如何抓好初中数学竞赛
&&&&&&& 如何抓好初中数学竞赛 初中数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使不同的人在数学上得到不同的发展。怎样才能实现新课程标准下的这一理念，既强调个性差异又重视学生个性发展，使学有余力的学生得到充分的发展，途径可能有很多，其中数学竞赛就是被实践证明的行之有效的途径之一，因为数学竞赛不仅可以激发学生对数学的兴趣，使学生体会学习数学的快乐，加深对数学的理解，从而更好地培养独立思考、概括归纳、创新求异的能力，而且对人的发展和完善都是十分有益的。如果你经历过数学竞赛，你就能领会一位外国数学大师M·克莱因的话：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发和抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上一切。” 数学竞赛现在广泛被视为一门独立的学科，在很多地区和学校正越来越受到重视，同时也被广大家长接受，作为学生提高自身素质、增强学习兴趣的手段。作为笔者，因为曾担任数学竞赛辅导的工作，那么就如何普及、近几年竞赛考题的趋势、内容的分析、如何训练学生解题这四个方面谈点个人的体会，不当之处，请多指正。 一、无论什么数学竞赛，其本身都是为了培养学生学习数学的兴趣，促进数学教学改革，从中发现人才。因此必须真正的做好普及，才能稳固提高。就我市目前情况来看，初中主要有“希望杯”全国邀请赛和初三年级的“全国联赛”。“希望杯”又分一试和二试，特别是第一试的试题，难度适中，内容也与教材很贴近，知识点都是学生已有知识的最近发展区（或者跳一跳就能够着）可以为我们做好普及工作、奠基工作。20年来初一、初二两个年级的试题培训题已累计超3000个，几乎覆盖了初中数学的全部及初中数学课本外的很多内容。二试试题难度略大一点，更突出对科学思维能力的培养，但不属于摸不着够不到的内容。对培养学生学习的兴趣和热情有很大的作用。这本书中提到的留德博士马维民，当年就是获得了第二届的铜牌，这一枚铜牌就成了他人生的一个转折点。因为它给他带来了学习的乐趣、增添了他的信心和勇气，其实这样的例子我们身边也有不少。但为什么还有很多人逐渐对数学竞赛失去兴趣呢？原因有多方面的。杨乐院士曾在《中国教师报》上接受记者采访时谈到一点原因是学生努力程度不够，他还没尝到成功带来的喜悦，所以我们作为辅导老师，不能一味地求难题做难题而不注重基础训练，如果一味地加大难度脱离我们平时的教学，只会扼杀学生的兴趣，使他们沮丧从而厌恶数学竞赛。只有把数学竞赛与常规教学相结合才能把数学竞赛普及工作做好，而初一、初二年级的希望杯竞赛正是这项工作的落实。 数学老师如何让学生对数学感兴趣，对竞赛感兴趣。激发兴趣，靠应用价值、靠历史的起源、靠数学游戏；发展兴趣，靠智性、靠不断产生的适合最近发展区的问题；保持兴趣，靠成功与失败的交错作用、靠问题的挑战、靠个人对数学的体验、靠数学本身的魅力。 数学竞赛的普及并不是指人人都参加竞赛，而是数学竞赛有一个良好的环境氛围，是指广大教师、家长能理性的思考，不仅仅是培养个别数学尖子，而是能激发广大青少年学习数学的热情。不能“一刀切”，更不能象现在有的媒体宣传的“洪水猛兽”，而是数学竞赛这座高塔有一个坚实的基础，当然越到塔顶人数越少，这也是正常的、自然的。
二、数学竞赛辅导要长期准备，要具有系统性，同时要关注数学竞赛的基本走势。 作为辅导老师，首先要研究中国数学会普及工作委员会制订的《初中数学竞赛大纲》，初中三年要根据大纲内容制订出较系统、易执行的计划。每学期根据学生实际情况，应该学会哪些内容、增加课本上没有的哪些知识，选取一、二本权威性的教材。我一般选用《希望杯数学能力培训教程》和华东师范大学出版社的《奥数教程》。 近几年初中数学竞赛的基本走势包括： 1、试题的价值取向。传统竞赛强调数学形式，关注数学本身的问题，人为设置陷阱，诱使学生用特殊技巧去应对，新出现的竞赛题则更加突出数学的本质；注重数学的应用、数学的情境，关注现实生活中的数据、现象规律，应用题、情境题是这一趋势的代表：
例1 （2009年江西预赛）一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废。行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶&&&&&& km。
2、试题所用的语言。不只是自然语言，符号语言也重视图形语言，不仅用图形提供停息，要求考生从图形中发现规律，也可以用图形作答。图形成为数学竞赛的基本语言之一（包括几何图形、函数图象、统计图等）。 例2 （2008年全国联赛江西决赛）将正三角形每条边四等分，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（&& ）
A．15&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．18&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
C．21&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．24 3、试题的类型。题型更加丰富，不仅有常规解答题和证明题，还有发现规律的探索题、图案设计题。通过操作解决问题的实验题。 例3 （2006年“希望杯”初二第二试试题）在2、3两个数之间，第一次写上 =5，第二次在2、5之间和5、3之间分别写上 = 和 =4如下所示：
第0次操作：2&&&& 3 第1次操作：2& 5& 3 第2次操作：2& &&5& 4& 3 第3次操作：…… 第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 。
⑴请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和。
⑵经过k次操作后所有数的和记为Sk，第k+1次操作后所有数的和记为Sk+1，写出Sk+1与Sk之间的关系式；⑶求S6的值。
4、试题中知识的组合。不要求记忆知识，如有可能，可以用常识、经验代替知识，有许多初中赛题，如果从知识的角度分析，不过是小学水平，但必须具备初中的数学素养才能作答。
1 10&&&&&&&&&& 2 9&&&&&&&&& &&&&3 8&&&&&&&&&&&&& 4 7&&&&&&&&&&& 5 6 例4 （2009年江西预赛）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如
实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁
的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来
的数如图所示，则报3的人心理想的数是方块6。
例5 （2005年全国竞赛）有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3……，J、Q、K的顺序排列，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是&&&& 。
5、试题不在单一知识上做文章，而是强调知识的联系，特别是在代数、几何、统计等多学科的交汇处挖掘素材，从而提出具有一定挑战性和综合性的问题，注重几何问题用代数方法处理，更加注重代数问题的几何意义。 例6 （《中学数学参考》第4届中学生数学智能通讯赛八年级试题）设 0&x&1，求证： ≤ + &1+
D&&&&&&& M&&&&&&&& C P A&&&&&&&& N&&&&&&& B简析：本题可以用分析法，但如果构造几何图形，用数形结合思想解决更巧妙、学生更容易接受。
如图：构造边长为1的正方形ANMD和BCMN，
设MP=x，由图中三角形三边关系不难得出
AC≤PC+PA＜AM+MC，从而问题得证。
三、数学竞赛尤其是初三全国联赛近几年考察的主要内容及考察重点、热点是什么，我认为了解这个问题同我们把握中考命题方向是同样重要的，它可以让老师和学生少走很多弯路，让我们的辅导和训练有一定的针对性。 1、数这一模块内容是每年考察的重点，其中包括：质数和合数、最大公约数与最小公约数、奇数与偶数、完全平方数、数的整除等，并且每年都有一道与一元二次方程相结合的整数根问题。
48 例7 （2005年全国联赛）设n为自然数，如果2005能写成n个正的奇合数之和，就称n为“好数”则这种好数有 111 个。
例8 （2008年江西卷）555的末尾三位数字是（A）
A．125&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．375&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C．625&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．875 2、代数式这一模块内容包括：综合除法、余式定理、因式分解、添项、拆项、待定系数法、整式、分式、根式的恒等变形、恒等式的变形，尤其是重二次根式等问题是常考常新的问题。
14 例9 （2009年江西卷）化简 － 的结果是（A）
A． &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B． &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C． &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．
例10 （2009年江西卷） 若 = 则 + + +…+ &。
例11（2008年江西卷）化简 的结果是（&& ）
A． &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B． &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C． &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D． & 例12 （2008年江西卷）不超过( + )6的最大整数是 3903 。
3、方程与不等式模块中包括含字母系数的一元一次方程，一元二次方程根的分布、简单的不定方程（组），含字母系数的一元一次不等式的解法，尤其是一元二次方程整数根问题，韦达定理等经常出现。
34 例13 （2007年全国卷）已知a是正整数，如果关于x的方程x2+(a+17)x2+(38－a)x－56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根。
例14（2008年江西卷） 设a为整数，使得关于x的方程ax2－(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根。
例15 （2009年江西卷）若关于x的方程x4－16x3+(81－2a)x2+(16a－142)x+a2－21a+68=0的各根为整数，求a的值并解此方程。
例16 （2009年全国卷）已知t是实数，若a、b关于x的一元二次方程x2－2x+t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是 -3 。
4、函数主要考察二次函数、简单分式函数的最值及含字母分数的二次函数问题。
7 例17 （2008年全国卷）实数x、y、z满足x+y+z=5、xy+yz+zx=3，则z的最大值是&&&& 。
例18 （2007年全国卷）设m、n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t、二次函数y=x2+(3－mt)x－3mt的图像与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m、n的值。
5、几何除初中教材中的内容外，还包括三角形中的两边角之间的不等关系、面积及等积变换、三角形的四心及其性质、相似形的共圆及圆幂定理等。
A E I B&&&& D&&&&& C46
46 例19 （2009年江西卷）若AD、BE为△ABC 的两条角平分线，I为内心，若C、D、I、E四
点共圆，DE=1，则ID=& 。
A O B&&&&&&&&&&&&&&&&& C例20 （2008年江西卷）在边长为1的正
⌒ 三角形ABC中，由两条含120o圆心角的
弓形弧AOB、AOC及边BC所围成的（火炬
形）阴影部分的面积是 。
6、还有其它的方面的内容包括抽屉原理、简单的排列组合、概率统计、极端原理的简单应用、反正法、枚举法的简单应用等，而且每一年的最后一道大题都基本上属于以上范围。 例21 （2009年全国卷）将前300个正整数1，2，3，4…300顺次在黑板上排成一行，然后划去前两位数1，2，而将这两位数的和写在最后面，成为3，4，5，6…299，300，3；接着再划去前两数3，4，而将这两数的和写在最后面，写成5，6…299，300，3，7；象这样进行下去，直到最后黑板上只剩下一个数为止；试求黑板上出现过的所有的数的和（包括每次划去的数在内）。 四、作为一名奥赛辅导教师，除了充分调动学生学习数学的积极性，让学生自觉主动去学习，认真把握竞赛的方向、重点、热点外，还有关键一点就是要学会解题，老师只有自己能熟练解题分析，才能向学生重点展示由已知条件到未知结论的沟通过程，才能让学生明白答案是怎样得到的。美籍匈牙利数学家、数学教育家波利亚对数学解题理论的建设主要是通过风靡世界的“怎样解题表”来实现的。解题表的通俗解说是：⑴弄清问题。常称理解题意，主要是明确已知是什么，求证（解）是什么。⑵拟定计划。通常叫做寻找解题思路；⑶实现计划，即把自己看清楚、想明白的问题用文字具体表达出来。⑷回顾。最简单的要求是复查检验，看计划是否准确、推理是否合理、思维是否周密，更深层的回顾表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方法的评价，如解题中用到了哪些知识？哪些方法？怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍，后来是怎么解决的？是否还有其他方法、更一般的方法、更特殊的方法、更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？……如此等等的思考不仅改进和完善眼前的解题，而且能提练出对未来解题有指导作用的信息。它的长期积累会升华为人们搜索、捕捉、分析、加工和运用信息能力的总和——数学才能、数学素养。 其次是老师要让学生通过四个阶段学会解题。 第一阶段：简单模仿。即模仿老师或辅导书上的示范去解决一些问题，获得问题的表象，玻利亚在《数学的发现》序言中说：“解题只能通过模仿和实践来学到它。”通过模仿：当堂会做，过几天又不会做，是一种正常情况。人会遗忘，遗忘是一种心理规律，除非它已升华成了思想和精神，或者获得的过程伴随难以忘怀的故事，所以说“兴趣是最好的老师”，有了兴趣自然会重复。
第二阶段：变式练习。即在简单模仿的基础上再主动实践，主要是做数量足够、形式变化的干扰性习题，其作用通过变换方式或添加次数而增强效果。巩固记忆、熟悉技能，学习数学不能缺少这两个阶段又不能单靠这两个阶段，没有亲身的体验、没有足够的过程、没有过硬的“双基”，数学理解就被架空了，就会出现“一看就会，一听就懂，但一做就错”。 第三阶段：自发领悟。在模仿与干扰练习的基础上加理解——解题知识的内化（包括结构化、网络化和丰富联系），主要表现为从事实到规律的领悟，从实践到理论的提升。但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”，当然这与一个人的综合素质、数学素养等先天智力因素有关也与后天的努力、勤奋、自信心、顽强的意志力等非智力因素有关。 第四阶段：自觉分析。即对解题过程进行自觉的反思，使理解进入到深层结构，是一个通过已知、通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从基础到创新、从内隐到外显的飞跃阶段。实际上，反思是一种非常有益的思维活动和再学习方式。教师和学生不能仅仅满足于获得经验而不对经验进行深入的思考。
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暂时无人访问,速抢沙发.初二数学竞赛题，请高手解答~已知：ab、ba表示两位整数，且方程（a+b）x^2-(10a+b)x+(10b+a)=0的两根都是整数，求两位数ab的值
初二数学竞赛题，请高手解答~已知：ab、ba表示两位整数，且方程（a+b）x^2-(10a+b)x+(10b+a)=0的两根都是整数，求两位数ab的值 10
已知：ab、ba表示两位整数，且方程（a+b）x^2-(10a+b)x+(10b+a)=0的两根都是整数，求两位数ab的值
补充：ab、ba上有一上划线，表示（10a+b)、（10b+a），^2表示平方，求值（10a+b)
有个疑问，a，b都大于0么？
a,b是数码，因为ab上面有一条上的，但是这里打不出来的
就是说a，b&0? 那10a+b应该也是大于10的对吧
a,b&0则X1,X2&0
X1+X2=(10a+b)/(a+b)
X1*X2=(10b+a)/(a+b)
上式相加X1+X2+X1*X2=11 可以很容易得出X1+X2=5& X1*X2=6
然后你就自己动手吧，用那个求解公式试试，我懒的动了
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数学领域专家急需2006年和2007年的初二希望杯数学竞赛题_百度知道
急需2006年和2007年的初二希望杯数学竞赛题
提问者采纳
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）. （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C． 解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处. 故选C． 2．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C． 解：由已知可得 ， ．又 ， 所以 ， 解得 ． 故选C． 3．Rt△ABC的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 答：B． 解：设点A的坐标为 ，点C的坐标为 （ ），则点B的坐标为 ，由勾股定理，得 ， ， ， 所以 ． 由于 ，所以 ，故斜边AB上高 ． 故选B． 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 答：B． 解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 次后，可得（ ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°． 因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为 34×（62－2）×180°=34×60×180°， 其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个），而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以 （ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°， 解得 ≥2005． 当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33×58＝2005（刀）． 故选B． 5．如图，正方形 内接于⊙ ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ） （A） （B） （C） （D） 答：D． 解：如图，设⊙ 的半径为 ， ，则 ， ， ． 在⊙ 中，根据相交弦定理，得 ． 即 ， 所以 ． 连结DO，由勾股定理，得 ， 即 ， 解得 ． 所以， ． 故选D． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知 ， ， 为整数，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，则 ＋ ＋ 的最大值为 ． 答：5013． 解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得 ＋ ＋ ＝ ＋4011． 因为 ＋ ＝2006， ＜ ， 为整数，所以， 的最大值为1002． 于是， ＋ ＋ 的最大值为5013． 7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 的值等于 . 答： ． 解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则 ．由△ADG ∽ △ABC，可得 作者： 221.13.21.*
12:29 回复此发言 -------------------------------------------------------------------------------- 2 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全） ， 解得 ．于是 ， 由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 . 8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上． 答：104． 解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了 米．于是 ， 且 ≤ ， 所以， ≤ ＜ ． 故x=13，此时 ． 9．已知 ，且满足 （ 表示不超过x的最大整数），则 的值等于 ． 答：6． 解：因为 ，所以 ， ，…， 等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以 ＝ ＝…＝ ＝0， ＝ ＝…＝ ＝1， 所以 ， ≤ ＜ ． 故 ≤ ＜ ，于是 ≤ ＜ ，所以 6． 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 答：282500． 解：设原来电话号码的六位数为 ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 ． 根据题意，有81× ＝ ． 记 ，于是 ， 解得 ． 因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ ＜ ， 故 ＜ ≤ ． 因为 为整数，所以 ＝2．于是 ． 所以，小明家原来的电话号码为282500． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11（A）．已知 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ， ． （1）试写出一个满足条件的x； （2）求所有满足条件的 ． 解：（1） 满足条件． ……………………5分 （2）因为 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以 ， 即 ． 当a＝1时， ，这样的正整数b不存在． 当a＝2时， ，故b＝1，此时 ． 当a＝3时， ，故b＝2，此时 ． 当a＝4时， ，与 互质的正整数b不存在． 当a＝5时， ，故b＝3，此时 ． 当a＝6时， ，与 互质的正整数b不存在． 当a＝7时， ，故b＝3，4，5，此时 ， ， ． 当a＝8时， ，故b＝5，此时 ． 所以，满足条件的所有分数为 ， ， ， ， ， ， ． …………………15分 12（A）．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式 ① 及 ， ② 求 的取值范围． 解法1：由①－2×②得 ， 所以 ． 当 时， ． …………………10分 又当 ＝ 时，由①，②得 ， ③ ， ④ 将④两边平方，结合③得 ， 化简得 ， 故 ， 解得 ，或 ． 所以， 的取值范围为 且 ， ． ……………15分 解法2：因为 ， ，所以 ＝ ＝ ， 所以 ． 又 ，所以 ， 为一元二次方程 ⑤ 的两个不相等实数根，故 ， 所以 ． 当 时， ． …………………10分 另外，当 ＝ 时，由⑤式有 ， 即 ，或 ， 解得 ，或 ． 所以， 的取值范围为 且 ， ． …………………15分 13（A）．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K． 求证： ． 证明：因为AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切线，所以 ．故 ，于是 △KPE∽△KAP， 所以 ， 作者： 221.13.21.*
12:29 回复此发言 -------------------------------------------------------------------------------- 3 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全） 即 ． ………………5分 由切割线定理得 ， 所以， KP＝KB． …………………10分 因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是 ， 故 ， 即 ． …………………15分 14（A）．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值． 解：首先证明命题：对于任意119个正整数 ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数． 事实上，考虑如下119个正整数 ， ，…， ， ① 若①中有一个是119的倍数，则结论成立． 若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ），于是 ， 从而此命题得证． …………………5分 对于 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为 ，所以 ≥ ． ② …………………10分 取 ，其余的数都为1时，②式等号成立． 所以， 的最小值为3910． …………………15分 11（B）．已知△ 中， 是锐角．从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ；从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ．当 和 均为正整数时，△ 是什么三角形？并证明你的结论． 解：设 ， 均为正整数，则 ， 所以，mn＝1，2，3． …………………5分 （1）当mn＝1时， ， ，此时 ．所以 垂直平分 ， 垂直平分 ，于是△ 是等边三角形． （2）当mn＝2时， ， ，此时 ，或 ，所以点 与点 重合，或点 与点 重合．故 ，或 ，于是△ 是等腰直角三角形． （3）mn＝3时， ， ，此时 ，或 ．于是 垂直平分 ，或 垂直平分 ．故 ，或 ，于是△ 是顶角为 的等腰三角形． …………………15分 12（B）．证明：存在无穷多对正整数 ，满足方程 ． 证法1：原方程可以写为 ， 于是 是完全平方数． …………………5分 设 ，其中k是任意一个正整数，则 ． …………………10分 于是 ，或 ． 所以，存在无穷多对正整数 （其中k是正整数）满足题设方程． …………………15分 证法2：原方程可写为 ， 所以可设 （x是正整数）， ① 取 ． ② …………………5分 ① －②得 ． 令 （y是任意正整数），则 ． …………………10分 于是 ． 所以，存在无穷多对正整数 （其中y是任意正整数）满足题设方程． …………………15分 13（B）．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证： ． 证明：设AX与⊙O相交于点 ，连结OB，OC， ．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M． 因为 ，所以 ． ① 又由切割线定理得 ． ② …………………5分 由①，②得 ， 于是 △XMA∽△ ， 所以 ． …………………10分 又 ，所以 ，于是 ． …………………15分 14（B）．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6． 证明：设10个学生为 ，n个课外小组为 ． 首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． …………………5分 若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 恰好参加 ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与 没有同过组，矛盾． 所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组 的人数之和不小于 ＝30． 另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组 的人数不超过5n，故 ≥ ， 所以 ≥ ． …………………10分 下面构造一个例子说明 是可以的． ， ， ， ， ， ． 容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件． 所以，n的最小值为6． …………………15分 回答者：manami - 魔法师 五级 3-18 13:05 提问者对于答案的评价： 你的全一些 评价已经被关闭 目前有 15 个人评价 好 53% （8） 不好 46% （7） 对最佳答案的评论 为什么没有图呢？ 评论者： 移动的红豆 - 试用期 一级 真不好呀 都没有数呀 都是 ，，，。。。。的 评论者： shuaigeyizuwei - 魔法学徒 一级 不清楚 评论者： houwanl - 试用期 一级 其他回答共 1 条 2006年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）. （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C． 解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处. 故选C． 2．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C． 解：由已知可得 ， ．又 ， 所以 ， 解得 ． 故选C． 3．Rt△ABC的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 答：B． 解：设点A的坐标为 ，点C的坐标为 （ ），则点B的坐标为 ，由勾股定理，得 ， ， ， 所以 ． 由于 ，所以 ，故斜边AB上高 ． 故选B． 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 答：B． 解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 次后，可得（ ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°． 因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为 34×（62－2）×180°=34×60×180°， 其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个），而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以 （ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°， 解得 ≥2005． 当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33×58＝2005（刀）． 故选B． 5．如图，正方形 内接于⊙ ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ） （A） （B） （C） （D） 答：D． 解：如图，设⊙ 的半径为 ， ，则 ， ， ． 在⊙ 中，根据相交弦定理，得 ． 即 ， 所以 ． 连结DO，由勾股定理，得 ， 即 ， 解得 ． 所以， ． 故选D． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知 ， ， 为整数，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，则 ＋ ＋ 的最大值为 ． 答：5013． 解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得 ＋ ＋ ＝ ＋4011． 因为 ＋ ＝2006， ＜ ， 为整数，所以， 的最大值为1002． 于是， ＋ ＋ 的最大值为5013． 7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 的值等于 . 答： ． 解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则 ．由△ADG ∽ △ABC，可得 ， 解得 ．于是 ， 由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 . 8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上． 答：104． 解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了 米．于是 ， 且 ≤ ， 所以， ≤ ＜ ． 故x=13，此时 ． 9．已知 ，且满足 （ 表示不超过x的最大整数），则 的值等于 ． 答：6． 解：因为 ，所以 ， ，…， 等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以 ＝ ＝…＝ ＝0， ＝ ＝…＝ ＝1， 所以 ， ≤ ＜ ． 故 ≤ ＜ ，于是 ≤ ＜ ，所以 6． 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 答：282500． 解：设原来电话号码的六位数为 ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 ． 根据题意，有81× ＝ ． 记 ，于是 ， 解得 ． 因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ ＜ ， 故 ＜ ≤ ． 因为 为整数，所以 ＝2．于是 ． 所以，小明家原来的电话号码为282500． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ， ． （1）试写出一个满足条件的x； （2）求所有满足条件的 ． 解：（1） 满足条件． ……………………5分 （2）因为 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以 ， 即 ． 当a＝1时， ，这样的正整数b不存在． 当a＝2时， ，故b＝1，此时 ． 当a＝3时， ，故b＝2，此时 ． 当a＝4时， ，与 互质的正整数b不存在． 当a＝5时， ，故b＝3，此时 ． 当a＝6时， ，与 互质的正整数b不存在． 当a＝7时， ，故b＝3，4，5，此时 ， ， ． 当a＝8时， ，故b＝5，此时 ． 所以，满足条件的所有分数为 ， ， ， ， ， ， ． …………………15分 12．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式 ① 及 ， ② 求 的取值范围． 解法1：由①－2×②得 ， 所以 ． 当 时， ． …………………10分 又当 ＝ 时，由①，②得 ， ③ ， ④ 将④两边平方，结合③得 ， 化简得 ， 故 ， 解得 ，或 ． 所以， 的取值范围为 且 ， ． ……………15分 解法2：因为 ， ，所以 ＝ ＝ ， 所以 ． 又 ，所以 ， 为一元二次方程 ⑤ 的两个不相等实数根，故 ， 所以 ． 当 时， ． …………………10分 另外，当 ＝ 时，由⑤式有 ， 即 ，或 ， 解得 ，或 ． 所以， 的取值范围为 且 ， ． …………………15分 13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K． 求证： ． 证明：因为AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切线，所以 ．故 ，于是 △KPE∽△KAP， 所以 ， 即 ． ………………5分 由切割线定理得 ， 所以， KP＝KB． …………………10分 因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是 ， 故 ， 即 ． …………………15分 14．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值． 解：首先证明命题：对于任意119个正整数 ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数． 事实上，考虑如下119个正整数 ， ，…， ， ① 若①中有一个是119的倍数，则结论成立． 若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ），于是 ， 从而此命题得证． …………………5分 对于 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为 ，所以 ≥ ． ② …………………10分 取 ，其余的数都为1时，②式等号成立． 所以， 的最小值为3910． …………………15分
有一点不全啊. 应该没事吧?
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