已知数列{an}满足1＝1an＝2an-1+1，n≥2，求{an}的通项公式及其前n项和Sn．
小雪wan896
∵当n≥2时，an=2an-1+1，∴an+1=2（an-1+1）n+1an-1+1=2，∴数列{an+1}为等比数列，且公比为2，又∵a1=1，∴a1+1=2∴an+1=2n，an=2n-1Sn=21-1+22-1+…+2n-1=n)1-2-n=2n+1-2-n
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根据数列的递推公式，利用构造法构造新数列满足为等比数列，求出新数列的通项公式，再求数列{an}的通项公式．在分组求数列{an}的前n项和Sn．
本题考点：
数列递推式；数列的求和．
考点点评：
本题主要考查了构造法求数列的通项公式，以及分组求和．
由an=2a(n-1)+1得an+1=2[a(n-1)+1]于是设bn=an+1则bn=2b(n-1),于是{bn}是b1=a1+1=2,公比q=2的等比数列，bn=b1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n从而an=bn-1=2^n-1
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专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知条件推导出nSn+1-（n+1）Sn=n（n+1），两边同时除以n（n+1），得：Sn+1n+1-Snn=1，从而得到Sn=n（n+1），由此能求出an=2n．（2）由Tn=Sn2n=n2+n2n，得到Tn-Tn+1=n2+n2n-(n+1)2+(n+1)2n+1=(n-12)2-942n+1，由此能证明当n≥3时，Tn＞Tn+1．
（1）解：∵nan+1=Sn+n（n+1），an+1=Sn+1-Sn，∴nSn+1-（n+1）Sn=n（n+1），两边同时除以n（n+1），得：Sn+1n+1-Snn=1，∵S11=a11=2，∴{Snn}为等差数列，公差d=1，首项2，∴Snn=2+n-1=n+1，∴Sn=n（n+1）∴an=Sn-Sn-1=[n（n+1）]-（（n-1）n]=2n，把n=1代入验证，满足，∴an=2n．（2）证明：∵Tn=Sn2n=n2+n2n，∴Tn-Tn+1=n2+n2n-(n+1)2+(n+1)2n+1=2n2+2n2n+1-n2+3n+22n+1=n2-n-22n+1=(n-12)2-942n+1，由（n-12）2-94≥0，得n≥2．∴当n≥2时，Tn＞Tn+1．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意作差法比较大小的合理运用．
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已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴an+1=2n，即an=2n-1．（2）∵an=2n-1，∴数列{an}前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an=（2-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n-1）=（2+22+23+…+2n）-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式..”主要考查你对&&等比数列的通项公式，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的通项公式数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q&o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；④通项公式亦可用以下方法推导出来：将以上（n一1）个等式相乘，便可得到&⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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