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本帖最后由 鸣动的宇宙 于
11:51 编辑
& && & 最近，似乎不少GMAT新人都表示对咱们中国学生一贯擅长的数学部分，信心已经不如以往那么充足了。究其原因，可能是大多数人复习数学都是从直接入手做题开始，忽略了在做题之前对知识点的回顾、总结和梳理。此外，论坛里有关GMAT数学部分的资料也大多以习题和习题集的形式为主，使得大家不能在做题之前系统地了解知识点和对应的解题方法。
& && &鉴于此，小编搜集和整理了相关资料，将GMAT数学部分的知识点汇总，并配上了习题和解析。建议大家在准备GMAT数学部分时先将其视作考试纲要或复习讲义通览一遍，再进行习题的训练，或许会发现体内的数学小宇宙被意外地激活了也说不定哦！
& && &这套知识点的汇总打算以每日一帖、每日一专题的形式呈现给大家。为避免格式混乱，附件为文档版本的帖子内容。我也会边整理、边改善，希望能最大程度地帮助到大家。那么今天的专题一就是：算术和数论。Let’s Go!
专题一：算术和数论
1.& && & Integer (whole number): 整数①& &Positive integer: 正整数，从1开始，不包括0。②& &奇数：不能被2整除的整数（可正可负），通式：2n+1。如-1，1。③& &偶数：能被2整除的整数（可正可负），零是偶数。通式：2n。如-4，-2，0，2，4。
2.& && & Odd & even number: 奇数与偶数①& &偶数＝偶数＋偶数 或 奇数＋奇数，偶数＝偶数×偶数 或 奇数×偶数②& &奇数＝奇数＋偶数③& &奇数个奇数相加减，结果为奇数④& &偶数个奇数相加减，结果为偶数⑤& &任意个偶数相加减，结果为偶数⑥& &若n个整数相乘结果为奇数，则这n个整数为奇数⑦& &若n个连续的整数相加等于零，则n为奇数。⑧& &若n个连续的奇数相加等于零，则n为偶数。⑨& &若n个连续的偶数相加等于零，则n为奇数。⑩& &两个质数之和为奇数，其中必有一个是2。
例：若 a^2+b^2=c^2，其中a, b, c均为整数，下面那个不可能是a+b+c的值？A.2& &&&B.1& &&&C.-2& &&&D.4& &&&E.6【解析】因为 a^2+b^2=c^2，如果a,b,c中有奇数存在，则必然为2个。所以a+b+c必为偶数，正确答案选择B。
3.& && & Prime number & Composite number: 质数与合数①& &质数又称素数。指在一个
大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。②& &合数指指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数③& &2是最小的质数、4是最小的合数、1既不是质数也不是合数。
4.& && & Factor (divisor) & Prime factor: 因子和质因子① 一个数能被那些书整除，这些书就叫它的因子（因数、约数）。②因子里的质数叫做质因子（数）。*小技巧：⑴分解质因数：讲一个整数拆分成全部由质数表示，如 & && && && && && && &⑵A的b次方（A为质数）有(b+1)个因子：A^0, A^1 …… A^b& && && && && && && &⑶如果X=a^m·b^n（m），X有(m+1)(n+1)个因子。
例1：If n=4p, where p is a prime number greater than 2, how many different positive even divisors does n have?& & A.2& &&&B.3& &&&C.4& &&&D.6& &&&E.8【解析】由n=4p可知n必为偶数；因为p是大于2的质数，所以p必为奇数。根据n=22*p可知n共有(2+1)*(1+1)=6个因子，其中1和p为奇数，因此偶数因子共有4个。正确答案为C。
例2：If the integer n has exactly three positive divisors, including 1 and n, how many positive divisors does n^2 have?A.4& &&&B.5& &&&C.6& &&&D.8& &&&E.9【解析】整数n有三个正数因子，可以推出n必定为完全平方数，且为一个质数的平方。因此n^2相当于一个质数的4次方，进而拥有5个因子。正确答案为B。
例3：What is the greatest prime factor of <font color="#00-296?A.2& &&&B.3& &&&C.5& &&&D.7& &&&E.11【解析】2^100-2^96=2^96*(24-1)=2^96*3*5, 因此正确答案为C。
例4：A positive integer n is said to be “prime-saturated” if the product of all the different positive prime factors of n is less than the square root of n.&&What is the greatest two-digit prime-saturated integer?(A) 99& & (B) 98& & (C) 97& & (D) 96& & (E) 95【解析】分解质因子后，发现D选项96=2^5*3的 质因子乘积为6小于96的平方根。正确答案即为D。
5.& && & The greatest common divisor (GCD) & The least common multiple (LCM) 最大公约数和最小公倍数例：If M is the least common multiple of 90, 196 and 300, which of the following is not a factor of M?& &A.600& &&&b.700& &&&C.900& &&&D.2100& &&&E.4900【解析】由题可知 M=2^2*3^2*5^2*7^2，因此M的因子必然为2、3、5、7四个质数及其幂的组合构成。A选项中 600=2^3*3^1*5^2，其中2的3次方已经超过了M分解质因数后2所拥有的最大次幂，所以600必然不是M的因子。因此正确答案选择A。
6.& && & Decimals & Fractions: 小数和分数①& &相关词汇：reaccuring decimal循环小数; terminating decimal有限小数; numerator分子; denominator分母; improper fraction假分数; mixed number带分数②& &整数位于分为：后面加s的是整数位（小数点前面的某位），加th或者ths的是分位（小数点后面的某位），如：tens是十位数，而tenth是十分位。③& &What is the fractional part of … 意为“谁的几分之几”。④& &小树和分数的相互转换：分母中若含有2和5之外的因子，则分数可转化为循环小数；若分母只含有2和5这两个因子，则分数可转化为有限小数。
例1：0.373737…=? (将其转换成分数)【解析】设X=0.373737…, 100X=37.373737…, 则99X=37，得X=37/99
例2：Which of the following fractions has a decimal equivalent that is a terminating decimal?&&A.10/189& &&&B.15/196& &&&C.16/225& &&&D.25/144& &&&E.39/128【解析】选项E中，分母128=2^7，因而该分数可以转化成有限小数。
7.& && & Consecutive numbers: 连续数①& &三个连续输的乘积必然被3整除。②& &两个连续偶数的乘积必然被8整除。
8.& && & Divisibility & Remainder: 整除及余数问题①& &一个数是否能被5整除，只要看他的最后一位（是0或5就可以整除）。②& &一个数是否能被4整除，只要看他的最后两位（是4的倍数就可以整除）。③& &一个数是否能被8整除，只要看他的最后三位（是8的倍数就可以整除）。④& &一个数能否被3整除，取决于各位之和能否被3整除。⑤& &一个数能否被9整除，取决于各位之和能否被9整除。⑥& &0可以被所有数整除。⑦& &余数包括0，如24除以6，商为4余数为0。⑧& &尾数问题：把握尾数循环即可。如：的个位数是2，因为257=4*64+1，而2^5尾数是2。
9.& && & 数论题目常用方法：①& &参数法；例：两个两位数，个位和十位恰好颠倒，问下面那个不可能是两数之和？& &A.181& &&&B.121& &&&C.77& &&&D.132& &&&E.154【解析】设两数分别为ab和ba，则ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b), 即和必为11的倍数，因此正确答案为A。②& &带值法；③& &爱迪生试错法。
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专题二传送：
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拿来复习下~~谢谢楼主
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ljadtc1 发表于
拿来复习下~~谢谢楼主
嗯，考前先看知识点梳理是有帮助的~明天贴专题二！
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谢谢楼主了
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朱哲彬 发表于
谢谢楼主了
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表示看不懂！例2：If the integer n has exactly three positive divisors, including 1 and n, how many positive divisors does n2 have?
A.4& &&&B.5& &&&C.6& &&&D.8& &&&E.9
【解析】整数n有三个正数因子，可以推出n必定为完全平方数，且为一个质数的平方。因此n2相当于一个质数的4次方，进而拥有5个因子。正确答案为B
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Casin_Lau 发表于
表示看不懂！例2：If the integer n has exactly three positive divisors, including 1 and n, how many p ...
这解释是什么逻辑呢？
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Casin_Lau 发表于
这解释是什么逻辑呢？
那部分看不懂？似乎格式有问题，那个n2是n的二次方的意思~建议下载pdf文件来看
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好好的总结啊~
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回来出专题2了链接通知我一下哈~~
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princess817 发表于
回来出专题2了链接通知我一下哈~~
(⊙o⊙)…已经出完了啊~
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princess817 发表于
回来出专题2了链接通知我一下哈~~
专题二也是有的唉~
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Thanks for sharing!!
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Jack_Cheng1987 发表于
Thanks for sharing!!
My pleasure~
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斑竹亲，，，这一共有几个专题啊~~~·？？
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楼主应该把专题的链接都放在一起，方便找啊
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日葵的花 发表于
楼主应该把专题的链接都放在一起，方便找啊
有道理，回头汇总一下~
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lyffyolanda 发表于
感学分享抱走
加油备考哦！
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谢谢！！！！正愁不会做题呢
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lz，好人，找不到专题二，搜不到～能发个链接吗？谢～～
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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好帖收藏下
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感谢楼主总结与分享~~ ：）
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非常有用！多谢楼主~~
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n=4时为1,1,2,3,5那项能被4整除啊
你题记错了吧
漏了个条件。。。。。。n是质数
好腻害的感觉时间让我们遇到，缺少了曾经的喧嚣。　　　--来自逆流风的小尾巴
我们知道如果α,β满足α＋β＝１，αβ＝－１。斐波那契数列有通项公式f[n-1]=(α^n-β^n)/(α-β).我们的想法是在p的剩余类里找到这样的类似表达。首先假设模p的剩余类里面存在u,v满足u+v=1,uv=-1(即u和v是x^2-x-1=0的两个根）。如果u=v，代回方程可算出5=0，也就是说p只能等于5。此时有f[4]=5被p整除。下面设p≠5，也就是u≠v。取g[n-1]=(u^n-v^n)/(u-v)也是模p的剩余类。我们有g[n-1]+g[n]=g[n+1],g(0)=g(1)=1.有数学归纳法可得每个g[n]与f[n]模p同余。有Fermat小定理u^(p-1)=v^(p-1)=1，得到g[p-2]=0。此时有f[p-2]被p整除。
如果模p的剩余类中不存在这样的u,v怎么办？我们可以使用类似实数中添加i得到复数的构造来解决这个问题。下面设模p的剩余类组成的集合为F_p，我们在F_p里添加一个元素u，满足u&#x00B2;=u+1。考虑所有a+bu的形式组成的集合,其中a∈F_p,b∈F_p，记为F_p&#x00B2;.我们可以用类似定义复数加法减法乘法的方法来定义F_p&#x00B2;里的类似运算，证明他们满足交换律、结合律、分配律。F_p&#x00B2;此外还有两个好性质下面要用到。（证明并不困难，这里就不证了。）一是对F_p&#x00B2;中的每个非零元素x，存在唯一的y使得xy=1成立（这意味着F_p&#x00B2;中可定义除法）。二是F_p&#x00B2;上的每个n个多项式方程最多有n个根。现在回到原问题，设v=1-u，由和上面同样的方法知道u≠v。同样定义g[n-1]=(u^n-v^n)/(u-v)。同样用数学归纳法可得每个g[n]都在F_p里面，并且与f[n]模p同余。但是这个时候就没有u^(p-1)=1了（否则x^(p-1)-1=0在F_p&#x00B2;有超过p-1个根）。我们知道二项式展开(x+y)^p中间的项系数全是p的倍数，这样在F_p&#x00B2;中有(x+y)^p=x^p+y^p。推出u^p+v^p=(u+v)^p=1，以及u^p*v^p=(-1)^p=-1。这意味着u^p和v^p也是x^2-x-1=0的根，那么只能有u^p=v，v^p=u了。得到u^(p+1)=v^(p+1)=uv=-1。g[p]=0。此时有f[p]被p整除。
2010年IMO预选题
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求证:N是4的倍数已知X1、X2、…、Xn都是+1或-1,n>或=4,并且满足X1*X2*X3*X4+X2*X3*X4*X5+…+Xn*X1*X2*X3=0求证：n是4的倍数.
美乐视界0042
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证 我们先证明n=2k为偶数,再证k也是偶数．由于x1,x2,…,xn.的绝对值都是1,所以,x1x2,x2x3,…,xnx1的绝对值也都是1,即它们或者为+1,或者为-1．设其中有k个-1,由于总和为0,故+1也有k个,从而n=2k．下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)．一方面,有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)＝(-1)k,另一方面,有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1．所以(-1)k=1,故k是偶数,从而n是4的倍数．
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扫描下载二维码& 已知n为正整数，你能肯定2n+4-2n一定是30的倍数吗？
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来源：北师大新版八年级数学上册《7.1 为什么要证明》2015年同步练习卷 | 【考点】因式分解的应用．
已知22-12=2+1，32-22=3+2，42-32=4+3，…（1）从以上等式中你能发现怎样的规律？（提示：当n为正整数时，（n+1）2-n2=？）（2）计算2012-2002的值．
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解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“已知n为正整数，你能肯定2n+4-2n一定是30的倍数吗？”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】原式提取公因式变形即可做出判断．
【解答】解：2n+4-2n=2n（24-1）=15×2n由n为正整数得到2n为2的倍数则15×2n为30的倍数即2n+4-2n一定是30的倍数．
【考点】因式分解的应用．
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知识点讲解
经过分析，习题“已知n为正整数，你能肯定2n+4-2n一定是30的倍数吗？”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
因式分解的应用
因式分解中的四个注意：1.首项有负常提负，这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的；2.各项有“公”先提“公”，这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；3.某项提出莫漏1，这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；4.括号里面分到“底”，分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！。
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