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设函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求f（x）表达式；（2）在（1）的条件下，g（x）=f（x）-16x（x∈[m，10]，其中常数m＞0），区间D为g（x）的值域，若D的长度为23-2m，求此时m的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（本题12分）（1）∵f（-1）=0，∴b=a=1，由f（x）≥0恒成立，知a＞0，且△=b2-4a=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0，∴a=1．∴f（x）=x2+2x+1．（3分）（2）∵g（x）=f（x）-16x（x∈[m，10]，其中常数m＞0），区间D为g（x）的值域，D的长度为23-2m，∴g（x）=x2-14x+1，23-2m=g（x）max-g（x）min，（5分）①当m∈[7，10）时，23-2m=g（10）-g（t）=-m2+16m，得：m=7或9．（7分）②当m∈[4，7）时，23-2m=g（10）-g（7），得m=7（舍）．（9分）③当m∈（0，4）时，23-2m=g（m）-g（7），m2-12m+26=0，解得：m=12+2102（舍）或m=12-2102=6-10．（11分）综合得m=6-10，或m=7，或m=9．（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
发现相似题
与“设函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（..”考查相似的试题有：
270332254922272302255184569737271263若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．
（1）由题意可知，f（0）=1，解得，c=1，由f（x+1）-f（x）=2x．可知，[a（x+1）2+b（x+1）+1]-（ax2+bx+1）=2x，化简得，2ax+a+b=2x，∴，∴a=1，b=-1．∴f（x）=x2-x+1；（2）不等式f（x）＞2x+m，可化简为x2-x+1＞2x+m，即x2-3x+1-m＞0在区间[-1，1]上恒成立，设g（x）=x2-3x+1-m，则其对称轴为，∴g（x）在[-1，1]上是单调递减函数．因此只需g（x）的最小值大于零即可，g（x）min=g（1），∴g（1）＞0，即1-3+1-m＞0，解得，m＜-1，∴实数m的取值范围是m＜-1．
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（1）由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）-f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在区间[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2-3x+1-m＞0在区间[-1，1]上恒成立，也就是要x2-3x+1-m的最小值大于0，即可得m的取值范围．
本题考点：
函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．
考点点评：
本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用．属于中档题．
1，令x=0,-1带入后面的等式，得f(1)=1,f(-1)=3建立三个方程组得a,b.c2，令g(x)=f(x)-2x，可求其最小值，在令m小于其最小值就可求得m的取值范围自己做做比较好的
扫描下载二维码设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）-x的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=-1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集；（2）若a＞0且，比较f（x）与m的大小．
shitouwa8435
（1）由题意知，F（x）=f（x）-x=a（x-m）（x-n）当m=-1，n=2时，不等式F（x）＞0即为a（x+1）（x-2）＞0．当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞2}；当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜2}．（2）f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1）∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，0＜ax＜am＜an＜1；∴x-m＜0，an＜1，∴1-an+ax＞0∴f（x）-m＜0，即f（x）＜m．
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其他类似问题
根据函数F（x）=f（x）-x的两个零点为m，n，因此该函数解析式可表示为F（x）=a（x-m）（x-n），（1）m=-1，n=2时，对a＞0，或a＜0．进行讨论，写出不等式的解集即可；（2）要比较f（x）与m的大小，做差，即有f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1），根据a＞0且，分析各因式的符号，即可得到结论．
本题考点：
函数的零点与方程根的关系；不等式比较大小；其他不等式的解法．
考点点评：
此题是中档题．考查二次函数的两根式，以及不等式比较大小等基础知识和方法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
（1）由题意及韦达定理(根与系数关系)可得F(x)=x&#178;-x-2，其中a=1>0. 故有F (x)>0的的解集为x>2或x<-1 （2)若a>0,且0<x<m<n<1/a,m为函数F(x)=f(x)-x的零点则F(x)在(0，m)上一定是单增的因此：F(x)>mf(x)>m+x>m
扫描下载二维码已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-2，0）、B（8，0），与y轴交于点C（0，-4）．直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=2时，求∠DCF的大小；
（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF=45°，且满足条件的点P只有两个，则m的值为-．（第（3）问不要求写解答过程）
解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
∴抛物线的解析式为，即2-
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，
∴直线的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．
∴∠DCF=．
（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-）
设F（3，3+m），则FG=m+3+，设D关于对称轴的对称点为D1，
当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，
故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（F′G-3）=-，纵坐标为-（F′G-3-m）=，
将D点坐标抛物线解析式，解得．
（1）已知抛物线过A（-2，0）、B（8，0）两点，可设交点式y=a（x+2）（x-8），再将点C（0，-4）代入求a即可；
（2）由抛物线解析式可知对称轴为x=3，与y轴的交点（0，-4），可求MC的长，y=x+2，可知D、F两点坐标，计算DM，FM，判断C、D、F三点在以M为圆心的圆上，利用圆周角定理求∠DCF的大小；
（3）当直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF=45°，且满足条件的点P只有两个时，仿照（2）可求满足条件的m的值．}