２　求极限ｌｉｍｘ→０ｃｏｓｘｃｏｓ２ｘ１ｘ２解　应用命题１有　　　　　　　　原式＝ｌｉｍ......(本文共计4页)
相关文章推荐
云南师范大学学报(自然科学版)
主办：云南师范大学
出版：云南师范大学学报(自然科学版)杂志编辑部
出版周期：双月
出版地：云南省昆明市一道数列极限过程中问题？已知数列{an}满足Sn=(1/4)an+1,求lim(a1+a3+a5+...+a2n-1)的值_百度知道
一道数列极限过程中问题？已知数列{an}满足Sn=(1/4)an+1,求lim(a1+a3+a5+...+a2n-1)的值
题目就在上面，过程中有一对求通项，然后有“lim(a1+a3+...+a2n-1)=(a1^2)/(1-q^2)” 然后让我们自己代入去做我真的不明白最后那个分子分母都多了个平方是怎么来的？能不能具体说下？顺便给一下答案 是1还是2？答案说1，我算出来是2
通项算出来的是首项4/3，公比-1/3的等比
提问者采纳
Sn=an/4+1,——》S(n-1)=a(n-1)/4+1，——》an=Sn-S(n-1)=an/4+1-a(n-1)/4-1=an/4-a(n-1)/4，——》an/a(n-1)=-1/3=q，S1=a1=a1/4+1，——》a1=4/3，——》an=a1*q^(n-1)，设数列{bn}为bn=a(2n-1)，则：b1=a1，bn=a(2n-1)=a1*q^(2n-1-1)=b1*(q^2)^(n-1)，即数列{bn}为首项b1=a1=4/3，公比q‘=q^2的等比数列，其前n项和Tn=a1+a3+a5+...+a2n-1=b1*(1-q'^n)/(1-q')=a1*(1-q^2n)/(1-q^2)=4/3*[1-(-1/3)^2n]/[1-(-1/3)^2]=3/2[1-(1/9)^n]，limn→∞Tn=limn→∞3/2[1-(1/9)^n]=3/2(1-0)=3/2。
提问者评价
其他类似问题
按默认排序
其他1条回答
用求和公式，讲带q一项视为0
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁求一极限：lim[x→0][ntan(1/n)]^n^2_百度知道
提问者采纳
没有过程，不知道你是怎么得到-1/6的错误结果。lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2＝ lim[x→0][sec^2(x)/tanx - 1/x]/(2x)＝ lim[x→0][1/(sinx cosx) - 1/x]/(2x)＝ lim[x→0][x - sinx cosx]/[(2x^2)sinx cosx]＝ lim[x→0][x - 0.5sin2x ]/[(2x^2)sinx cosx]＝ lim[x→0][1 - cos2x ]/(6x^2), 作sinx~x, cosx ~1 等量代换后再求导＝ lim[x→0][2sin2x]/(12x)＝ 1/3
提问者评价
其他类似问题
按默认排序
其他2条回答
lim (lntanx-lnx)/x^2
洛必达法则=lim
(sec^2x/tanx-1/x)/2x 通分化简=lim
(xsec^2x-tanx)/(2x^2tanx)
分母tanx等价于x，分母等价于2x^3；分子=x(1+tan^2x)-tanx=x-tanx+xtan^2x=lim (x-tanx)/2x^3+lim xtan^2x/(2x^3)
第一项再用洛必达法则=lim (1-sec^2x)/6x^2+lim x^3/(2x^3)
=lim -tan^2x/6x^2+1/2=1/3。原极限为e^(1/3)。不知道你是怎么计算的，将过程写出来才能检查你的错误啊。
百度上给的答案太麻烦，这道题目可以在十秒内出答案。不过先需要你理解n趋向无穷时，1/n趋向于0；这里我们 记住一个泰勒公式的前几项：tanx=x+1/3*(x^3)+o(x^3);于是tan(1/n)=1/n+1/3*((1/n)^3)+o((1/n)^3);于是底就可以化简为（1+1/(3*n^2)） 底趋向于1，指数趋向于无穷，这是两个重要极限之一。于是可解。 再看你的解法，思想很好，转换为ln，lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2——这部也没有错误，结果算错了而已。[lntanx-lnx]/x^2=[ln(tanx/x)]/x^2;其中，tanx/x~1+1/3*(x^2)。于是ln(tanx/x)~1/3*(x^2)极限等于1/3不要忘记是取了ln，所以原极限=e^(1/3).
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁求下列数列的极限：lim(n→∞) [根号n*(根号下(n+1)-根号n)]_百度知道
求下列数列的极限：lim(n→∞) [根号n*(根号下(n+1)-根号n)]
求下列数列的极限：lim(n→∞) [根号n*(根号下(n+1)-根号n)]就是：[√n*(√n+1-√n)]
√为根号老师的提示是：分子有理化，如果可以的话，请为我解释一下具体什么情况下要使用“分子有理化”。谢谢。鞠躬！！
提问者采纳
lim(n→∞) [根号n*(根号下(n+1)-根号n)] =limI(n-&无穷）（根号n/(根号（n+1)+根号n)=lim(n-&无穷)(1/[根号（(n+1)/n)+1]=1/2---------*(√n+1-√n)(n-&无穷）（无穷－无穷）不好算，转化为（无穷＋无穷）就好算了）
提问者评价
谢谢！非常感谢！
其他类似问题
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁}