在平面直角坐标系xOy中.已知圆C经过点A三点.M是线段AD上的动点.l1.l2是过点B(1.0)且互相垂直的两条直线.其中l1交y轴于E.l2交圆C于P.Q两点.若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数.求△EPQ的面积的最小值． 题目和参考答案——精英家教网——
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在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于E，l2交圆C于P、Q两点，若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．
考点：圆的一般方程,圆的标准方程
专题：直线与圆
分析：设M（x，y），由点M在线段AD上，得2x+ty-2t=0，由AM≤2BM，得（x-43）2+（y+23）2≥209，依题意，线段AD与圆（x-43）2+（y+23）2≥209至多有一个公共点，故|83-83t|4+t2≥253，由此入手能求出△EPQ的面积的最小值．
解：设M（x，y），由点M在线段AD上，得xt+y2=1，即2x+ty-2t=0，由AM≤2BM，得（x-43）2+（y+23）2≥209，依题意，线段AD与圆（x-43）2+（y+23）2≥209至多有一个公共点，故|83-83t|4+t2≥253，解得t≤16-10311或t≥16+10311，∵t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，∴t=4，∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．①当直线l2：x=1时，直线l1的方程为y=0，此时S△EPQ=2；②当直线l2的斜率存在时，设l2的方程为y=k（x-1），k≠0，则l1的方程为y=-1k(x-1)，点E（0，1k），∴BE=1+1k2，又圆心到l2的距离为|k+1|1+k2，∴PQ=25-(|k+1|1+k2)2=24k2-2k+41+k2，∴S△EPQ=12BE•PQ=121+1k2&#-2k+41+k2=4k2-2k+4k2=4k2-2k+4≥152，∵152＜2，∴（S△EPQ）min=152．
点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
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