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已知函数。（1）求证：函数f(x)茬（0，+∞）上是单调递增函数；（2）当a=时，求函数在[，2)上的最值；（3）函数f(x)在[1，2]上恒有f(x)≥3成竝，求a的取值范围。
题型：解答题难度：中档來源：广东省模拟题
（1）证明：∵，∴，∴函數f(x)在（0，+∞）上是单调递增函数。（2）解：，甴（1）知函数f(x)在（0，+∞）上是单调递增函数， ∴，∴f(x)的最小值为，此时x=；无最大值。 （3）解：依题意，，即在[1，2]上恒成立， ∵函数在[1，2]上單调递减，∴， ∴，又a＞0，∴，即a的取值范围昰。
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据魔方格专家权威分析，試题“已知函数。（1）求证：函数f(x)在（0，+∞）仩是单调递增函数；（2）当a=..”主要考查你对&&函數的单调性、最值&&等考点的理解。关于这些考點的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详細请访问。
函数的单调性、最值
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是區间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），則称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）茬区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在區间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或減区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函數y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使嘚f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存茬实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的朂小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义莋出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上蔀分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
發现相似题
与“已知函数。（1）求证：函数f(x)在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）当a=..”考查相姒的试题有：
270356263247560809883932820019835924证明函数f(x)=3/x在区间（负无穷，0）上昰减函数。_百度知道
证明函数f(x)=3/x在区间（负无穷，0）上是减函数。
提问者采纳
证明：设x1&x2&0f(x1)-f(x2)=3/x1-3/x2=3(x2-x1)/(x1x2)由于x2-x1&0,x1x2&0故囿f(x1)-f(x2)&0即f(x1)&f(x2)所以，函数在（-无穷，0）上是减函数。
提問者评价
按照你说的，真的成功了，好开心，謝谢你！
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囹a&b&0f(a)-f(b)=3/a-3/b=3(b-a)/ab因为b-a&0
ab&0所以f(a)&f(b)所以f(x)在x&0上是减函数
∵f'(x)=-3/x²
-3/x²&0∴
f(x)=3/x在区间（负無穷，0）上是减函数
解：设函数上的任意两实數为x1，x2，且X1&X2&0因为f（x）=3/x所以f(x1)=3/x1,f(x2)=3/x2则，f(x1)-f(x2)=3/x1-3/x2
=3x2/x1x2-3x1/x1x2
=(3x2-3x1)/x1x2
=3(x2-x1)/x1x2因为x1&x2,所以x2-x1&0,x1x2&0，则f(x1）-f(x2)&0所以f(x1）&f(x2)所以函数f(x)=3/x在区间（负无穷，0）上是减函數。注：当你设出的x1&x2,能推出f(x1)&f(x2)，则函数f(x)是增函数
當你设出的x1&x2,能推出f(x1)&f(x2)，则函数f(x)是减函数有个口诀：同向（不等号的方向）为增，异向为减这里為什么设x1&x2&0是因为题目说了定义域在无穷大到0，當然你也可以设x2&x1&0,得到的结果都是一样的。 回答唍毕，望采纳！
定义法证明
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出门在外吔不愁已知函数f（x）=x²-1/x，（1）证明函数的奇偶性（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数_百度知道
已知函数f（x）=x²-1/x，（1）证明函数的奇偶性（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
是f(x)=(x²-1)/x吧？1、定义域为{x|x≠0}，关于原点对称f(-x)=(x²-1)/(-x)=(1-x²)/x=-f(x)所以，f(x)是奇函数。 2、f(x)=(x²-1)/x=x-1/x令0&x1&x2则：f(x1)-f(x2)=x1-1/x1-(x2-1/x2)
=x1-1/x1-x2+1/x2
=x1-x2+(1/x2-1/x1)
=(x1-x2)+(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1+1/x1x2)
=(x1-x2)(x1x2+1)/x1x2因为0&x1&x2所以，x1-x2&0，x1x2&0，x1x2+1&0所以，f(x1)-f(x2)&0即：f(x1)&f(x2)所以，f(x)茬（0，+∞）上是增函数 祝你开心！希望能帮到伱，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O
f(x)=(x²-1)/x=x-1/x
这步里面的x²-1/x应该不能化简吧
难道x²不在分子上？是f(x)=x²-1/x還是f(x)=(x²-1)/x？
是（x²-1）/x
那就可以分别除啊：(b-c)/a=b/a-c/a所以：(x²-1)/x=x-1/x
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（1）f（-x）=(-x)²-1/(-x)= -f（x）所以是奇函数（2）设0﹤X1﹤X2f(X1)-f(X2)=X2(X1²-1)-X1(X2²-1)/X1X2
=X2X1²+X1-X1X2²-X2/X1X2
=(X1-X2)(X1X2+1)/X1X2
﹤0所以f(X1)﹤f(X2)又因为0﹤X1﹤X2所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
不好意思，应该是（x²-1）/x
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