直线与圆综合复习（答案）
直线与圆综合复习（答案）
例1．求经过点A（5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
解：由题意知直线l与两坐标轴都相交.
（1）当直线l在两轴上的截距均不为零时，设直线l的方程为：
∴ ，即
a=3. ∴
此时直线l的方程为： .
（2）当直线l在两轴上的截距为零，即直线l过原点时，直线l的方程为：
综合（1），（2）得所求直线l的方程为
例2．直线l被两平行直线
所截线段AB的中点M在直线
上，且l与l2的夹角为45&，求直线l的方程.
解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M在与l1 ，l2等距的直线l3上，注意到l1 ，l2的纵截距分别为
，故l3的纵截距为l，
∴由斜截式得l3的方程为 ①
将①与
联立解得 ②
设直线l的斜率为k，则又由已知得 ，
于是由②③得所求直线l的方程为
例3．已知点A（1，-1）和直线
，过点A作直线l2 与l1交于点B，使
，求直线l2的方程.
解（对交点坐标不设不解）：过点A作
与l2的夹角
∴由
（1）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的斜率为k，
则由两直线的夹角公式得
此时，直线l的方程为
（2）当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为 ，此时易得B（1，4），
符合已知条件.
综合（1）（2）得所求直线l2的方程为
中，A（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为
的平分线所在直线方程为
，求BC边所在直线方程.
解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B（4t-10,t）
则AB边中点 ，
∴点D在直线 上，
∴点B（10，5） ①
又注意到AB与BC边所在直线关于
的平分线所在直线 对称，
故点A（3，-1）关于直线
对称点A&（m,n）一定在直线BC上
∴由点A、A&关于直线 对称得
∴A&（1，7） ②
于是由①②得直线A&B即直线BC的方程为
例5．已知过点A（1，1）且斜率为
的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q分别作直线
的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值.
解：设直线l的方程为
在①中令
∴Q（0,m+1）
在①中令
将P、Q两点到直线
的距离分别记为
则 ②
又直线QS方程为 ，
直线PR方程为 ，
∴直线PR与QS间的距离
即 ③
∴由②③得：
（当且仅当 时等号成立）
于是可知，四边形PRSQ的面积的最小值为
（当且仅当 时取得）
例6．设圆上的点A（2，3）关于直线
的对称点仍在此圆上，且该圆与直线
相交的弦长为
，求圆的方程.
解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A关于直线
的对称点仍在圆上知，圆心在直线 上
∴可设圆的圆心坐标为（2t，-t），圆的方程为 ①
则由题设条件得： ②
∴由②③解得
∴所求圆方程为
例7．一个圆与直线
相切于点P（4，-1），且圆心在直线
上，求圆的方程。
解（巧设圆心坐标）：∵圆心在直线 上
∴设圆心C的坐标为（3t,5t）
，∴
∴圆心C（3，5），半径
所求圆的方程为
例8．已知圆C与圆
相交，所得公共弦平行于已知直线
，又圆C经过点A（-2，3），B（1，4），求圆C的方程。
解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C方程为 ，则
圆C与已知圆的公共弦所在直线方程为
∴由题设得：
又点A、B在圆C上，故有：
∴所求圆C的方程为 ：
解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C的弦AB的中点坐标为 ，
∴圆C的弦AB的垂直平分线方程为 ④
又已知圆圆心为
∴两圆连心线所在直线的方程为
设圆心C（a,b），则由④、⑤得
再注意到圆C的半径
∴所求圆C的方程为
例9．已知圆M的方程为
，点Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B，试求弦AB的中点P的轨迹方程.
解： 由已知得M（0，2），圆M方程为①
设Q（t,0），则由①得切点弦AB所在直线方程为
又设P（x,y），则由 得
将③代入②得
讨论：当t=0时有x=0，代入②得
满足④式，故点
也是所求轨迹上的点.
综上可知，所求弦AB的中点P的轨迹方程为：
例10．已知直线
相交于A、B两点
时，求⊙C的方程；
时，求⊙C的方程（O为原点）
解： （1）利用圆的性质，对交点坐标&不设不解&
注意到⊙C的方程为
∴弦心距
∴所求⊙C方程为：
作业题A组：
（一）选择题
相互垂直&的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
时，两直线为
，显然垂直，条件具充分性；
当两直线互相垂直时，由 得：
，条件不具必要性.
的倾斜角为
，则a,b满足（ ）
A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0
2.选D. 分析：由 为倾斜为得
∴ ，即a=b，故应选D.
3.设直线的方程是
，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（ ）
A. 20 B. 19 C. 18 D.
分析：注意到A、B的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为
中A、B的值有
种解法，但其中有&A=1，B=2&与&A=2，B=4&表示同一直线，&A=2，B=1&与&A=4，B=2&表示同一条直线，所以不同直线的条数为
沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆
相切，则实数 的值为（ ）
A. &3或7 B.
&2或8 C. 0或10 D.
分析：把直线
向左平移1个单位得直线
解法一：若注意到圆与y轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y轴的相交弦为x=0
都和圆与y轴的相交弦相交，从而否定B，C，D，应选A.
解法二：将 代入圆方程得
，从而应选A.
5.已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆
有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
选C. 分析：将直线
6.从原点向圆
作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ ）
选B. 分析：已知圆
的圆心C（0，6），设两切点为A、B，
7.已知圆C与圆
对称，则圆C的方程为（ ）
  选C.分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线
的对称点为（0，-1），由此否定A，B，D，应选C.
（二）填空题
关于直线x=1对称的直线方程是
分析：从点的对称切入，当直线
上的点（0，0）关于
的对称点为A（2，0），直线
上的点（2，1）关于
的对称点为B（0，1），则
，从而直线AB的方程为 ，故所求对称直线方程为
相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程为 .
分析：已知圆圆心（1，0）， ，
弦AB的垂直平分线的斜率为 ，
弦AB的垂直平分线的方程为 ，
故所求直线方程为：
10.若经过点P（-1，0）的直线与圆
相切，则此直线在y轴上的截距是
分析：已知圆方程为： ，
经过点P（-1，0）且与圆相切的直线的斜率存在，
设这一切线的方程为
，由此解题k=1，
上述切线的方程为 y=x+1，其在y轴上的截距是1，故应填1.
，则x－y的最大值是 .
4.分析：根据已知设 ，
（ 为辅助）
∴ x-y的最大值为
12.已知直线
相交于A、B两点，且
5.分析：由题设在
∴ ，
13.由动点P向圆
引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
，则动点P的轨迹方程为 .
（三）解答题
14.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若，试求点的坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
解析：（1）设，由题可知，所以，
故所求点的坐标为或． &&&&&&&&&&&&&&&&4分
（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，
所以，  
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&6分
解得，或，
故所求直线的方程为：或.&&&&&&&&&&&8分
（3）设，的中点，因为是圆的切线
所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：，  
&&&&&&&&&&&10分
化简得：，此式是关于的恒等式，
所以经过三点的圆必过定点或.   
&&&&&&&&&&&&&14分
15.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）已知、，圆内动点满足，求的取值范围．
解析：（1）依题意，圆的半径等于圆心到直线的距离，
即．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4分
∴圆的方程为．&&&&&&&&&&&&&6分
（2）设，由，
即． 
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&9分
.  
∵点在圆内，∴，
∴的取值范围为.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&14分
1、已知两圆相交于点，两圆圆心都在直线上，则的值等于                                                                 
(      
  
A．-1    
B．2    
C．3   
解：由题设得：点关于直线对称,；
   
线段的中点在直线上，，答案选C。
，则直线与圆的位置关系为     
（      
B.相交      
C.相切或相离        
D.相交或相切
到直线的距离为，圆半径。
∴直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选C。  
3、已知向量若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（      
） A．相交但不过圆心     
B．相交过圆心  
C．相切       
圆心到直线的距离，
直线与圆相离，答案选D。 
     
和点,若点在圆上且的面积为,点的个数
（      
     
B.2       
  
    
解:由题设得：，，点到直线的距离,
  
直线的方程为,与直线平行且距离为1的直线为
  
得：圆心到直线的的距离,到直线的距离为,
  
圆与直线相切；与直线相交, 满足条件的点的个数是3，答案选C
5、若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是                                                       
(       
  
A．            
  
C．       
解：公共弦所在的直线方程为：，
   
圆始终平分圆的周长，圆的圆心在直线上,
，即，答案选B。
6、在平面内,与点距离为1, 与点距离为2的直线共有            
(       
  
A.1条         
B. 2条        
C. 3条     
解：直线与点距离为1，所以直线是以A为圆心1为半径的圆的切线，
同理直线也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线，
，两圆相交，公切线有2条，答案选B。
想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？
二、填空题
7、直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的
距离之差最大，则P点坐标是______  
关于l的对称点A&，A&B与直线l的
点。得P(5，6）。
想一想，为什么&B与直线l的交点即为所求的P点？
、B两点在直线的同一边，情况又如何？
8、已知直线与圆，则上各点到的距离的最大值与最小值之差为              
解： 圆心到直线的距离=，直线与圆相离，
    
上各点到的距离的最大值与最小值之差== 。
9、直线被圆截得的弦长为______________。
解：直线方程消去参数得：，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为。
10、已知圆，直线，以下命题成立的有___________。
①对任意实数与，直线和圆相切；
②对任意实数与，直线和圆有公共点；
③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切
④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切
解：圆心坐标为
   
，所以命题②④成立。
   
仔细体会命题③④的区别。
(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，反射光线与圆相切，则光线l所在直线方程为____                                         
所在的直线与圆关于x轴对称的圆相切。圆心坐标为，半径，
(－3，3)，设的方程为：，即：
到直线的距离，
或，得直线的方程：或。
12、直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦的长为                
解：由直线与直线垂直，由圆心在直线上，
圆方程为，圆心为，圆心到直线的距离，
13、过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线，两切线交于点，则点的轨迹方程为            
        
解：设,根据题设条件，线段为点对应圆上的切点弦，
直线的方程为,点在上，,
即的轨迹方程为：。           
注意掌握切点弦的证明方法。
三、解答题
14、求与圆外切于点，且半径为的圆的方程
解一：设所求圆的圆心为，则  ，
   
所求圆的方程为。  注：因为两圆心及切点共线得（1）式
解二：设所求圆的圆心为，由条件知
   
，所求圆的方程为。
仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。
15、如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线
均相切，切点分别为、，另一圆与圆、
轴及直线均相切，切点分别为、。
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点作的平行线，求直线被圆
    
截得的弦的长度；
解：（1）由于圆与的两边相切，故到及的距离均为圆的半径，则在
的角平分线上，同理，也在的角平分线上，
即三点共线，且为的角平分线，
的坐标为，到轴的距离为1，即：圆的半径为1，
圆的方程为；
设圆的半径为，由，得：,
即，，圆的方程为：；
（2）由对称性可知，所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长，
此弦所在直线方程为，即，
圆心到该直线的距离，则弦长=
注：也可求得点坐标，得过点的平行线的方程，再根据圆心到直线的距离等于，求得答案；还可以直接求点或点到直线的距离，进而求得弦长。
16、已知两圆；，直线，求经过圆的交点且和直线相切的圆的方程。
解：设所求圆的方程为，
即：，得：
圆心坐标为；半径，
所求圆与直线相切，圆心到直线的距离
，解得，舍去
所求圆的方程为：
  
要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程（）
17、如果实数、满足，求的最大值、的最小值。
解：（1）问题可转化为求圆上点到原点的连线的斜率的最大值。
设过原点的直线方程为，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。
（2）满足，
。            
注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角的一元函数，从而方便求解的技巧。
18、，直线，。
）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
）解法1：的方程，
  
，半径，，
在圆内，从而直线恒与圆相交于两点。
：圆心到直线的距离，
恒与圆相交于两点。
）弦长最小时，，，，
，得的方程为。
注意掌握以下几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。
19、已知圆和直线，
（1）若圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；
（2）若圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；
（3）若圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；
解一：与直线平行且距离为1的直线有两条，分别为：
，，注意掌握平行直线的表示方法及其距离计算。
圆心到直线的的距离为,到直线的的距离为,则：
（1）圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1
（2）圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1
（3）圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1
解二：圆心到直线的距离，则：
（1）圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1，
（2）圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1，
（3）圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1
解法1采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决，具有直观明了的优点，对解决这类问题特别有效；解法2的着眼点是观察从劣弧的点到直线l的最大距离,请仔细体会。
20、如图所示，过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线，M为上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。
解：设边上的高为边上的高为，连接
当时，垂心为点B，也满足方程，而点M与点N重合时，不能使A，M，Q构成三角形。
的垂心的轨迹方程为：。
21、已知函数
  
（1）在曲线上存在两点关于直线对称，求的取值范围；
  
（2）在直线上取一点，过作曲线的两条切线、，求证：
解：（1）设曲线上关于直线的对称点为和，线段的中点，则直线垂直于直线，设直线的方程为：。
据题意得：（1）
，在直线上，
又在直线上，，得，代入式（1)得。
（2）设点坐标为，则过点所作的切线方程为：，则有
直线、的斜率为方程的两个根，
，，证毕。
22、已知圆，是轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，
  
求动弦AB的中点P的轨迹方程。
解：连接MB，MQ，设，
点M，P，Q在一直线上，得①
由射影定理得，即：
①式代入②式，消去a，得③，
从几何图形可分析出，又由③式得，
动弦AB的中点P的轨迹方程是：。
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北京市西城区2016届高三上学期期末数学（文）试题（含解析）
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资料概述与简介
学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
2．下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（　　）
A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=|x| D．y=xcosx
3．设M是△ABC所在平面内一点，且，则=（　　）
A． B． C． D．
4．设命题p：“若ex＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则”，则（　　）
A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为真命题
C．“￢p”为真命题 D．以上都不对
5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（　　）
A． B． C． D．
6．mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（　　）
A． B． C． D．
8．某市乘坐出租车的收费办法如下：
不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．
相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z=　　　　　　．
10．若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣3=0上，则实数p=　　　　　　；抛物线C的准线方程为　　　　　　．
11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5，3.5）内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5，1.5），[1.5，2.5），[2.5，3.5）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有　　　　　　人．
12．已知函数f（x）的部分图象如图所示，若不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），则实数t的值为　　　　　　．（写过程）
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=2，则cosC=　　　　　　；△ABC的面积为　　　　　　．
14．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
①该食品在8℃的保鲜时间是　　　　　　小时；
②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间　　　　　　．（填“是”或“否”）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列{an}是等比数列，并且a1，a2+1，a3是公差为﹣3的等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：．
16．已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈（0，π），求函数f（x）的单调增区间．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；
（Ⅲ）当时，求四棱锥M﹣ECDF的体积．
18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：
（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x+y的值；
（Ⅱ）如果x=6，y=10，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求a≥b的概率；
（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）
19．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1，P2，记直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，求证：k1ok2为定值．
20．已知函数，直线l：y=kx﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线；
（Ⅲ）试确定曲线y=f（x）与直线l的交点个数，并说明理由．
学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】由A与B的交集为B，得到B为A的子集，由A与B，确定出a的范围即可．
【解答】解：∵A∩B=B，
∵A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1），
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（　　）
A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=|x| D．y=xcosx
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可．
【解答】解：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．
y=|x|是偶函数，值域为[0，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数的值域，是基础题．
3．设M是△ABC所在平面内一点，且，则=（　　）
A． B． C． D．
【考点】相等向量与相反向量．
【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出M为AB的中点，从而求出的值．
【解答】解：如图所示，
∵M是△ABC所在平面内一点，且，
∴M为AB的中点，
∴=（+）．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题目．
4．设命题p：“若ex＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则”，则（　　）
A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为真命题
C．“￢p”为真命题 D．以上都不对
【考点】复合命题的真假．
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】解：命题p：“若ex＞1，则x＞0”是真命题，
命题q：“若a＞b，则”是假命题，如：a=1，b=﹣1，
故“p∨q”为真命题，]
【点评】本题考察了复合命题的判断，是一道基础题．
5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，
其底面面积为：×（1+2）×2=3，
底面周长为：2+2+1+=5+，
故四棱柱的表面积S=2×3+（5+）×2=，
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
6．mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0两种情况加以讨论，可得mn＜0时，方程=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．反之当方程=1表示实轴在x轴上的双曲线时，必定有mn＜0．由此结合充要条件的定义，即可得到本题答案．
【解答】解：当mn＜0时，分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0两种情况
①当m＜0、n＞0时，方程=1表示焦点在y轴上的双曲线；
②当m＞0、n＜0时，方程=1表示焦点在x轴上的双曲线
因此，mn＜0时，方程=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．
而方程=1表示实轴在x轴上的双曲线时，m＞0、n＜0，必定有mn＜0
由此可得：mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的必要而不充分条件
【点评】本题给出两个条件，判断方程表示焦点在x轴上双曲线的充要条件．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、充要条件的判断等知识，属于中档题．
7．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，2），
联立，解得B（m﹣1，m），
化z=x+3y，得．
由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，
当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，
由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8．某市乘坐出租车的收费办法如下：
不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．
相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（　　）
A． B． C． D．
【考点】程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数的性质及应用；算法和程序框图．
【分析】根据已知中的收费标准，求当x＞4时，所收费用y的表达式，化简可得答案．
【解答】解：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；
当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．
可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=，
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数模型的选择与应用，难度中档．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z=　﹣1﹣3i　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1+i）=2﹣4i，得
故答案为：﹣1﹣3i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
10．若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣3=0上，则实数p=　6　；抛物线C的准线方程为　x=﹣3　．
【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．
【专题】计算题；规律型；函数思想；解题方法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出直线与坐标轴的交点，得到抛物线的焦点坐标，然后求出p，即可得到抛物线的准线方程．
【解答】解：直线x+y﹣3=0，当y=0时，x=3，
抛物线的焦点坐标为（3，0），可得p=6，
抛物线的标准方程为：y2=12x，
它的准线方程为：x=﹣3．
故答案为：6；x=﹣3．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力．
11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5，3.5）内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5，1.5），[1.5，2.5），[2.5，3.5）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有　9　人．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】根据频率之和为1，求出a的值，再根据分层抽样求出完成作业的时间小于2.5个小时的人数．
【解答】解：由于（a+0.4+0.1）×1=1，解得a=0.5，
完成作业的时间小于2.5个小时的有（0.4+0.5）×10=9人，
故答案为：9．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题
12．已知函数f（x）的部分图象如图所示，若不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），则实数t的值为　﹣1　．（写过程）
【考点】函数的图象．
【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】根据图象的平移即可得到t的值．
【解答】解：由图象可知，﹣2＜f（x）＜4的解集为（0，3），
不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），
∴y=f（x+t）的图象是由y=f（x）的图象向右平移1个单位得到的，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了图象的平移和图象的识别，属于基础题．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=2，则cosC=　　；△ABC的面积为　2　．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；综合法；三角函数的求值；解三角形．
【分析】由=sinB，a=3，c=2，得b=a=3，由此能求出cosC，从而得到sinC，进而能求出△ABC的面积．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
∵=sinB，a=3，c=2，
∴cosC====，
∴sinC==，
∴△ABC的面积S===2．
故答案为：，．
【点评】本题考查三角形中角的余弦值和三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、三角函数诱导公式的合理运用．
14．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
①该食品在8℃的保鲜时间是　4　小时；
②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间　是　．（填“是”或“否”）
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】①根据4℃的保鲜时间是16小时求出k，将x=8代入函数解析式求出．
②计算温度为12℃的保鲜时间，可发现
【解答】解：①∵食品在4℃的保鲜时间是16小时，∴24k+6=16，解得k=﹣．∴t（8）=2﹣4+6=4；
②由图象可知在12时，温度为12℃，此时该食品的保鲜期为20=1小时．
∴到13时，该食品已过保质期．
故答案为4，是．
【点评】本题考查了函数图象的意义与图象变化，是基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列{an}是等比数列，并且a1，a2+1，a3是公差为﹣3的等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：．
【考点】数列的求和．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a2+1，a3是公差为﹣3的等差数列，
（Ⅱ）证明：∵，
∴数列{bn}是以b1=a2=4为首项，为公比的等比数列．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈（0，π），求函数f（x）的单调增区间．
【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调增区间．
【解答】（Ⅰ）解： ==
所以函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）解：由，k∈Z，求得，
所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
所以当x∈（0，π）时，f（x）的增区间为，．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；
（Ⅲ）当时，求四棱锥M﹣ECDF的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）证明AB⊥AC．得到EF⊥AC．证明PA⊥底面ABCD，可得PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）证明MF∥PA，即可证明MF∥平面PAB，同理EF∥平面PAB．然后证明平面MEF∥平面PAB，得到ME∥平面PAB．
（Ⅲ）证明MN⊥底面ABCD，然后求解四棱锥M﹣ECDF的体积．
【解答】（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，
∴∠ABC=45°，
所以AB⊥AC．
由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，
所以EF⊥AC．…（1分）
因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
所以PA⊥底面ABCD．…（2分）
又因为EF?底面ABCD，
所以PA⊥EF．…（3分）
又因为PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以EF⊥平面PAC．…（5分）
（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，
所以MF∥PA，
又因为MF?平面PAB，PA?平面PAB，
所以MF∥平面PAB．…（7分）
同理，得EF∥平面PAB．
又因为MF∩EF=F，MF?平面MEF，EF?平面MEF，
所以平面MEF∥平面PAB．…（9分）
又因为ME?平面MEF，
所以ME∥平面PAB．…（10分）
（Ⅲ）解：在△PAD中，过M作MN∥PA交AD于点N（图略），
又因为PA=6，
所以MN=4，…（12分）
因为PA⊥底面ABCD，
所以MN⊥底面ABCD，
所以四棱锥M﹣ECDF的体积．…（14分）
【点评】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．
18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：
（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x+y的值；
（Ⅱ）如果x=6，y=10，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求a≥b的概率；
（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由题意，得x+y＞14，x，y中至少有一个小于6，x+y≤15，由此能求出x+y的值．
（Ⅱ）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a≥b”为事件M，记甲的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10，利用列举法能求出a≥b的概率．
（Ⅲ）由题设条件能求出x的可能取值为6，7，8．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，得，即x+y＞14．…（2分）
因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于（6分）的概率不为零，
所以x，y中至少有一个小于6，…（4分）
又因为x≤10，y≤10，且x，y∈N，
所以x+y≤15，
所以x+y=15．…（5分）
（Ⅱ）解：设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a≥b”为事件M，…（6分）
记甲的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛
为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10．
则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，
它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），
（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），
（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）．…（7分）
而事件M的结果有8种，它们是：（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），
（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），…（8分）
因此a≥b的概率．…（10分）
（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8．…（13分）
【点评】本题考查代数式和的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
19．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1，P2，记直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，求证：k1ok2为定值．
【考点】圆锥曲线的定值问题；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1ok2为定值即可．
【解答】（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意，得，a2=b2+c2，…（2分）
又因为点在椭圆C上，
所以，…（3分）
解得a=2，b=1，，
所以椭圆C的方程为．…（5分）
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，
易得直线OP1，OP2的斜率之积．…（6分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…（7分）
由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…（8分）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，即m2=4k2+1．…（9分）
由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣5=0，…（10分）
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，…（11分）
所以=，…（13分）
将m2=4k2+1代入上式，
综上，k1ok2为定值．…（14分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
20．已知函数，直线l：y=kx﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线；
（Ⅲ）试确定曲线y=f（x）与直线l的交点个数，并说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；解题思想；转化思想；解题方法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）定义域，求导，令f′（x）=0，解得x=1．利用导函数的符号，判断函数的单调性，求出函数的极值，
（Ⅱ）假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f（x）相切，设切点为，求出切线满足斜率，推出，此方程显然无解，假设不成立．推出直线l都不是曲线y=f（x）的切线．
（Ⅲ）“曲线y=f（x）与直线l的交点个数”等价于“方程的根的个数”．令，则k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．函数h（t）=t3+t+2，其中t∈R，求出导数，判断函数的单调性，然后推出曲线y=f（x）与直线l交点个数．
【解答】（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：函数f（x）定义域为{x|x≠0}，…（1分）
求导，得，…（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表所示：
|（﹣∞，0）
|（1，+∞）
所以函数y=f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1），…（3分）
所以函数y=f（x）有极小值f（1）=3，无极大值．
（Ⅱ）证明：假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f（x）相切，…（5分）
设切点为，又因为，
所以切线满足斜率，且过点A，
所以，…（7分）
即，此方程显然无解，
所以假设不成立．
所以对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线．…（8分）
（Ⅲ）解：“曲线y=f（x）与直线l的交点个数”等价于“方程的根的个数”．
由方程，得．…（9分）
令，则k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．
考察函数h（t）=t3+t+2，其中t∈R，
因为h′（t）=3t2+1＞0时，
所以函数h（t）在R单调递增，且h（t）∈R．…（11分）
而方程k=t3+t+2中，t∈R，且t≠0．
所以当k=h（0）=2时，方程k=t3+t+2无根；当k≠2时，方程k=t3+t+2有且仅有一根，
故当k=2时，曲线y=f（x）与直线l没有交点，
而当k≠2时，曲线y=f（x）与直线l有且仅有一个交点．…（13分）
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性，函数的零点，考查转化思想以及计算能力．
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