已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E是AB上一点,AF⊥CE于F,AD交CE于G点,_百度知道（2013o绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°-∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：
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（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．
本题考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．
扫描下载二维码如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于点G.（1）求证：GF‖AC（2）证明：菱形AGFE（3）若∠C=30°,AB=4cm,求AGFE的周长和面积
末路军团KT5
角AEB=角C+角EBC=角C+(角ABC/2)角AGE=角ABE+角BAD=(角ABC/2)+90度-角ABC=(角ABC/2)+角C所以：角AEB=角AGE三角形AGE为等腰三角形而：AF是∠DAC的平分线所以AF垂直平分GE在三角形ABF中,BE是∠ABC的平分线,且BE垂直AF所以：三角形ABF是等腰三角形所以：AO=OF在四边形AGFE中,AO=OF,GO=OE所以：四边形AGFE为平行四边形GE‖AC而AF垂直平分GE所以：三角形AGO全等于三角形AOEAG=AEAGFE为菱形角ABE=角ABC/2=（1/2)(90度-角C)=30度AE=AB*tan30度=(4/3)(根号3)AGFE的周长=4*AE=(16/3)(根号3)角EAO=角CAD/2=角ABC/2=30度OE=AE*sin30度=(2/3)(根号3)AO=AE*cos30度=2面积=2*AO*OE=(8/3)(根号3)
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