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关于抽象与形象的结合 ① 三元方程组解的几何意义（适定、超定与欠定）； ② 两个向量的行列式是它们组成的平行四边形的面积； ③ 三个向量的行列式是它们组成的平行六面体的体积； ④ 二维、三维向量线性相关和线性无关的几何意义； ⑤ 平面（二维）线性变换的几何特征及其意义； ⑥二维特征值和特征向量的几何意义； ⑦三元齐次方程基础解系的几何特征；
⑧二元超定方程最小二乘解的几何表述； ⑨二次型化为标准型的不同方法的几何解释
关于笔算与机算的结合
① 矩阵的赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令； ② 矩阵化为最简行阶梯型的计算命令；[U0,ip] rref A
③ 多元线性方程组MATLAB求解的几种方法；x inv A *b, U rref A
④ 行列式的几种计算机求解方法；D det A ,[L,U] lu A ;D prod diag L
⑤ n个m维向量组的相关性及其秩的计算方法和命令; r rank A ,U rref A
⑥ 求欠定线性方程组的基础解系及超定方程解的MATLAB命令；xb null A
⑦ 矩阵的特征方程、特征根和特征向量的计算命令；f poly A ;[P,D] eig A
⑧ 化二次型为标准型的MATLAB命令；yTDy xTAx; 其中y P-1x,
关于实现理论与实践的结合
① 多项式插值系数的计算 ② 平板稳态温度的计算 ③ 交通流量的分析
④ 成本核算问题 ⑤ 图及其矩阵表述 ⑥ 网络的矩阵分割和连接 ⑦ 弹性梁的柔度矩阵 ⑧ 用行列式计算面积 关于实现理论与实践的结合 续
⑨ 化学方程的配平 ⑩ 减肥配方的实现 ⑾ 刚体平面运动的计算和绘图 ⑿ 混凝土配料中的应用 ⒀ 圆锥截面二次型方程插值问题 ⒁ 人口迁徙模型 ⒂ 物料混合问题（用到微分方程）
关于与后续课应用的衔接
① 用线性代数解直流电路举例 ② 用线性代数解交流电路举例 ③ 用线性代数解线性系统中常微分方程的
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线性代数的几何意义|
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30线性代数的几何意义
-------图解线性代数；任广千胡翠芳编著；；几何意义名言录；没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这；算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公；“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓；慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同；--------拉格朗日；不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不；无
-------图解线性代数 任广千
胡翠芳 编著 几何意义名言录 没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。
-------笛卡尔 算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。
--------希尔伯特 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展， 则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”--------拉格朗日 不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。
--------柏拉图 无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了, 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治前言为什么要给出线性代数的几何意义作为一名工作十多年的电子工程师，作者在想提高自己的专业水平时，深感数学能力的重要。随便打开一篇专著或论文，满纸的微分方程、矩阵扑面而来。竭力迎头而上，每每被打得灰头土脸、晕头转向。我天生就不是搞数学的？我的智力有问题吗？太失望了，太伤自尊了。转头看看周围的同行，莫不雷同。大多的工程师们靠经验来工作，经验靠时间或试验来积累。数学应用的层次最多就是高中水平。也有硕士博士级的牛人，但也少见把数学工具在工作中应用的得心应手、手到擒来的。数学工具在科技实践中缺失的严重，导致我们的科技创新能力的严重缺失。普遍现象，绝对的。 返回来想一想，我的智力应该没问题，重点大学都毕业了，能有多严重的问题？所有的工程师们、大学毕业生们的智力也没问题。问题是大家没把数学学好，没有真正掌握它。 （严重声明：数学绝顶高手和天才们不在我说的范围之内，对我等来说，它们是极少数的一小撮的火星人，对它们只能顶礼膜拜，不敢评论。----拜完之后有点小嘀咕：为何钱学森还讲中国没有大师呢？难道数学总得一百分的天才不算大师？）。为啥没有在四年的大学阶段学好《线代》呢？要知道，学生是通过高考百里挑一录取的，智力应是足够正常的。思来想去，得到几个原因：教材编的大多不好，老师教的大多乏味，学生大多有些偷懒，因为他们大多不知道这些内容有啥用，概念为啥这么叫，定理为啥那样推，老师为啥像刘谦的魔术一样七推八导就证毕了----郁闷多了导致了无语的偷懒。太多的为啥了。既然错不在学生那就是老师的问题了？其实老师也有委屈：教学大纲要求在几十个学时学会如此多的内容，不填鸭行吗？在如此短的时间内讲完就不错了，哪里还有时间给你释疑解惑。-----韩愈定义的传道授业解惑的师道中的解惑被迫取消了，自己悟道吧。嘿，错也不全在老师那里。错在哪里？体制的问题一时半会也解决不了，不谈体制的事了。找来找去，只有一个大家都可以责备而且没有人抗议的地方，就是教材不够好。到大学图书馆（本人主要去深大图书馆）看看，哇塞，一行行、一列列的教材琳琅满目、浩如烟海。名字叫《线性代数》的教材足有一千多册。打开一本看看，跟十八年前的教材内容一样，疑问还是没得到解决；再打开一本看看，内容还是那个内容，疑问还是那个疑问…。当浏览到第五百本的时候，皇天不负有心人！终于看到了我那个问题的答案了。长出一口气我又陷入了郁闷之中。要知道，我至少有十打问题要解决呀，上帝。呵，西方的上帝来拯救我来了，当我浏览到第八百本的时候，一本老外编的教材一下子吸引到我那累的发红的心灵之窗。我的天，我一阵眩晕，问题至少能解决五打。我抱着一本老厚老厚的海外引进教材看呀想呀，从此以后我专看老外的书，嘿嘿，只有一打的问题了。我想《线性代数》这门学科问题应该不大了，要知道，老外的教材都是引入了当代科技的典型应用案例的，代表了本学科最新的国际潮流的。大学图书馆的读者很多，朝气蓬勃的现代感大学生在图书馆里做作业。我很羡慕他们这一代：在开放的图书馆里，学生们可以随意的浏览、挑选适合自己的纸资或电子读物。要知道，当年我就读的大学图书馆是闭架的，每每借书要查半天小卡片，查完填好借书单交给工作人员大多得到两个结果：要么书被借完了要么借的书不合适。而且还没有这么多的引进教材参考参考，自学的效率大打折扣。扯来扯去，千言万语汇成一句话：什么样的《线性代数》学习资料较好，较适合中国学生？我想，本子的物理尺寸要越薄越好，内容要越通俗易懂越好。书本越薄大家学习的信心越强：小样，这么点厚度还搞不定你，看，信心先有了。如果只是容量精简了还不行，考试的时候受打击，工作中更受打击。如当年我学的《线性代数》课本是同济编的，内容是精简到家，千锤百炼，没一句废话，超薄。死记硬背，看似搞定了，实际是囫囵吞枣。如何通俗易懂还不能多说？我一直认为，加上几何意义或者物理意义啥的，一步到位搞定。 这就是本《线性代数的几何意义》的由来。也是这个本子的目标。目标有了，具体如何编写呢？模仿一下科学大德牛顿的口气： 从线性代数书籍的浩瀚海洋的沙滩上（还没有更高的能力去远洋、去深海处），用一双自己的眼睛，寻找到了一个个闪闪的小珍珠，一片片如玉的小彩贝，然后细细的打磨和擦拭，拂去沙尘，使它们重放光彩，用一根几何意义的锦丝，穿就了这本《线性代数几何意义》的项链，献给热爱思考、痴迷于创造的人们。呵呵，自不量力，终极目标而已，但意思还是有了。重要的几何直观意义在学习中，一旦碰到较抽象难懂的概念或定理，如何搞定？几个办法：一个是看推导过程，推导可以加强你相信它的信心并连通你原有的知识体系。如果推导把你弄昏了，只好弄懂它的几何意义或物理意义啦。几何意义或者讲几何解释会和人们看到的平面和空间中物体几何外观联系起来，几何上说的通，物理上也就说得通，几何意义和物理意义本质上是一回事（如果你不信物理和几何是一回事，就想想爱因斯坦，想想相对论），因此大家就相信了，就会和大家大脑中的经验和原有知识网络连通，一下子就“懂了”，满心欢喜的，原来是这么一回事。真理总是简单的和直观的，一位先贤说，不管多么复杂高深的数学理论，总有其直观的背景，不管多么繁难深奥的定理，其证明总有一个简单而直观的中心思想。几何图形能以其生动的直观形象给人留下深刻的印象。可以这样说，在数学中再没有别的什么东西，能比几何图形更容易进入人们的脑海了。从宏观上看，一种数学理论(包括它的主要概念和方法)往往都有其直观的背景，它们或者是从对某些特殊的事例的观察分析中得到的，或者是直接从几何图形中看出的，或者是从已有的结果类比联想引来的，从几何直观上分析问题的能力，首先是指对于一种数学理论能“洞察其直观背景”。对于它是如何被发现的或如何形成的作出合理的解释或猜测。一句话，皇皇巨著的理论特别是抽象的数学理论的核心常常可以从几何意义的角度得到解释。从微观上看，关于某一个具体定理的证明，国外的数学教育家波利亚曾经说：“一个长的证明常常取决于一个中心思想，而这个思想本身却是直观的和简单的”。因此，从几何直观上分析问题的能力，也包括找出证明中的那个关键的简单而直观的思想，也就是象希尔伯特所要求的，能透过概念的严格定义和实际证明中的推演细节，“描绘出证明方法的几何轮廓”。大师庞加莱和阿达玛关于数学领域的发明创造的观点也认为，数学创造发明的关键在于选择数学，从而形成数学上有用的新思想和新概念，而这种选择的基础是“美的直觉”。观念间的“最佳组合”在这种美的直觉中，也就是在追求某种对称性、和谐性、统一性、简洁性和奇异性当中，以及在某种联想、猜想、假设及非逻辑思维中，几何直观具有头等重要的意义。事实上，很多数学家都是先利用几何直观猜测到某些结果，然后才补出逻辑上的证明的。这正如“灵感”往往来自几何，表达的简我国著名拓扑学家张素诚先生所说的，对数学中的许多问题来说，洁靠代数，计算的精确靠分析。嘿嘿，看看上面的数学上的历史牛人的观点，几何形象直观的意义何等重要。其实，大家都知道几何意义的重要，我们在小学和中学的学习阶段，老师常常也讲一些抽象概念所对应的几何意义，为何到了大学我们的大脑就一下子高度抽象起来了？把形象仍得远远的，象瘟疫一样躲着他？目的是训练抽象思维？最终实际结果呢？不可否认，大学毕业后大家确实是抽象了，抽象得只会夸夸其谈讲理论不会干具体活了。 既然你具体的活计不会干那干脆就专搞抽象的理论去嘛，结果也搞不了，为啥？只会做做过的抽象的数学题不会发明创造，没学会真正的抽象，真是越抽象越糊涂。我觉得，抽象和形象是相辅相成，缺一不可的。由形象而抽象，再由抽象到形象，人的知识结构螺旋架才能旋转而上，达到越来越高的知识峰巅。如何使用这本书拼命阐述几何直观在数学学习中的重要意义，但这并不意味着可以否定逻辑推理论证的重要作用。实际上，单纯地依据直观而导致错误的数学例子真是数不胜数。概念或定理的几何直观解释，往往并不等同于原来的概念或定理。运用几何直观可以帮助我们猜想，但猜想并不能代替证明，只有经过一步步严格的逻辑论证以后，才算给出了证明。形象或直观和抽象本来是一切科学的两面。只是近年来过分强调了抽象思维能力的训练而忽视了几何意义的解释。反过来，我们不能只强调了几何意义而丢掉了计算和推导。因此建议读者：z 初学者从几何意义入手，轻松而迅速理解和把握线性代数的基本概念和定理几何本质， 建立对线性代数的感性认识，具备了理解复杂及抽象数学的能力。z 然后，在回到现在的抽象的线性代数的教材，短时间内构筑个人的线性代数的知识体系的“向量空间”，通过适量的习题训练，巩固解决具体问题的动手能力。此时，具体与抽象一体，理想与现实齐飞。您，已经成为线性代数的高手和大牛。注：本文中，几何意义和几何解释的文字意思没有根本区别，一般对于数学概念的对应的几何图形而言称为几何意义，而对运算、变换的过程可对应几何图形的变化过程称为几何解释。包含各类专业文献、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、专业论文、应用写作文书、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、各类资格考试、30线性代数的几何意义等内容。　
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线性代数: 它的几何意义是什么?
&&& 线性代数这门课学完了，问一下各位，到底什么是线性代数? 它到底有什么意义?
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&&& 要明白线性代数的几何/物理意义，就要从我们常见的&影射几何&开始说起。
&&& 影射几何是欧洲中世纪的画家发展出来的，如图1中所示，一个人在学校里面的走廊中穿行，从一个门出来进另一个门。显然，门的大小都是一致的，也就是一样高，一样宽，但是从绘画者的角度看，门的高度并不是一样的，远的门高度小，近的门高度大。这是任何学习过绘画/摄影的人都具有的基本知识----可是在古代，这门知识并没有得到很好的描述，中国古代的绘画就严重缺少投影几何的造诣，因此在表现力上面受到严重制约。OK，那么我先提出一个总结性的陈述: 线性代数就是&投影几何&的代数化。
&&& 因为2投影几何可以概括为两个方面的代数变化: 角度和幅度。我们绘画/摄影就是把3维的点集影射到2维的点集里面。当然线性代数更加的一般化，研究的对象就是这种多维的映射本身。矩阵是什么? 矩阵就是一个映射。举个简单的例子，2元1次方程组:
&&& 2x+3y=5
&&& 3x+2y=5
&&& 这个方程组的几何意义是什么呢? 如图2所示，在x/y平面上有个点(x,y)，经过矩阵A=
&&& 映射到x'/y'平面上的点(5,5)。请问(x,y)是多少? 我们把(x,y)所在的平面看成&原像&，把(x',y')所在的平面看成&像&，那么方程组的求解就是求原像空间的哪个点经过A的映射变成(x',y')空间中的点(5,5)。求解的结果就是(1,1)。
&&& 那什么又是&线性&呢? 我们用相机给人拍照，可以角度不同，可以远近不同，但是不会有形变。这个就是线性变换。而如果是像哈哈镜那样，就是非线性变换了。写成代数的形式，线性变换就是N元1次多项式函数。经过这个函数的映射，连续的线条仍然是连续的线条，奇异点仍然是奇异点，点集之间的拓扑关系仍然保持不变----还是用刚才举例的矩阵A，这个矩阵把(x,y)平面上的点(1,1),(2,1),(3,1)映射到(x',y')平面上的(5,5),(7,8),(9,11)，在一条直线上的3个点经过映射仍然在一条直线上，看到了吧?
&&& ***********************************************************************
&&& 当然，上面的例子用的是方阵，也就是同一个维度空间之间的映射。那么更一般的情况有两种:
&&& (1)A是方阵，但是|A|=0。
&&& (2)A是一般的矩阵。
&&& 对于(1)，行列式的几何意义是，方阵代表同一个维度的映射，映射前后点集的对应关系是1对1的关系。如果上面的A=
&&& 那么显然，这个方程组有无解。而如果方程组变成齐次方程组2x+3y=0,4x+6y=0，那么有无穷组解x=-3y/2，也就是说平面(x,y)上的直线x=-3y/2上所有的点都映射到(x',y')上面的(0,0)点。而(x',y')平面上其他的所有点，都找不到(x,y)平面上的原像: 用代数的语言来说|A|=0则方针没有逆矩阵，也就是没有逆映射了。
&&& 矩阵的转置又是什么意思呢? 就是把映射的方向，x和y轴互换。T(A)=A和T(A)映射后的结果关于直线y=x对称。
&&& 对于(2)，如果我们有齐次方程组Ax=0，那么无论如何我们都有一个0解。这个也就是任何映射都有一个&不动点&。那么除了0解以外呢，有么有其他解? 这就涉及到矩阵的秩(Rank)的概念。我们让A是n*m的矩阵，不妨设n&=m。既然矩阵是个映射，那么映射本身可能存在冗余。例如我们的3维空间有3个轴，互相正交，那么3*3的矩阵A(|A|不为0)可以用来代表3维空间的映射，因此3*4的矩阵也可以。我们可以通过化简的方式，来看n个航向量等效于多少个正交向量
&&& |1,0,0......|
&&& |0,1,0......|
&&& |0,0,1......|
&&& 上面是某个3*n的矩阵A化简的结果A'，可以看到该矩阵A在不考虑&幅度&因素的情况下，对于3维空间的映射的结果等效于A'也就是3维到3维的映射，是个一一映射。A就是一个3维全息相机。
&&& 如果有个3*n的矩阵C化简得结果是C'~=
&&& |1,0,0......|
&&& |0,1,0......|
&&& |0,0,0......|
&&& 也就是非0正交向量只有两个，那么C'代表把3维空间的点集映射到2维空间，相当于普通平面照相机的功能。3维空间中的一条线可能在2维上只有一个点。
&&& 如果化简以后全0呢? 那么就只有0解，也就是方程Ax=0的解是任意的，3维空间上任意的点都映射为0维空间上唯一的0点。
&&& ***********************************************************************
&&& 上面的讨论集中于把矩阵A看成是线性方程组的表示，也就是求解映射和逆映射。这个映射本身的性质有几个: |A|是否存在代表了逆映射是否存在。非方阵代表矩阵等效于多少个单位正交向量形成的映射。
&&& 最后一个命题，什么是特征向量/特征矩阵/特征值? 还是求一个矩阵A所代表的映射，存在N个不动点En(其实是N个向量)，使得f(A,E)=A*E=E。E就是不动点，n个E的组合就是特征矩阵Me，使得A*Me=Me。特征值的绝对值代表了对应的特征向量的&幅度&信息。(完)
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