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2015中国女子数学奥林匹克
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第七届中国女子数学奥林匹克试题及解答
知识改变命运，学习成就未来
2008年第七届中国女子数学奥林匹克（中山）
1．（a） 问能否将集合?1,2,?,96?表示为它的32个三元子集的并集，且三元子集的元素
之和都相等；
（b） 问能否将集合?1,2,?,99?表示为它的33个三元子集的并集，且三元子集的元素
之和都相等．（刘诗雄供题）
96?(96?1)?48?97． 2
1?2???)??150．将1,2,3,?,66
（b）能．每个三元集的元素和为3333?2解：（a）不能．因为32?2???96?
每两个一组，分成33个组，，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列： 1?50,3?49,?,33?34,2?66,4?65,?,32?51．
故如下33组数，每组三个数之和均相等：
?1,50,99?,?3,49,98?,?,?33,34,83?,?2,66,82?,?4,65,81?,?,?32,51,67?.． 注：此题的一般情况是
设集合M??1,2,3,?,3n?的三元子集族Ai??xi,yi,zi?，i?1,2,?n满足
，A1?A2???An?M．记si?xi?yi?zi求所有的整数n，使对任意
i,j(1?i?j?n)，si?sj．
解：首先，n|1?2?3???3n，即
n3n(3n?1)?2|3n?1． 2
所以，n为奇数．
又当n为奇数时，可将1,2,3,?,2n每两个一组，分成n个组，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：
1?(n?n?1n?1),3?(n?),?,n?(n?1)； 22
n?32?2n,4?(2n?1),?,(n?1)?(n?)． 2
其通项公式为
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贡献者：葛云龙0522设为首页 -
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