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在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）设bn=an+1-an（n∈N*），证明{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1，n≥2．又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．（2）由（1）可得数列{bn}的通项公式bn=qn-1，∵bn=an+1-an，∴an-an-1=qn-2，…a2-a1=1，把上述各式相加，得到an-a1=qn-2+qn-3+…+q∴an=1+1-qn-11-q，q≠1n，q=1
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据魔方格专家权威分析，试题“在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，数列的概念及简单表示法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等比数列的定义及性质数列的概念及简单表示法
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。特别提醒：①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．
发现相似题
与“在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）..”考查相似的试题有：
293009819332330942821735481446746064等比数列 试题 已知数列{an},{bn},都是由正数组成的等比数列，公比分别为P，Q，其中p大于q，且p不等于1，q不等于1，设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求limSn/Sn-1（北京四中网校－〉名师答疑－〉高二－〉数学）　
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　　等比数列 试题 已知数列{an},{bn},都是由正数组成的等比数列，公比分别为P，Q，其中p大于q，且p不等于1，q不等于1，设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求limSn/Sn-1
　　已知数列{an},{bn},都是由正数组成的等比数列，公比分别为P，Q，其中p大于q，且p不等于1，q不等于1，设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求limSn/Sn-1
　　等比数列及极限
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tchyangjinlong数列{an}是公比q（q&0）的无穷等比数列，a1=1求limSn/(a1^2+a2^2+…+an^2)_百度知道
数列{an}是公比q（q&0）的无穷等比数列，a1=1求limSn/(a1^2+a2^2+…+an^2)
提问者采纳
解答：{an ^2}也是等比数列(1) q=1,
a1^2+a2^2+…+an^2=na1^2∴ Sn/(a1^2+a2^2+…+an^2)=1/a1, 极限是1/a1(2) q≠1，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
a1^2+a2^2+…+an^2=a1²(1-q^2n)/(1-q²)∴ Sn/(a1^2+a2^2+…+an^2)=(1/a1)(1+q)/(1+q^n)
若0&q&1,极限为(1/a1)(1+q)
提问者评价
太感谢了，真心有用
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记Tn=a1^2+a2^2+珐护粹咎诔侥达鞋惮猫a3^2+…+an^2limSn=a1/1-qlimTn=a1^2/(1-q^2)=1/1-q^2lim(Sn/Tn)=1-q^2/1-q=1+q
无穷等比数列的相关知识
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出门在外也不愁在等比数列（An)中An&0(n属于N*),公比q属于（0，1），a3+a5=5,,且2是a3与a5的等比中项求（An)的通项公式
在等比数列（An)中An&0(n属于N*),公比q属于（0，1），a3+a5=5,,且2是a3与a5的等比中项求（An)的通项公式
设bn=5-log2an，数列Bn的前n项和为Sn，求数列sn的通项公式
解：等比数列﹛an﹜中，由2是a3与a5的等比中项可得，
&&&&&& 2*2=a3*a5···········①
&&&&&& 又a3+a5=5··········②
&&&&&& 联立①②解得：a3=4，a5=1或a3=1，a5=4
&&&&&& ﹛an﹜的公比&& q=±√（a5/a3）=±√（1/4）=±1/2
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 或&& q=±√（a5/a3）=±√（4/1）=±2
&&&&&& 又公比q∈（0，1）
&&&&&& 综上可得，q=1/2，a3=4，a5=1
&&&&&& 则，a1=a3/q?=4/（1/2）?=16
&&&&&& ∴an=16*（1/2）的n-1次方=2的4次方*2的1-n次方=2的5-n次方
&&&&& 又bn=5-log2an=5-以2为底2的5-n次方的对数=5-（5-n）=n
&&&&& 即bn为等差数列&且b1=1，bn=n
&&&& ∴Sn=n*（1+n）/2
其他回答 (1)
化简上式得到(a3 a5)平方=25所以a3 a5=5 而又知道2是a3与a5的等比中项 所以a3a5=4
公比q属于（0，1），数列是递减的 计算得出a3=4 a5=1 可算出q=1/2 所以通项公式An=16×(1/2)(n-1)次方
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