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1.75亿学生的选择
设y=f(x)在[0,1]上连续,且f(x)>0,试证明存在ζ∈（0,1）,使得在区间[0,ζ]上以f(ζ)为高的矩形面积等于在区间[ζ,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积.答案说由题意要去证ψ（x)=xf(x)-∫x到1 f(t)dt.答案的这步是怎么来的?
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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0 ,记M=max{ l f(x) l ,x∈[0,1]}证明至少存在一点ζ∈(0,1),使得 l f`(ζ)l ≥2M
由f(x)在[0,1]上连续,|f(x)|在[0,1]上可以取得最大值M.设在c∈[0,1]处|f(c)| = M.若c ≥ 1/2,在[c,1]上由Lagrange中值定理,存在ζ∈(c,1)使f'(ζ) = (f(1)-f(c))/(1-c) = -f(c)/(1-c).此时|f'(ζ)| = |f(c)/(1-c)| = M/(1-c) ≥ 2M.若c ≤ 1/2,在[0,c]上由Lagrange中值定理,存在ζ∈(0,c)使f'(ζ) = (f(c)-f(0))/(c-0) = f(c)/c.此时|f'(ζ)| = |f(c)/c| = M/c ≥ 2M.
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扫描下载二维码设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=2，f(1)=0．求证：存在0＜η＜ζ＜1，使得f’(η)_答案_百度高考
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=2，f(1)=0．求证：存在0＜η＜ζ＜1，使得f’(η)f’(ζ)=4．
第-1小题正确答案及相关解析
[证明] 由于g(x)=f(x)-2x在[0，1]上连续，且g(0)=2，g(1)=-2，故由有界闭区间上连续函数的性质可知存在ξ∈(0，1)，使得g(ξ)=0，即f(ξ)=2ξ成立．
对此ξ，分别在区间[0，ξ]与[ξ，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，ξ)，ξ∈(ξ，1)，使得
即存在0＜η＜ζ＜1，使得以下试题来自：
问答题设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＜0．
求证：存在ζ∈(0，1)使得ζf’(ζ)+(4-ζ)2f(ζ)=0． [分析] 若p(x)在[0，1]上连续．在(0，1)内可导且在(0，1)内不等于零，于是
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1.75亿学生的选择
设f(x)=(x-1)φ(x),且φ(x）在点x=1处连续,试证明：f(x)在点x=1处可导.
证明：为了书写方便我们记f(x)=(x-1)y(x),其中y(x)在x=1处连续,但题中未告知y(x)在x=1的邻域内是否可导,因此不能对其求导,一楼有误.按导数定义考察,注意到f(1)=0,(x->1)lim[f(x)-f(1)]/(x-1)=(x->1)lim[(x-1)y(x)]/(x-1)=(x->1)limy(x)=y(1),此极限存在,则有f'(1)=y(1),显然f(x)在x=1处可导.证毕!
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f(x)=(x-1)φ(x)=xφ(x)-φ(x)f'(x)=φ(x)+xφ'(x)-φ'(x)无论φ(x)是否可导，f'(x)在x=1下都有实数值我的谬论~~~
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