代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案 01_丁石孙-牛bb文章网
代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案 01 丁石孙
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第一章代数基本概念1. 如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明:对任意a,bG,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群G为交换群.2. 如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G为交换群. [方法2] 对任意a,bG,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知G为交换群.3. 设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:(1) a(bc)=(ab)c;(2) 由ab=ac推出a=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1]设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有akaiak aj------------&1& aiakaj ak------------&2&再由乘法的封闭性可知G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------&3& G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------&4&由&1&和&3&知对任意atG, 存在amG,使得akam=at.由&2&和&4&知对任意atG, 存在asG,使得asak=at.由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2]为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G.为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.1(Ⅰ) 证明G内存在幺元.&1& 存在atG，使得a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); &2& 证明a1at= ata1; 因为a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2 a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1)2,故此a1(ata1)at= a1(a1at)at.由条件(1),(2)可得到a1at= ata1.&3& 证明at就是G的幺元; 对任意akG,a1(atak) =(a1at)ak=a1ak由条件(2)可知atak=ak.类似可证akat=ak.因此at就是G的幺元.(Ⅱ) 证明G内任意元素都可逆；上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意aG，存在bG，使得ab=ba=e.&1& 对任意aG，存在bG，使得ab=e;(这一点很容易证明这里略过.)&2& 证明ba=ab=e; 因为a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由条件(2),(3)知ba=ab.因此G内任意元素都可逆.由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群.4. 设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群. 证明：取一元aG,因xa=a在G内有解, 记一个解为ea对任意 bG, ax=b在G内有解, 记一个解为c,那么有eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b,因此ea为G内的左幺元.2再者对任意dG, xd=ea在G内有解,即G内任意元素对ea存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.[总结]群有几种等价的定义:(1) 幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.(2) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G内包含幺元, G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.(3) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G内包含左幺元, G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.(4) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解，则称G为该运算下的群.值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.5. 在S3中找出两个元素x,y,适合(xy)2x2y2.[思路] 在一个群G中，x,yG, xy=yx (xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素. 解: 取x=, y=那么(xy)2= x2y2.[注意]我们可以通过mathematica软件编写Sn的群表,输出程序如下:Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)(Permutations[Table[i,{I,1,n}]]);Stable[n_]:=(*生成Sn群表*)(a=Se[n];Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}])当n=3时群表如下：[说明]：表示置换, 剩下的类似.为了让更清楚，我们分别用e,a,b,c,d,f表示,,,,那么群表如下:36. 对于n&2,作一阶为2n的非交换群.7. 设G是一群, a,bG,如果a-1ba=br,其中r为一正整数,证明a-ibai=. 证明：我们采用数学归纳法证明.当k=1时, a-1ba=br=, 结论成立；假设当k=n时结论成立, 即a-nban=成立, 下面证明当k=n+1时结论也成立. 我们注意到a-1bka== bkr,因此a-(n+1)ban+1= a-1 (a-nban)a=a-1a==,可见k=n+1时结论也成立.由归纳原理可知结论得证.8. 证明:群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射. 证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射. 由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为,并且群G为一个交换群,可得.因此有.综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射.(Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群. 若映射是一同构映射,则对任意有,另一方面，由逆元的性质可知.因此对任意有,即映射是一同构映射,则群G为一个交换群.9. 设S为群G的一个非空子集合，在G中定义一个关系a～b当且仅当ab-1S.证明这是一个等价关系的充分必要条件为S是一个子群. 证明:首先证明若～是等价关系，则S是G的一个子群. 对任意aG,有a～a,故此aa-1=eS；对任意a,bS,由(ab)b-1=aS,可知ab～b，又be-1=bS,故b～e,由传递性可知ab～e，即4(ab)e-1=abS.再者因ae-1=aS, 故a～e,由对称性可知e～a，即ea-1=a-1S.可见S是G的一个子群.接着证明当S是G的一个子群,下面证明～是一个等价关系.对任意aG, 有aa-1=eS，故此a～a(自反性);若a～b，则ab-1S,因为S为G的子群，故(ab-1)-1=ba-1S,因此b～a(对称性);若a～b，b～c,那么ab-1S,bc-1S,故ab-1 bc-1=ac-1S，因此a～c(传递性).综上可知～是一个等价关系.10. 设n为一个正整数, nZ为正整数加群Z的一个子群，证明nZ与Z同构. 证明:我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.11. 证明:在S4中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构. 证明:为其本身),因此B为S4的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,)四元群.假设B与U4同构,并设f为B到U4的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U4不同构.[讨论] B与U4都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.12. 证明:如果在一阶为2n的群中有一n阶子群，它一定是正规子群. 证明:[方法1]设H是2n阶群G的n阶子群, 那么对任意aH, 有HaH=,并且aHG,HG,又注意到aH和H中都有n个元素, 故此HaH=G.同理可证对任意aH, 有HHa=, HHa=G，因此对任意aH，有aH=Ha.对任意aH, 显然aHH, HaH又因aH,Ha及H中都有n个元素，故aH=Ha=H.5代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案 01_丁石孙综上可知对任意aG,有aH=Ha，因此H是G的正规子群.[方法2]设H是2n阶群G的n阶子群,那么任取aH, hH, 显然有aha-1H.对给定的xH, 有HxH=, HxH=G.这是因为若假设yHxH, 则存在hH，使得y=xh,即x=yh-1H产生矛盾,因此HxH=;另一方面, xHG,HG, 又注意到xH和H中都有n个元素, 故此HxH=G.那么任取aH,由上面的分析可知axH, 从而可令a=xh1这里h1H.假设存在hH, 使得aha-1H,则必有aha-1xH,从而可令aha-1=xh2这里h2H.那么xh1ha-1=xh2,即a= h2h1hH,产生矛盾.因此，任取aH, hH, 有aha-1H.综上可知对任取aG, hH, 有aha-1H,因此H为G的一个正规子群.13. 设群G的阶为一偶数,证明G中必有一元素ae适合a2=e.证明:设bG，且阶数大于2，那么b≠b-1,而b-1的阶数与b的阶数相等.换句话说G中阶数大于2的元素成对出现，幺元e的阶数为1，注意到G的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，(切确的说阶数为2的元素有奇数个).[讨论][1] 设G是一2n阶交换群，n为奇数则G中只有一个2阶元.为什么？提示：采用反证法，并注意用Lagrange定理.[2] 群G中，任取aG，有an=e，那么G一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和n有什么关系？14. 令A=, B=证明:集合{B,B2,…,Bn,AB,AB2,…,ABn}在矩阵的乘法下构成一群, 而这个群与群Dn同构. 证明:下面证明G={B,B2,…,Bn,AB,AB2,…,ABn}在矩阵的乘法下构成一群.(Ⅰ)首先证明对乘法运算封闭. 下面进行分类讨论：(1) BiBj=Bi+j,注意到Bn=故此BiBj=BrG这里i+j=kn+r,kZ,0&rn.(2) A BiBj=BrG这里i+j=kn+r,kZ,0&rn.(3) 容易证明BAB=A=ABn,BA=BiAB(s+1)n=ABn-tG,这里i=sn+t,kZ,0&tn.那么Bi(ABj)=( BiA)Bj=(ABn-t)BjG(4) (ABi)(ABj)=A(BiABj)=A((ABn-t)Bj)=A2(Bn-tBj)= Bn-tBj)G由(1),(2),(3),(4)知G对乘法运算封闭.(Ⅱ)因集合G对矩阵乘法封闭，再由矩阵乘法的性质可知，结合律肯定成立.(Ⅲ)显然Bn=A2=E为幺元.(Ⅳ)对Bi(i=1,2,…,n),有BiBn-i=E;对ABi(i=1,2,…,n),有(ABi)(Bn-iA)=E,因此G内任何一元都可逆.由(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)，(Ⅳ)可知G在矩阵乘法下构成一群.最后证明G与 Dn同构.令f:G→Dnf(Bi)=Ti, f(ABi)=STi(i=1,2,…,n)，可以证明f就是G到Dn的同构映射，这里不予证明了.15. 设i是一个正整数, 群G中任意元素a,b都适合(ab)k=akbk, k=I,i+1,i+2,证明G为交换群.证明:对任意a,bGai+2bi+2=(ab)i+2=(ab) (ab)i+1=(ab) (ai+1bi+1)=a(bai+1)bi+1,根据消去律可得ai+1b=bai+1.----------------------(1)同时ai+1bi+1=(ab)i+1=(ab) (ab)i=(ab) (aibi)=a(bai)bi+1,根据消去律可得aib=bai.---------------------------(2)因此ai+1b=a(aib)=a(bai)=(ab)ai----(3)另外bai+1=(ba)ai----------------------(4)结合(1),(3),(4)有(ab)ai=(ba)ai---------------------(5)由消去律可得到ab=ba.因此G为交换群.16. 在群SL2(Q)中，证明元素a=的阶为4，元素b=的阶为3，而ab为无限阶元素.证明：可以直接验证a的阶为4，b的阶为3.因为ab=，对任何正整数n，(ab)n=≠可见ab的阶为无限.[注意] 在一群中，有限阶元素的乘积并不一定也是有限阶的，但两个可交换的有限阶元素的乘积一定是有限阶元素.[问题] 若一群中所有元素的阶数都有限，那么这个群一定是有限群吗？17. 如果G为一个交换群，证明G中全体有限阶元素组成一个子群.证明:交换群G中全体有限阶元素组成的集合记为S，任取a，bS，并设a的阶为m，b的阶为n，则(ab)mn=(am)n(bn)m=e因此ab为有限阶元素，即abS.a-1的阶数与a相同，故此a-1也是有限阶元素，即a-1S.综上可知S为G的一个子群.18. 如果G只有有限多个子群，证明G为有限群.证明:采用反证法证明.假设G为无限群，则G中元素只可能有两种情况：(1)G中任意元素的阶数都有限、(2)G中存在一个无限阶元素.(1) 首先看第一种情况：G中取a1≠e，并设其阶数为n1，则循环群G1={,…}为G的一个子群；G中取a2G1，并设其阶数为n2，则循环群G2={,…}为G的一个子群；G中取a3G1∪G2，并设其阶数为n3，则循环群G3={,…}为G的一个子群；… … …我们一直这样做下去，可以得到G的互不相同的子群构成的序列Gn(n=1,2,…)，所以G有无穷多个子群，产生矛盾；(2) 再看第二种情况:设a∈G的阶数为无穷，那么序列G1=&&，G2=&&，…，Gn=&&，…是G的互不相同的子群，所以G有无穷多个子群，产生矛盾.综上就可知“G是无限群”这个假设不成立，因此G是有限群.19. 写出Dn的所有正规子群.20. 设H，K为群G的子群，HK为G的一子群当且仅当HK=KH.证明：(Ⅰ)设HK=KH，下面证明HK为G的一子群.任取a,b∈HK,可令a=h1k1，b=h2k2这里hi∈H，ki∈K，i=1,2.那么ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2 ---------------(1)因HK=KH，故此k1h2= h3k3 ----------------------(2)这里h3∈H，k3∈K.由(1),(2)知ab= h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2)∈HK. ------------(3)另外，a-1= (h1k1)-1= ∈KH=HK. ----------------- (4)由(3),(4)知HK是G的子群.(Ⅱ) HK为G的一子群,下面证明HK=KH.若a∈HK,易知a-1∈KH. HK是子群,任取a∈HK，有a-1∈HK,因此(a-1)-1=a∈KH，那么有HK KH.若a∈KH,易知a-1∈HK. HK是子群,任取a∈KH，有a-1∈HK,因此(a-1)-1=a∈HK，那么有KH HK.综上知，HK=KH.21. 设H，K为有限群G的子群，证明证明：因H∩K为H的子群，那么可设H的左陪集分解式为H=h1(H∩K)∪h2(H∩K)∪…∪hr(H∩K)这里r为H∩K在H中的指数，hi∈H，当i≠j，hi-1hj?H∩K(事实上等价于hi-1hj?K),i, j=1,2,…,r.又(H∩K)K=K,所以HK=h1K∪h2K∪…∪hrK.------------(1)注意到hi-1hj?K，所以当i≠j(i, j=1,2,…,r)时，hiK∩hjK=.----------------(2)由(1),(2)我们得到[总结]左陪集的相关结论设H为G的一子群，那么(1) a∈aH;(2) a∈H?aH=H;(3) b∈aH?aH=bH;(4) aH=bH?a-1b∈H;(5) aH∩bH≠，有aH=bH.22. 设M,N是群G的正规子群.证明：(i) MN=NM;(ii) MN是G的一个正规子群；(iii) 如果MN={e}，那么MN/N与M同构.证明：(i)[方法1]任取a∈MN,可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M为G的正规子群，故n-1mn∈M. 所以a=n(n-1mn) ∈NM，故此MN?NM.同样的方法可以证明NM?MN. 因此MN=NM.[方法2]任取a，b∈MN，可设a=m1n1(m1∈M，n1∈N)，b=m2n2(m2∈M，n2∈N).下面只要证明MN为G的一个子群即可(由第20题可知)，也就是说只要证明ab-1∈MN即可.因为ab-1=m1n1n2-1m2-1= [m1(n1n2-1m2-1n2n1-1)](n1n2-1)，而M为G的正规子群，故n1n2-1m2-1n2n1-1∈M，所以ab-1∈MN.(ii) 由(i)可知MN为G的一个子群.任取a∈MN, 可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M和N为G的正规子群，对任意g∈G，有g-1ag= g-1mng= (g-1mg)(g-1ng) ∈MN.所以MN为G的正规子群.(iii) 易知N为MN的正规子群，因此MN/N是一个群. 因为MN={e}，对任何mi≠mj∈M, 有miN≠mjN[注].作一个MN/N到M的映射f[注]，f: MN/N→MmNm，那么该映射显然是一一对应，另外f(miNmjN)= f(mimjN)= mimj，因此f为MN/N到M的同构映射，即MN/N与M同构.[讨论]1. 只要M和N的一个是正规子群，那么MN就是子群，或者说成立MN=NM.这一点我们从(i)的证明方法2可知.2. M和N中有一个不是正规子群时MN一定不是正规子群.[注意]1MN={e}，对任何mi≠mj∈M, 有miN≠mjN.证明：若存在mi≠mj∈M, 有miN=mjN，那么mimj-1∈N，而mimj-1∈M. 因此mimj-1∈MN，产生矛盾.2. 设f: MN/N→M代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案 01_丁石孙mNm，则由于对任何mi≠mj∈M, 有miN≠mjN，故此f为MN/N到M的一个映射.23. 设G是一个群，S是G的一非空子集合.令C(S)={x∈G|xa=ax,对一切a∈S}N(S)= {x∈G|x-1Sx=S}.证明：(i) C(S),N(S)都是G的子群;(ii) C(S)是N(S)的正规子群.证明：(i) 首先证明C(S)是G的子群.任取x，y∈C(S)，那么对任意a∈S有xa=ax，ya=ay. 那么一方面，(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)，所以xy∈C(S).另一方面，xa=axa=x-1axax-1=x-1a所以x-1∈C(S).因此，C(S)是G的子群.接着证明N(S)都是G的子群.任取x，y∈N(S)，则x-1Sx=S，y-1Sy=S. 那么一方面，(xy)-1S(xy)=x-1(y-1Sy)x=x-1Sx=S所以xy∈N(S).另一方面，x-1Sx=SS=xSx-1所以x-1∈N(S).因此，N(S)是G的子群.(ii) 任取x∈C(S)，a∈S，则xa=ax，即a=x-1ax，亦即S= x-1Sx. 因此x∈N(S)，即C(S)N(S).任取x∈C(S)，y∈N(S)，a∈S，则存在ay∈S使得yay-1=ay，因此a=y-1ayy. 那么(y-1xy)a(y-1xy)-1=y1[x(yay-1)x-1]y= y1(xayx-1)y= y-1ayy=a，即(y-1xy)a=a(y-1xy).所以y-1xy∈C(S)，因此C(S)是N(S)的正规子群.24. 证明任意2阶群都与乘法群{1，-1}同构.证明：略.25. 试定出所有互不相同的4阶群.解：我们分类讨论:(1)存在四阶元；(2)不存在四阶元.(1) 若存在一个四阶元，并设a为一个四阶元，那么该四阶群为&a&.(2) 若不存在四阶元，那么除了单位元e的阶为1，其余元素的阶只能是2，即设四阶群222综上可知，四阶群群在同构意义下只有两种或者是四阶循环群或者是Klein四阶群.26. 设p为素数.证明任意两个p阶群必同构.证明：易知当p为素数时，p阶群必存在一个p阶元，即p阶群必是p阶循环群，故两个p阶群必同构.27. Z为整数环，在集合S=Z×Z上定义(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc).证明S在这两个运算下成为幺环.提示：(1,0)为该环的单位元素.证明：略.28. 在整数集上重新定义加法“”与乘法“”为ab=ab, ab=a+b试问Z在这两个运算下是否构成一环.答：不构成环.29. 设L为交换幺环，在L中定义：ab=a+b-1,ab=a+b-ab.这里e为单位元素，证明在新定义的运算下，L仍称为交换幺环，并且与原来的环同构. 证明：(i)证明L在运算下构成交换群：由的定义，得到(ab)c=(a+b-1)c=a+b-1+c-1=a+b+c-2a(bc)= a(b+c-1)= a+b+c-1-1=a+b+c-2这里2=1+1，所以(ab)c= a(bc).----------------(1)同时由的定义还可以得到a1= 1a=a，------------------------(2)a(2-a)=(2-a)a=1，---------------(3)ab=ba，----------------------------(4)由(1),(2),(3)(4)可知L在运算下构成交换群.(ii)证明L中运算满足结合律和交换律：容易证明这里略过.(iii)证明乘法对加法满足分配律：因为a(bc)= a(b+c-1)=a+(b+c-1)-a(b+c-1)=2a+b+c-ab-ac-1，(ab)(ac)=(a+b-1)(a+c-1)= (a+b-ab)+(a+c-ac)-1=2a+b+c-ab-ac-1，所以a(bc)= (ab)(ac).由于和满足交换律，故此(bc)a= (ba)(ca).因此新定义的乘法对新定义的加法满足分配律(iv) 设0为环(L，+，)的零元，则0a=a0=a由(i)，(ii)，(iii)，(iv)可得到(L，，)为交换幺环.(v) 最后证明(L，+，)与(L，，)同构：设f: L→Lx1-x，容易证明f为(L，+，)到(L，，)的同构映射.30. 给出环L与它的一个子环的例子，它们具有下列性质:(i) L具有单位元素，但S无单位元素；(ii) L没有单位元素，但S有单位元素；(iii) L, S都有单位元素，但互不相同；(iv) L不交换，但S交换.解：(i) L=Z，S=2Z；(ii) L={|a,b∈R}，S={|a∈R}；(iii) L={|a,b∈R}，S={|a∈R}；(iv) L={|a,b∈R}，S={|a∈R}；31. 环L中元素eL称为一个左单位元，如果对所有的a∈L，eLa= a；元素eR称为右单位元，如果对所有的a∈L，aeR=a.证明：(i) 如果L既有左单位元又有右单位元，则L具有单位元素；(ii) 如果L有左单位元，L无零因子，则L具有单位元素；(iii) 如果L有左单位元，但没有右单位元，则L至少有两个左单位元素.证明：(i) 设eL为一个左单位元，eR为右单位元，则eLeR=eR=eL.记e=eR=eL，则对所有的a∈L，ea=ae=a，因此e为单位元素；(ii) 设eL为一个左单位元，则对所有的a(≠0)∈L，a(eLa)=a2；另一方面，a(eLa)=(aeL)a. 所以a2=(aeL)a.因为L无零因子，所以满足消去律[注]，故此a= aeL.另外，若a=0，则a= aeL=eLa.因此左单位元eL正好是单位元.(iii) 设eL为一个左单位元，因为L中无右单位元，故存在x∈L，使得xeL≠x，即xeL-x≠0, 则eL+ xeL-x≠eL，但是对所有的a∈L，(eL+ xeL-x)a=a,因此eL+ xeL-x为另一个左单位元，所以L至少有两个左单位元素.[注意] L无零因子，则满足消去律(参考教材46页).32. 设F为一域.证明F无非平凡双边理想.证明：设I为F的任意一个理想，且I≠{0}，则对任意a(≠0)∈I，则a-1∈F,于是a-1a=1∈I.从而F中任意元素f，有f1=f∈I，故I=F，即F只有平凡双边理想.[讨论] 事实上，一个体(又称除环)无非平凡双边理想. 另一方面，若L是阶数大于1的(交换)幺环，并且除了平凡理想，没有左或右理想，则L是一体(域).33. 如果L是交换环，a∈L，(i) 证明La={ra|r∈L}是双边理想；(ii) 举例说明，如果L非交换，则La不一定是双边理想.证明：(i) 容易验证La为L的一个加法群. 任取ra∈La，l∈L，则l(ra)=(lr)a∈La，(ra)l=r(al)=r(la)=(rl)a∈La故La为L的一个双边理想.(ii) 设L=M2(R)，那么L显然不是交换环，取h=，下面考察Lh是否为L的理想： 取k=，容易验证h∈Lh，hk Lh，因此Lh不是L的一个理想.34. 设I是交换环L的一个理想，令radI={r∈L|rn∈I对某一正整数n}，证明radI也是一个理想.radI叫做理想I的根.35. 设L为交换幺环，并且阶数大于1，如果L没有非平凡的理想，则L是一个域. 证明：只要证明非零元素均可逆即可.任取a∈L，那么La和aL是L的理想，且La≠{0}，aL≠{0}，因L无平凡的理想，故此La=aL=L，因此ax=1和ya=1都有解，因而a为可逆元.36. Q是有理数域，Mn(Q)为n阶有理系数全体矩阵环.证明无非平凡的理想(这种环称为单 环).证明：我们社K为Mn(Q)的非零理想，下面证明K=Mn(Q).为了证明这一点，只要证明n阶单位矩阵E∈K.记Eij为除了第i行第j列元素为1，其余元素全为0的矩阵.那么EijEst=而E=E11+E22+…+Enn.我们只要证明Eii∈K(i=1,2,…,n)就有E∈K.设A∈K，且A≠0，又令A=(aij)n×n,假设akj≠0，则有EikAEji=akjEii(i=1,2,…,n).由于akj≠0，故存在逆元akj-1.设B= akj-1Eii,则BEikAEji= akj-1EiiEikAEji= akj-1EikAEji=EikEkjEji=Eii.因为K为理想，A∈K，所以Eii=BEikAEji∈K，证毕.37. 设L为一环，a为L中一非零元素.如果有一非零元素b使aba=0，证明a是一个左零 因子或一右零因子.证明：若ab=0，则a为左零因子；若ab≠0，则aba=(ab)a=0，故ab为右零因子.38. 环中元素x称为一幂零元素，如果有一正整数n使xn=0，设a为幺环中的一幂零元素， 证明1-a可逆.证明：设an=0，那么(1+a+a2+…+an-1)(1-a)=(1-a) (1+a+a2+…+an-1)=1-an=1因此1-a可逆.39. 证明：在交换环中，全体幂零元素的集合是一理想.40. 设L为有限幺环.证明由xy=1可得yx=1.证明：当L只有一个元素，即L={0}，亦即0=1[注]，此时显然有xy=1=xy；当L有多于一个元素时(即0≠1时)，若xy=1，y不是左零元[注],因此yL=L.又因L为有限环，所以存在z∈L，使得yz=1.注意到(xy)z=z，x(yz)=x，所以x=z，即yx=1.[注意]1.幺环多于一个元素当且仅当0≠1.2．当L有多于一个元素时(即0≠1时)，若xy=1，y不是左零元.因为若存在z≠0使得yz=0，则z=(xy)z=x(yz)=0,产生矛盾.41. 在幺环中，如果对元素a有b使ab=1但ba≠1，则有无穷多个元素x，适合ax=1. (Kaplansky定理)证明：首先，若ab=1但ba≠1，则a至少有两个右逆元[注].现在假设a只有n(&1)个右逆元，并设这些元素为xi(i=1,2,…,n).那么a(1-xia+x1)=1(i=1,2,…,n),又当i≠j时，1-xia+x1≠1-xja+x1[注]，这里i，j=1,2,…,n.于是{xi|i=1,2,…,n}={1-xia+x1| i=1,2,…,n }，故存在xk∈{xi|i=1,2,…,n}使得x1=1-xka+x1,即xka=1.因为n&1，我们取xt≠xk∈{xi|i=1,2,…,n}，那么(xka)xt=xt，(xka)xt =xk(axt)=xk因此xt=xk，产生矛盾，所以假设不成立，即a有无穷多个右逆元.[注意]1. 若ab=1但ba≠1，则a至少有两个右逆元. 因为易验证1-ba+a就是另一个右逆元.代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案 01_丁石孙2. 假设当i≠j时，1-xia+x1=1-xja+x1，则xia=xja，故xiax1=xjax1,因此xi=xj，产生矛盾.42. 设L是一个至少有两个元素的环. 如果对于每个非零元素a∈L都有唯一的元素b使得aba=a.证明：(i) L无零因子；(ii) bab=b;(iii) L有单位元素；(iv) L是一个体.证明：(i) 先证明L无左零因子，假设a为L的一个左零因子，那么a≠0，且存在c≠0，使得ac=0，于是cac=0. 因a≠0，则存在唯一b使得aba=a.但a(b+c)a=a,b+c≠b产生矛盾，所以L无左零因子.类似可证L无右零因子.(ii) 因aba=a，所以abab=ab. 由(i)的结论知L无零因子，因此满足消去律，而a≠0，故bab=b.(iii) 我们任一选取a(≠0)∈L，再设aba=a(这里b是唯一的)，首先证明ab=ba.因为a(a2b-a+b)a=a，所以a2b-a+b=b，即a2b=a=aba，由消去律得到ab=ba.任取c∈L，则ac=abac，故此c=(ba)c=(ab)c；另一方面，ca=caba，故此c=c(ab).综上得到c=(ab)c=c(ab),所以ab就是单位元素，我们记ab=ba=1.(iv) 由(iii)可知任意a(≠0)∈L，ab=ba=1，即任意非零元素都可逆，因此L成为一个体.43. 令C[0,1]为全体定义在闭区间[0,1]上的连续函数组成的环.证明：(i) 对于的任一非平凡的理想I，一定有个实数，，使得f()=0对所有的f(x)∈I；(ii) 是一零因子当且仅当点集 {x∈[0,1]|f(x)=0} 包含一个开区间.证明：(i) 证明思路：设I为非零的非平凡理想，假设对任意x∈[0,1]，存在f(x)∈I使得f(x)≠0，想法构造一个g∈I可逆.(ii) 提示：用连续函数的局部保号性.44. 令F=Z/pZ为p个元素的域.求(i) 环Mn(F)的元素的个数；(ii) 群GLn(F)的元素的个数.45. 设K是一体，a，b∈K，a，b不等于0，且ab≠1.证明华罗庚恒等式：a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba.证明：因为a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba?1-(a-1+(b-1-a)-1)-1a-1=ab?(aa-1+a(b-1-a)-1)-1=1-ab? (1+a(b-1-a)-1)-1=1-ab?(1+((ab)-1-1)-1)-1=1-ab，为了方便记x=ab，那么1-x，x，x-1-1都可逆，只要证明(1+(x-1-1)-1)-1=1-x即可，或者证明1+(x-1-1)-1=(1-x)-1即可.因为1+(x-1-1)-1=1+(x-1-x-1x)-1=1+(1-x)-1x=(1-x)-1(1-x) +(1-x)-1x=(1-x)-1,所以结论成立，即a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba.16欢迎您转载分享：
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2. int整型 ... a/b这样的表达式大家都很熟悉，用在C语言中，+，/，就是算术运算符。C51中的算术运... C编译器所支持的注释语句。一种是以＂//＂符号开始的语句，符号之后的语句都被视为...
《C语言程序设计》学习指导 温东新 课程名称：C语言程序设计 英文名称：HIGH LEVEL... 结构化程序设计方法 引导 讲述教学 第三讲 C的数据类型 常量 符号常量 讲述教学 第四讲 ... 4 用前100项之积计算π。 5 利用泰勒级数计算的近似值，，当最后一项的绝对值小于10-5...
C语言教程 目录 计算机软件基础知识-8 第2章Turbo C2.0-47 第3章 程序设计基础-54 第4... 5.3.2实型常量 5.3.3单字符常量 5.3.4字符串常量 5.3.5符号常量 5.4表达式 5.4.1算术运算... 表5-1 基本数据类型的长度和存储的值域（带*号为绝对值范围） 类型 占字节长度（位） ...
分析：本题先用&零点区间讨论法&消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 解：易知该函数有两个零点、 ...
由此，学生发现了&同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值&&&这一...
结合自己教学实践，谈谈你在培养学生的符号运算能力方面 发展策略 &1.&设计有效的... 数学教材在不少问题的处理上都是采用分类讨论的思想来加以叙述的。例如有理数绝对值...
(3)、+6与-6从数的表现形式来看只有符号不相同，那么从数轴上有什么相同点？ （二）引入课题 +6和-6所对应的点到原点的距离，我们把这个距离叫做+6和-6的绝对值，这就是我...
在数轴上画出表示下列各数的点：2,0,-0.05,-,+l,-1. (2)填空： +2=0=-0.05= -=+l=-1= 5.-2.5可以理解为数轴上表示 的点与 的距离. 6.符号是负号，绝对值是5的数是 . 7.绝对值是3的数是...
绝对值 基础训练 一、填空 1、-3= ;-1.6= 2、计算：-（+4.8）= 3、绝对值等于2的数是 二... 两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等 D、两个数的绝对值相等，且符号相...
七年级上册同步练习1.4 绝对值 基础训练 一、填空 1、-3= ;-1.6= 2、计算：-（+4.8）= 3... 两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等 D、两个数的绝对值相等，且符号相...
课题 绝对值 授课教师：江陵县西湖中学 黄荣 教材：人教版九年义务教育三年制初级中学... 即0的绝对值是-记作-------； 分析归纳 问题：有理数根据符号可分为哪几类？它们的绝对...
无符号数和有符号数 ㈠ 无符号数 无符号数是指没有符号的数，即正整数，在机器字长中的全部数位均用来表示数值的大小，相当于数的绝对值。 例如表示96H（十进制...
10.比较下列各组数的大小，并说明理由： （1）-，和-0.05;2）--，-（)和-. 11.绝对值大于2且小于5 的所有整数是 . 12.求有理数a的绝对值时，先要判断a的符号： 当a&0时，a=a；当a...
(2)、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 过程与方法目标： （1）、通过运用&| |&来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维...
含绝对值不等式的解法 &&含绝对值不等式的解法（4） 【课后练习】 1.实数a、b满足|a+b|=|a|+|b|，则必有（ ） A、 B、 C、ab&0 D、ab&0 解析：去绝对值无非涉及到符号问题，...
A.一定是负数 B.0既不是正数，也不是负数 C.任何正数都大于它们的相反数 D.绝对值小于3的所有整数的和为0 6 .下列说法正确的是 （ ） A、是负数；B、符号相反的数互为相反数 C...
数字符号9的ASCII码十进制表示为_ （1997年4月） 3、请写出以下数学式的C语言表达式
a ... 3、表示&整数x的绝对值大于5&时值为&真&的C语言表达式是_ （2000年9月） 4、下列...
10个数字符号、26个大写字母。 最简单的C程序设计 选择题 C语言的程序一行写不下时... { s+= t= ； } 用公式求π， 直到最后一项的绝对值小于为止。 #include &stdio.h& #include &...
当整个单元只有一个放大系数，或者从加权系数和放大系数提出公因子时，定性符号中的&m&可以用绝对值代替。
?&&&&&& 根据国际GB4728《电气图用图形符号》，并参...
又由绝对值概念知a-2&0，故a的取值范围是a&2. 2.数形结合 例2 已知a&0&c,ab&0,|b|&|c|&|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|. 解 分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号，根据已知可...
domain 单值函数 single valued function 多值函数 multiple valued function 单值分支 one-valued branch 函数图形 graph of a function 绝对值函数 absolute value 符号函数 sigh function ...
以下程序的功能是：将无符号八进制数字构成的字符串转换为十进制整数。例如，输入的... c=(a-=(b-5));
c=(a%11)+(b=3);
(8) 表示&整数x的绝对值大于5&时值为&真&的C语言表...
(4)新增对含有较大（或较小）数字的信息作出合理的解释和推断。 要求降低的方面： （1）求有理数的绝对值时对绝对值符号内含字母不做要求； （2）有理数运算以三步为主。 2.实数 要求...
教师：巡视指导 1题的前四个旨在直接运用绝对值的性质，后两个略有加深，需要讨论后回答； 2题（3）小题让学生区别绝对值符号和括号的不同含义。 教师在总结完本节课的知...
不等式的解集为（ （A） (B) (C) (D) 【解】：∵ ∴ 即， ， ∴ 故选A； 【点评】：此题重点考察绝对值不等式的解法； 【突破】：准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的...
2、若X补=11111，则其十进制真值为（） &&&&&&A:-31&&&&& B:-15&&&&& C:-1&&&&&& D:31 3、某定点整数16位，含一位符号位，原码表示，则其绝对值最...
忽略这一点可能导致失解. （8）绝对值不等式 绝对值号内含有未知元（或变元）的不等式称为含绝对值的不等式，简称绝对值不等式. 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，使其...
101*11==101 1001 shl 2=0110 shr 2 =.2 计算机中数的表示 在普通数字中，用&+&或&&&符号在数的绝对值之前来区分数的正负。在计算机...
(5)初中数学新课标中指出：借助数轴理解绝对值的意义，会求有理数的绝对值，但＂绝对值符号内不含字母＂。因此高中的不等式、函数、方程等含参数问题的解答就会受到影响。...
使繁杂的计算简化了. 例1虽然是一个简单的公式应用，自然解出两个结果，为什么会有两个满足条件的点A，由图很直观地得到解释，从公式结构看是由于绝对值符号产生的两个不...
数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空，选择题. （2）解绝对值不等式的关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式（组）.主要有以下方法： ⅰ） ⅱ）
ⅲ）解含有几个绝对...
3.能解答含有绝对值符号的化简求值。 4.通过本课学习提高观察、分析、解答综合问题的能力，形成熟练运用法则解答数学问题的技能与能力。 【学习重点】法则的综合运用 【学...
因为，所以， 于是； （2）因为，所以. 于是. 说明：当遇到被开方数是多项式时，要先进行因式分解，再应用公式，然后根据的符号脱掉绝对值符号.
因为， 所以； （2）因为，， 所以； 说明：因为是非负数，所以在运用公式时要写出的步骤，然后根据的符号脱掉绝对值符号.
四、耐心想一想 1.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉。例如： |6+7|= 6+7 ;|6&7|=7- 6;|7-6|=7- 6 ；|―6―7|=6+7；
根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值...
6、太阳离地球约有一亿五千万千米，用科学记数法表示这个距离为_千米. 7、陈新同学的作业本上出现了一个错误的等式，请你直接在算式中添&括号&或&绝对值符号&或&负号...
18、含绝对值符号不等式的基本解法：（1）|f(x)|&g(x)2)|f(x)|&g(x)3）含多个绝对值符号的不等式用 解。 四、数列 19、已知数列{an}前n项和Sn求通项an，则an= 20、等差数列{an}...
40. 不等式，（）的解法掌握了吗？ 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集.） 41.等号成立的条件清楚吗？ （右边取等号...
因此，它的解可以图示如下： 显然的，对於任何一个正数a，不等式的解即为所有介於a与a之间的数，并可用集合{ x|axa}来表示。 其实，含有绝对值符号的不等式都可改写成不含绝...
借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。通过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法做到形数结合。 3.经历...
40. 不等式，（）的解法掌握了吗？ 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集.） 41.等号成立的条件清楚吗？ （右边取等号...
借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。通过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法做到形数结合。 3.经历...
删掉 P49 图3-12 改为 8.P50 图3-13 中 改为 9.P61 图3-37 左边与非门改为OC门，符号m改为，相应的P60，倒数第三行公式的m改为，另外加绝对值符号。如下所示：P62图3-40...
计算机实习实验一 C语言复习 一、程序改错题 （1）下列程序的功能是：为指定的数组输入... 以二进制~十六进制任一制式的形式输出，请填写适当的符号或语句，使程序实现其功能... average is %f\n＂,n， } 三、编程题（30%） (1)）编写函数&判断整数x的绝对值是否大...
叫做一元一次不等式组 解法：求出每个一元一次不等式的值，最后求这几个一元一次不等式的交集（公共部分）。 考点：含有绝对值的不等式 定义：含有绝对值符号的不等式，如...
任意实数的绝对值一定为非负数；绝对值等于同一正数的实数有两个，它们互为相反数；反之，互为相反数的两个数绝对值相等；去掉绝对值符号首先要判断绝对值里面的实数是正...
&BC&6,0&AB&2. 由题意，有如下两种情形： CE1=x,BE1=BC-x,AB=CD=2(BC-x)，所以 （2AB+x）+AB=6， 所以 3.含绝对值的函数 一次函数的图像是一条直线，含有绝对值符号的函数...
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）、倒数。 ③掌握实数简单的混合运算（以三步为主）并能运用运算律简化运算。能运...
④理解有理数的运算律 ①能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。 ②会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含 字母）。③掌握有理数的加、减、乘、除、乘方...
数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么的值是 . （3）若表示一个有理数，则代数式的最小值为 . 点评：本题以表示数轴上的点为背景，利用阅读让学生理解绝对值符号...
12分1.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象. 2.由于分段函数在定义域的不同区间内解...
我们在解题时，经常运用分类讨论思想，比如，有关绝对值的概念，当去掉绝对值符号时，需要把绝对值内的字母分大于零、小于零、等于零三种情况加以讨论；在解含有字母系数...
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