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已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=-+b交折线O-A-B于点E．（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为______．
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（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），∴点B的坐标为（6，2）．若直线经过点C（0，2），则b=2；若直线经过点A（6，0），则b=3；若直线经过点B（6，2），则b=5．①当点E在线段OA上时，即2＜b≤3时，（如图）∵点E在直线上，当y=0时，x=2b，∴点E的坐标为（2b，0）．∴S=．②当点E在线段BA上时，即3＜b＜5时，（如图）∵点D，E在直线上当y=2时，x=2b-4；当x=6时，y=b-3，∴点D的坐标为（2b-4，2），点E的坐标为（6，b-3）．∴S=S矩形OABC-S△COD-S△OAE-S△DBE==-b2+5b．综上可得：2+5b(3＜b＜5).（2）证明：如图．∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为四边形O′A′B′C′∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四边形DMEN是菱形．（3）y=-x+b当x=0时，y=b，当y=0时，x=2b，∴OQ=b，OE=2b过DH⊥OE于H，∴DH=2，∵∠QOE=90°，DH⊥OA，∴DH∥OQ，∴△DHE∽△QOE，∴=，即=，∴HE=2DH=4，设DM=ME=x，在△DHM中，由勾股定理得：22+（4-x）2=x2，解得：x=2.5，故答案为：2.5．
为您推荐：
（1）因为四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），即可求出点B的坐标，把A、B、C的坐标代入解析式求出b，即可求出答案；（2）首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明邻边ND=NE即可；（3）过DH⊥OE于H，根据一次函数的解析式求出OQ、OE，求出DH、HE，设ME=x，根据勾股定理求出x即可．
本题考点：
一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定．
考点点评：
本题考查了待定系数法求直线的解析式，平行线的性质、菱形的判定，平行四边形的判定，角平分线性质，勾股定理以及分类讨论思想的运用．综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
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北京市西城区学年度八年级第二学期数学抽样测试A卷答案2011.6
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如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O1．（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O1相切？（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O1于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．
【答案】分析：（1）要判断点G与⊙O1的位置关系，只需比较O1G与⊙O1的半径O1B的大小．设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t），用待定系数法求出直线EF和直线OB的解析式，确定点G的坐标，用两点间的距离公式计算出O1G与O1B的大小，从而进行判定．（2）如果t秒时FB与⊙O1相切，那么∠FBE=90&；在RT△BEF与RT△OEF中，根据EF不变列出方程，求出t的值．（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t）；设P（x，y），由tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，得出x=4-，即P（4-，y）；因为BE为直径，所以∠BPE=90&，PE2+BP2=BE2，得出y与t的关系，可以含t的代数式得出P的坐标，分别计算AP，AF的长，根据结果判断．解答：解：（1）设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t）；设直线EF的方程为y=kx+b，则，∴解得，∴y=-2x+2t，∴直线OB的方程为y=x；∵解方程组，得，∴G（t，t）；∵O1是BE的中点，∴O1（，1），∴O1G2=（-t）2+（1-t）2=t2-2t+5，O1B2=（4-）2+12=t2-2t+5，∴O1G=O1B，点G在⊙O1上．（2）设t秒时FB与⊙O1相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90&；∵EF2=BE2+BF2，EF2=OE2+OF2，∴（4-t）2+22+42+（2-2t）2=t2+（2t）2，解得t=2.5．（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t），设P（x，y）；∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，∴x=4-，∴P（4-，y）．∵BE为直径，∴∠BPE=90&．∵PE2+BP2=BE2∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得，∴y=，∴x=，即P（，），∴AP2=（4-）2+（）2，∴AP=&，AF==2．∴AP•AF=8，是不会发生变化的．点评：本题综合考查了切线的判定，三角函数等知识，解题中要善于抓住不变量，找到等量关系，题目有一定难度，可以考查学生的综合实力．
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科目：初中数学
如图（1）已知，矩形ABDC的边AC=3，对角线长为5，将矩形ABDC置于直角坐系内，点D与原点O重合．且反比例函数y=的图象的一个分支位于第一象限．（1）求点A的坐标；（2）若矩形ABDC从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数y=的图象的图象上，求k的值；（3）矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AC与反比例函数图象分别交于P、Q如图（2），设移动的总时间为t（1＜t＜5），分别写出△BPD的面积S1、△DCQ的面积S2与t的函数关系式；（4）在（3）的情况下，当t为何值时，S2=S1？
科目：初中数学
来源：2012年初中毕业升学考试（四川巴中卷）数学（解析版）
题型：解答题
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2，（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直接写出时x的取值范围。&
科目：初中数学
来源：2013届安徽滁州八年级下期末模拟数学试卷（沪科版）（解析版）
题型：解答题
已知：如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线＝－＋交折线O－A－B于点E．（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为____________．&&&& &
科目：初中数学
来源：2011年初中毕业升学考试（广西钦州卷）数学
题型：解答题
（本题满分8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．&&& (1)如图①，当PA的长度等于& 时，∠PAB＝60°；&&&&&&&&&&&&&当PA的长度等于&&& 时，△PAD是等腰三角形；&&& (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．&
科目：初中数学
来源：学年甘肃省兰州四中九年级（上）期中数学试卷（解析版）
题型：解答题
如图（1）已知，矩形ABDC的边AC=3，对角线长为5，将矩形ABDC置于直角坐系内，点D与原点O重合．且反比例函数y=的图象的一个分支位于第一象限．（1）求点A的坐标；（2）若矩形ABDC从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数y=的图象的图象上，求k的值；（3）矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AC与反比例函数图象分别交于P、Q如图（2），设移动的总时间为t（1＜t＜5），分别写出△BPD的面积S1、△DCQ的面积S2与t的函数关系式；（4）在（3）的情况下，当t为何值时，S2=S1？
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