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源于自然、高于自然、顺其自然。
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历史上的今天
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blogTitle:'八年级下第二章 分解因式',
blogAbstract:'& \r\n2.1 分解因式 \r\n一、教学目标 \r\n让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. \r\n二、教学过程 \r\n一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积. \r\n解法一：S=× + × + × =++=2 \r\n解法二：S=× + × + × = （ ++）=×4=2 \r\n1.公因式与提公因式法分解因式的概念. \r\n把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ',
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因式分解与分组分解试题
刚上高中，老师讲了一些衔接内容，希望有些试题做。
补充：不需要太难的，最好有解答过程。
因式分解 〖知识点〗 因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。 〖大纲要求〗 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。 〖考查重点与常见题型〗 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。 因式分解知识点 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有： (1)提公因式法 如多项式 其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． (2)运用公式法，即用 写出结果． (3)十字相乘法 对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则 对于一般的二次三项式 寻找满足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则 (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号. (5)求根公式法：如果 有两个根X1，X2，那么 考查题型： 1．下列因式分解中，正确的是（ ）????????? (A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2 (C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1) (D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1) 2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2 (3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2 从左到是因式分解的个数为（ ） (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个 3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（ ） (A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10 4．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ; 5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ; 6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ; 7．把下列因式因式分解： (1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1 (3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y2 8．在实数范围内因式分解： (1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2 考点训练： 1. 分解下列因式： (1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1 (3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1 (5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2 *(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2 (9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2 (11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1 (13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2 解题指导： 1．下列运算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2) (3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且运算正确的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2．不论a为何值，代数式－a2＋4a－5值（ ） （A）大于或等于0 （B）0 （C）大于0 （D）小于0 3．若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（ ） （A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－1 4．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,则x2＋y2的值是 ； 5．分解下列因式： (1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6 (3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12 (5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4 ＊4。已知a＋b＝1,求a3＋3ab＋b3的值 5．a、b、c为⊿ABC三边，利用因式分解说明b2－a2＋2ac－c2的符号 6．0＜a≤5，a为整数，若2x2＋3x＋a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a 独立训练： 1．多项式x2－y2, x2－2xy＋y2, x3－y3的公因式是 。 2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果： (1)9x2－( )2＝(3x＋ )( －15 y), (2).5x2＋6xy－8y2＝(x )( －4y). 3．矩形的面积为6x2＋13x＋5 (x&0),其中一边长为2x＋1,则另为 。 4．把a2－a－6分解因式，正确的是( ) (A)a(a－1)－6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6) 5．多项式a2＋4ab＋2b2,a2－4ab＋16b2,a2＋a＋14 ,9a2－12ab＋4b2中，能用完全平方公式分解因式的有( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 6．设(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,则x＋y的值是（ ） (A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5 7．关于的二次三项式x2－4x＋c能分解成两个整系数的一次的积式，那么c可取下面四个值中的（ ） (A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5 8．若x2－mx＋n＝(x－4)(x＋3) 则m,n的值为（ ） (A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n＝12 (C) m＝1,n＝－12 (D) m＝1,n＝12. 9．代数式y2＋my＋254 是一个完全平方式，则m的值是 。 10．已知2x2－3xy＋y2＝0（x,y均不为零），则 xy ＋ yx 的值为 。 11．分解因式: (1).x2(y－z)＋81(z－y) (2).9m2－6m＋2n－n2 ＊(3).ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2) (4).a4－3a2－4 ＊(5).x4＋4y4 ＊(6).a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1 12．实数范围内因式分解 （1）x2－2x－4 （2）4x2＋8x－1 （3）2x2＋4xy＋y2
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分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号. 当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。 例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6] =(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3) 例2分解因式：x4+5x3+15x-9 解析可根据系数特征进行分组 解原式=（x4-9）+5x3+15x =(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3) =(x2+3)(x2+5x-3)
其他回答 (1)
因式分解综合测试　　一、填空题 　　(1)x2+2x-15=(x-3)( _____) 　　(2)6xy-x2-5y2=-(x-y)( _____). 　　(3) _____=(x+2)(x-3). 　　(4) 分解因式x2+6x-7=_____. 　　(5)若多项式x2+bx+c可分解为(x+3)(x-4), 则b=_____, c=_____. 　　(6)若x2+7x=18成立，则x值为_____。 　　(7) 若x2-3xy-4y2=0，且x+y≠0，则x=_____. 　　(8) (x-y)2+15(x-y)+14=(_____+1)(x-y+_____). 　　(9)多项式 x2+3x+2, x2-2x-8, x2+x-2的公因式为_____。 　　(10) 已知a, b为整数，且m2-5m-6=(m+a)(m+b), 则a=_____,b=_____. 　　二、选择题 　　(1)若x2+2x+y2-6y+10=0，则下列结果正确的是（　　）。 　　A、x=1, y=3　　B、x=-1,y=-3 　　C、x=-1,y=3　　D、x=1,y=-3 　　(2)若x2-ax-15=(x+1)(x-15)，则a的值是（　　）。 　　A、15　　B、-15　　C、14　　D、-14 　　(3)如果3a-b=2,那么9a2-6ab+b2等于（　　）。 　　A、2　　B、4　　C、6　　D、8 　　(4)若x+y=4, x2+y2=6，则xy的值是（　　）。 　　A、10　　B、5　　C、8　　D、4 　　(5)分解因式(x2+2x)2+2(x2+2x)+1的正确结果是（　　）。 　　A、(x2+2x+1)2　　B、(x2-2x+1)2 　　C、(x+1)4　　　　D、(x-1)4 　　(6) -(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式的结果（　　）。 　　A、4x2-y2　　B、4x2+y2　　C、-4x2-y2　　D、-4x2+y2 　　(7)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值应为（　　）。 　　A、-5　　B、7　　C、-1　　D、7或-1 　　(8) 已知x3-12x+16有一个因式为x+4, 把它分解因式后应当是（　　）。 　　A、(x+4)(x-2)2　　B、(x+4)(x2+x+1) 　　C、(x+4)(x+2)2　　D、(x+4)(x2-x+1) 　　三、因式分解 　　(1)x(x+y+z)+yz 　　(2) x2m+ xm+ 　　(3) a2b2-a2-b2-4ab+1 　　(4) a2(x-y)2-2a(x-y)3+(x-y)4 　　(5) x4-6x2+5 　　(6) x4-7x2+1 　　(7)3a8-48b8 　　(8) x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz 　　四、解答题 　　1.已知a2+9b2-2a+6b+2=0，求a,b的值。 　　2.求证：不论x取什么有理数，多项式-2x4+12x3-18x2的值都不会是正数。 　　3.已知n为正整数，试证明(n+5)2-(n-1)2的值一定被12整除。 　　4.已知x+y=4, xy=3，求(1) 3x2+3y2; (2) (x-y)2. 　　5.设a&0, b&0, c&0且a、b、c中任意两数之和大于第三个数，求证：a2-b2-c2-2bc&0. 　　五、利用因式分解计算： 　　(1) 已知长方形的周长是16cm, 它的两边长a、b是整数，满足a-b-a2+2ab-b2+2=0，求长方形面积。 　　(2)如图1，一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度，求出横断面面积的代数式，并计算出当a=2, b=0.8时的面积。 　　(3) 如图2，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R=7.8cm, r=1.1cm时剩余部分的面积（p取3.14，结果保留三位有效数字）。 　　 　　　答案： 　　一、 　　(1) x+5　 　　(2) x-5y　 (3) x2-x-6 　　(4) (x+7)(x-1)　 (5) -1, -12 　　(6) -9或2 　　(7) 4y　 　(8) x-y, 14　　(9) x+2　 　　　　(10) -6或1，1或-6 　　二、 　　(1) C　　(
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当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导中学数学竞赛讲座及练习：第20讲 因式分解（2）_学优中考网 |
第二讲 因式分解(二)
　　(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
　　2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
　　x的二次三项式．
　　y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
　　即　　-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)　　 x的二次三项式分解
　　=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
　　　　=(x+2y-3)(2x-11y+1)
　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
　　它表示的是下面三个关系式：
　　(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3
　　(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3
　　这就是所谓的双十字相乘法．
　　ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
　　(1)ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
　　(2)f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
　　1 分解因式：
　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2
　　(2)x2-y2+5x+3y+4
　　(3)xy+y2+x-y-2
　　(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2
　　=(x-5y+2)(x+2y-1)．
　　=(x+y+1)(x-y+4)．
　　(3)x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
　　=(y+1)(x+y-2)．
　　=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
　　 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
　　anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
　　f(x)=x2-3x+2g(x)=x5+x2+6，…，
　　x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f (x)
　　f(1)=12-31+2=0；
　　f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12．
　　f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
　　1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
　　f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
　　2若既约分数是整系数多项式
　　p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．
　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
　　2 分解因式：x3-4x2+6x-4．
　　-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有
　　f(2)=23-422+6×2-4=0，
　　x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
　　1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
　　=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
　　　　=(x-2)(x2-2x+2)
　　2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，
原式=(x-2)(x2-2x+2)．
　　-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
　　3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．
分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±2，所以原式的有理根只可能是±1，±2，±，±，±，±，经检验，只有=-和 是原式的根，所以原式有因式x＋和x－，又因为：
　　9x2-3x-2．
　　 9x4-3x3+7x2-3x-2
　　　=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
　　　=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
　　　=(9x2-3x-2)(x2+1)
　　　=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
　　9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
　　f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．
　　待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
　　(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
　　4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)
　　x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3
　　=(x+2y+m)(x+y+n)
　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn
　　比较两边对应项的系数，则有
　　m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
　　5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．
　　1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．
　　=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd
　　所以有
　　bd=7，先考虑b=1，d=7有
　　　　　=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
　　b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
　　1　　(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3
　　(2)x2-xy+2x+y-3
　　(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2
　　(1)x3+x2-10x-6
　　(2)x4+3x3-3x2-12x-4
　　(3)4x4+4x3-9x2-x+2
　　(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20
　　(2)x4+5x3+15x-9
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17:16:42 上传频道：学科：年级：九年级地区：全国类型：新课标版本：中考复习只看标题相关资料第讲 代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍． 　　1　　因式分解是重要的一种代第二十三讲 恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个第讲 实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等第二讲 因式分解(二)1 　　(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．　　2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，　　x的二次三项式．　　y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为　　　即[来源:]　　-第讲 因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式第讲 生活中的数学
储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力． 　　[来源:]　　(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率经×存期)．　　p，r，n，i，s分别表第讲 应用问题的算术解法与代数解法　　从小学到中学，数学课程最显著的变化，就是从算术学习到代数和几何的学习．仅就代数来说，它的基本课题是着眼于利用运算来讨论各种数学问题．从发展的角度看，代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的．首先扩大了数的范围，从正整数、正分数和零发展到有理数、实数；其次，在用字母表示数的基础上，应用“运算律”解代数方程和研究代数式．由于在常见的数量关系中，可以第讲 应用问题解题技巧
应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义．第十五讲 奇数与偶数
通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±13，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数． 　2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．　　奇数和偶数有以下基本性质：　　1 奇数≠偶数．　　2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶第十四讲 面积问题我们已经学过的面积公式有： 　（其中表示a边上的高）　(2)S=ah（其中h表示a边上的高）．　（其中a，b表示梯形中，两条平行边的长，h表示平行边之间的距离）．　　由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．　　等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花第十三讲 从三角形内角和谈起　　三角形的内角和等于180(也称一个平角)是三角形的一个基本性质．从它出发可引出下面两个事实： 　　(1)　　1－35所示．延长三角形的三条边，由三角形一条边及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角．[来源:]1－35中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．由于∠1+∠ABC=180°(平角)，　　又∠BAC+∠B第十二讲 平行线问题　　平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段． 　　正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．　　(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．　　现行中第十一讲 线段与角线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用． 　　200米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？　　（2）在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？　　2点到3点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针第十一讲 线段与角线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用． 　　200米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？　　在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？　　2点到3点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与第十讲 整式的乘法与除法　　中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己第九讲 “设而不求”的未知数让我们先看一道简单的数学题． 　　，斜边上的中线长是1，求这个三角形的面积． 　　2若，　求x+y+z的值．　　3 已知p，q，r都是5的倍数，r＞q＞p，且r=p+10，试求的值 例4 若使为可约分数，则自然数n的最小值应是多少？　　[来源:学优gkstk]　　5甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和1第八讲 不等式的应用不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用． 　　1 已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．[来源:]　　2 若试比较A，B的大小．　　3 若正数a，b，c满足不等式组试确定a，b，c的大小关系．[来源:学第 七讲 含绝对值的方程及不等式
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法． 　　a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：　　　含绝对值的第六讲 一次不等式(不等式组)的解法　　不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础． 　　下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．　　1　　 　　　(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或第五讲 方程组的解法二元及多元()一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍． 　　1解方程组 　　x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值第四讲 一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧． 用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值第三讲 求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧． (a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-第二讲 绝对值
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它第一讲 有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问不等式课后练习主讲：在数学表达式：①?3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有(　　)依据不等式的定义──在下列各式中：①a+3；②；③3x＜5；④y≤0；⑤m≠1，属于不等式的有(　　)
D．已知a?b＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)A．a?1＜b?1
B不等式主讲教师：傲德重难点易错点辨析不等式的定义题一：①x+y=1；②x≤y；③x?3y；④x2 ?3y＞5；⑤x＜0中属于不等式的有(　　)A．2个
D．5个不等式的性质题二：已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是(　　)A．ac＞bc
C．c?a＞c?b
不等式与方程课后练习主讲：若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数，求m的取值范围．如果关于x、y的方程组的解是负数，求a的取值范围．如果关于x的方程x+2m?3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的取值范围．符号[x]表示不大于x的最大整数，例如[5]=5，[6.31]=6．如果，这样的正整数x有______个．已知x+3=a，y?2a=6，并且．(1)求a的取值范不等式与方程主讲教师：傲德重难点易错点辨析不等式与方程综合题一：求使方程组的解、都是正数的的取值范围？金题精讲题一：的解不大于1，且m是一个正整数，试确定x的值．题二：?2a= 4，并且．(1)求a的取值范围；(2)比较a2+2a?3与a2+a?1的大小．题三：已知、同时满足三个条件：?2y=p；?3y=2+p；y．则的取值范围是的解集．不等式与方程不等式与方程应用题课后练习主讲：某初级中学八年级(1)班若干名同学星期天去公园游览，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上(含25人)8折优惠，他们经过核算，买团体票比买单人票便宜，那么他们至少有多少人？某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．有一群猴子，一天结伴不等式与方程应用题主讲教师：傲德重难点易错点辨析列不等式解应用题题一：某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？不等式与方程综合解应用题题二：有红、白两种颜色的小球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的个数的2倍比红球多；若给每个白球都写上数字“2”，给每个红球都写上数字“3”(每个小球只能写上一个数}