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女生该怎么自慰啊，我觉得自己好邪恶啊老是
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女生该怎么自慰啊，我觉得自己好邪恶啊老是经常想做那事，但从来都不敢尝试好苦恼啊
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&&&&&&病情分析：&&&&&&建议：一般不会导致输卵管堵塞，但是如果导致肾虚，肾藏精，过度手淫同样可能出现不孕。&&&&&&指导意见：&&&&&&您好，女子手淫可以发生外阴炎、阴道炎、膀胱炎，甚至性感不足或性欲冷淡，重者还可以引起骨盆呢瘀血而腰痛，或者导致神经衰弱和精神病。
擅长: 消化内科、肠道疾病、血液科各种疾病的诊断及治疗
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&&&&&&病情分析：&&&&&&您好，女子手淫可以发生外阴炎、阴道炎、膀胱炎，甚至性感不足或性欲冷淡，重者还可以引起骨盆呢瘀血而腰痛，或者导致神经衰弱和精神病。&&&&&&指导意见：&&&&&&建议：一般不会导致输卵管堵塞，但是如果导致肾虚，肾藏精，过度手淫同样可能出现不孕。
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&&&&&&病情分析：&&&&&&你这个年纪有这个想法是很正常的了。&&&&&&指导意见：&&&&&&不过还是说明你心火有点重了的。建议去吃点中药治疗。调补下肾水，克制下心火。&&&&&&以上是对“女生该怎么自慰啊，我觉得自己好邪恶啊老是”这个问题的建议，希望对您有帮助，祝您健康！
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&&&&&&病情分析：&&&&&&你好，建议你还是通过正常的男女性生活满足生理需要。&&&&&&指导意见：&&&&&&自慰是没有办法，容易感染的，如果没有这样的习惯，还是不要尝试。
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女生自慰流水太多怎么办，这水又是从哪来的
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&&&&&&病情分析：&&&&&&女生自慰流水多，担心身体有问题！&&&&&&指导意见：&&&&&&你好，这是正常腺体分泌的，不用担心！祝幸福快乐！
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&&&&&&病情分析：&&&&&&你好，很荣幸回答您的问题，女生自慰时会流出自身分泌的润滑液属于正常现象，有利于阴茎顺利进入阴道而不会因为干涩而引起疼痛。&&&&&&指导意见：&&&&&&这属于一种正常的现象，无需注意什么，也无需任何治疗，自慰引起分泌无色透明液体为自身分泌。
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使用微信扫码支付1元&img src=&/v2-c866c9a7b3cecdc6719202_b.jpg& data-rawwidth=&899& data-rawheight=&499& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&899& data-original=&/v2-c866c9a7b3cecdc6719202_r.jpg&&&p&周末的时候我回了趟老家，寒暄得差不多了，话题又像以往一样，被亲戚们故作不经意地引到了“人生大事”上：&/p&&blockquote&现在有没有对象啊？&br&也该找啦……&br&你看那XX都结婚了！&br&你现在是不着急，再过两年就不这么想了。&br&到时候“好的”都被挑走了！&br&难道你想一辈子孤独终老吗？&/blockquote&&p&我也像往常一样，撑过了这场浩劫。&/p&&p&我理解他们的观念，那个年代的人们更多的是“搭伙儿过日子”，人必须要在一起，才能生活下去，所以“有伴侣”被当做默认设置。&/p&&p&而单身，被认为只是“通向恋爱结婚”的一个&b&过渡阶段&/b&。甚至很多人，刚从原生家庭中脱离出来，就匆匆跑进了另一个家庭，根本没有和自己相处过。&/p&&p&虽然现在单身狗的声势浩大，但大多都哀嚎着、抱怨着自己的状态，急切寻找“快速脱单的方法”。&/p&&p&&b&单身是一种怎样的状态？&/b&&/p&&p&&b&我们所有人都单身过，但也许只有很少的人真正体验过。&/b&&/p&&img src=&/v2-f654ba754ebf86d96d07f8d_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&313& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-f654ba754ebf86d96d07f8d_r.jpg&&&p&图片：《单身指南》&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&单身是什么？&/b&&/h2&&p&之前有个挺火的电影叫《单身指南》（how to be single），听起来是教大家如何在单身时和自己相处，但大部分剧情都是在讲女主Alice与各种人约会、谈恋爱的故事。&/p&&p&剧中Alice提出了一个问题：“为什么我们总是需要通过关系来定义自己是谁？&/p&&p&的确，如果你稍微留意，就能发现无论是在影视剧还是我们的真实生活中，人们都是用身份关系来定义自己的，比如“我是xx的儿子，这是xx的同事，这是xx的男朋友”。&/p&&p&单身（single）也是一种身份，但单身从字面上好像意味着“不与任何人、任何事物建立联结”，好像天然孤立。&/p&&p&因此在很长一段时间里，&b&单身者们是被边缘化、被忽视的群体&/b&。那些单身者的故事，鲜有人讲述。&/p&&p&这听起来有点反直觉，单身狗明明是网络世界的高姿态者，情侣们秀个恩爱都胆颤心惊。&/p&&p&同时，数据也告诉我们，单身是正在崛起的趋势。美国18岁以上的未婚者在2015年就已经达到45%，且在持续增长中。在日本，终生独身的人口已经达到了总人口的10%。&/p&&p&但人数众多，并不代表掌握更多话语权。单身，在过去很长一段时间内，以及现在，都遭受着难以察觉的歧视。&/p&&img src=&/v2-cbef274c7c_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&319& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-cbef274c7c_r.jpg&&&p&图片：《逃避可耻但是有用》&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&你遭遇过单身歧视吗？&/b&&/h2&&p&美国心理学学者 Bella DePaulo 发现，在生活中对单身人士的污名化、负面刻板印象以及行为层面的歧视非常常见，她将这种现象称之为&b&Singlism（单身歧视）&/b&。&/p&&p&你是否曾发现/遭遇过以下这些普遍存在的、对于单身人士的误读？&/p&&ul&&li&&b&单身就是孤独可怜的&/b&&/li&&/ul&&p&我常听别人说，单身的人幸福感低、没人陪很孤独很可怜。&/p&&p&这些都源于人们对于单身的一个最大误解：单身就是不与人接触，孤独一个人就是可怜的，而“找一个人一起生活”似乎能化解所有问题。&/p&&p&人家只是单身，又不是被关小黑屋了，怎么可能不与人接触嘛。而且与人接触也可以有很多种类，他们也许可以从与家人、朋友、邻居的的接触中满足社交需求。&/p&&p&恋爱、结婚也不是获得幸福感的唯一来源，更不是解决一切的良药，它无法保护人们免受孤独感、抑郁情绪、压力的侵袭。&/p&&blockquote&要完全与另一个人发生关联，人必须先跟自己发生关联。&br&如果我们不能拥抱我们自身的孤独，我们只是利用他人作为对抗孤独的一面挡箭牌而已。&br&－欧文亚隆&/blockquote&&img src=&/v2-29e443c03ed40da578b49be7c4c7f014_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-29e443c03ed40da578b49be7c4c7f014_r.jpg&&&p&图片：《九条命》&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&&b&恋爱关系是刚需&/b& &/li&&/ul&&p&在大多数社会文化中，婚姻（或至少是稳定的恋爱关系）被设定为每个人人生中的标配。&/p&&p&人们觉得谈恋爱、结婚、生孩子是“应该”的事情，大家都这样，你和大家不一样，那你就是不对！&/p&&p&&b&尤其是过了一定年纪之后，社会环境就一下子对单身人士变得苛刻起来。&/b&&/p&&p&生活中常能观察到，询问一个女性的情感状态，她在回答说自己还单身的时候，往往会不好意思。&/p&&p&这些犹豫，透露出的是女性普遍对自己单身状态的认知：&b&她们认为这是一件有必要向他人解释的事情&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&如果不解释，就会被默认为处于长期孤独、沮丧，且是因为自己能力不足才导致丧失获得幸福机会。&/p&&p&一个女性在职场上很成功，经济独立、拥有良好的社会地位和生活，但可能会被说：“那有什么用，还不是嫁不掉。”&/p&&p&在这些的背后，&b&是对于浪漫关系重要性的过分强调&/b&。大量的学术研究，以及被这些研究所支持而形成的社会认知和文化也同样透露了：我们对婚姻和伴侣过度推崇（matrimania）。&/p&&p&&b&一个人不代表无依无靠，也有很多人在亲密关系中孤独终老。&/b&&/p&&img src=&/v2-13b9c95397acd9c70abb6_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&319& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-13b9c95397acd9c70abb6_r.jpg&&&p&图片：《逃避可耻但是有用》&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&&b&“我很享受单身”被认为是自我安慰&/b& &/li&&/ul&&p&当单身的人说自己一个人过得挺好的时候，大家本能上是不太信的，觉得这只是单身患者的自我安慰、是不得已的苦中作乐，并且还会投来“&b&别嘴硬了，我们懂的，单身怎么会幸福呢&/b&”的同情目光。&/p&&p&对于单身的人，周围的人可能还会有一些恶意的揣测，比如“这男孩儿该不是不行吧”，“这女生是不是不喜欢男生啊，那女朋友也没见她找啊”。&/p&&p&人们会认为选择单身的人，是因为ta受自身或外界条件所限，才没能拥有亲密关系，所有的理由都只是嘴硬罢了。&/p&&p&其实到了现在这个时代，选择恋爱结婚还是选择单身应该像所有那些喜好的差异一样被包容。&/p&&p&就像是你喜欢咸豆腐脑，我喜欢甜豆腐脑，谁错了？没人错，只是口味的不一样。&/p&&p&&b&“既然有人喜欢一家人在一起，就也有人喜欢独自生活。”&/b&&/p&&img src=&/v2-cb6a0dd18a_b.jpg& data-rawwidth=&352& data-rawheight=&600& class=&content_image& width=&352&&&p&图片：《最完美的离婚》&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&我们为什么害怕单身？&/b&&/h2&&p&很多人害怕单身，是因为害怕所谓单身可能产生的一系列问题：孤独寂寞、没人照顾、缺乏社交而导致的性格孤僻等等。&/p&&p&对单身的恐惧会切实影响我们的行为和选择，比如嘴上“讲究”，行为上“将就”，择偶的标准更低，把更多数量的人作为潜在发展对象（Spielmann et al., 2013）；&/p&&p&同时，也可能宁愿在一段恶性的恋爱关系中受苦，也更不愿意结束它，再次回到单身的状态。&/p&&p&而我们之所以会这样，可能是因为&b&羞耻感&/b&：不愿公开承认自己是单身、到一定年纪却还没有恋爱经历就被人耻笑、害怕被同情……&/p&&p&这种羞耻感所引发的焦虑驱动着人们去掩盖自己是单身，也妨碍着人们去真正体验这种状态。 &/p&&p&但如果你想要拥有一段令人满意的亲密关系，首先要满意自己的单身状态。&/p&&blockquote&孤独没有什么不好。&br&使孤独变得不好，是因为你害怕孤独。&br&想要快速打破孤独的动作，正是造成巨大孤独感的原因。 &br&－－《孤独六讲》&/blockquote&&img src=&/v2-b76ce635dee6a31a0b1cf9_b.jpg& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&/v2-b76ce635dee6a31a0b1cf9_r.jpg&&&p&图片：《最后的朋友》&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&享受单身，是好好恋爱的先决条件。&/b&&/h2&&p&我们之所以需要交朋友、谈恋爱、结婚等，主要的目的有两种：&/p&&ul&&li&&b&回避型Avoidance&/b&：为了避免那些一个人（单身）带来的麻烦：比如孤独、被评价、长辈压力等。&/li&&li&&b&接近型Approach&/b&：为了获得恋爱中的亲密感、陪伴；&/li&&/ul&&p&简单来说呢，一个是为了避免麻烦，一个是为了真的渴望亲密。而研究发现当一个人的社交取向是回避型时，Ta在亲密关系中的体验也往往更差。&/p&&p&所以，如果一个人是因为觉得单身非常难以忍受，所以才想要赶快脱单的话，那么恋爱也并不会让他变得更好受些。&/p&&p&&b&而只有当我们确定地相信自己保持单身，和进入亲密关系一样，是没有问题的、是安全的、是温暖且满足的；&/b&&/p&&p&&b&只有当我们内心以一种平和的态度来期待之后可预见的单身生活时；&/b&&/p&&p&&b&我们才能真的好好谈个恋爱，因为对方真的吸引自己而选择去在一起，并真正去享受其中美好的体验。&/b&&/p&&p&《四重奏》里有一段话，很适合用作结尾：&/p&&img src=&/v2-e54e8da39fcbb_b.jpg& data-rawwidth=&466& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&466& data-original=&/v2-e54e8da39fcbb_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&为什么单身的人就被认为是不好的呢，&/p&&p&单身就是单身，没什么不好的啊。&/p&&p&你想要恋爱结婚，那就去恋爱结婚，&/p&&p&如果你喜欢单身，那就单身。&/p&&p&这是你应有的自由，&/p&&p&愿我们都能成为自由的人。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&References：&/p&&p&Girme, Y. U., Overall, N. C., Faingataa, S., & Sibley, C. G. (2016). Happily single: The link between relationship status and well-being depends on avoidance and approach social goals. &i&Social Psychological and Personality Science&/i&, 7(2), 122-130.&/p&&p&Office, G. A. (2004). Defense of Marriage Act: Update to Prior Report. Letter to Senate Maj ority Leader Bill Frist (R-TN)(January 23). Washington, DC. www. gao. gov/new. items/d04353r. pdf. &/p&&p&Spielmann, S. S., MacDonald, G., Maxwell, J. A., Joel, S., Peragine, D., Muise, A., & Impett, E. A. (2013). Settling for less out of fear of being single. &i&Journal of Personality and Social Psychology&/i&, 105, .&/p&&p&Timonen, V., & Doyle, M. (2014). Life-long singlehood: intersections of the past and the present. &i&Ageing & Society&/i&, 34, .&/p&&img src=&/v2-3fed267b9ab8ccc_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-3fed267b9ab8ccc_r.jpg&&&p&&b&关注我们的公众号 简单心理（janelee1231），查看更多有趣的心理学科普文章。&/b&&/p&&p&&b&原文发布于：&a href=&/?target=https%3A//mp./s%3F__biz%3DMjM5MzA0MzczMg%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D1c2a3f9f06c5aa3dchksm%3Dbd420e928afdc9801aeae9cb2ab1eb1d055cfb054fd903%23rd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&谁再说你单身狗，你就甩给他这篇文章&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/b&&/p&&p&&b&寻求专业的心理咨询帮助请戳：&a href=&/?target=https%3A///%3Futm_source%3Dzhihu%26utm_medium%3Djiandanxinli%26utm_campaign%3Droutine%26utm_content%3Djdxl_homepage%26utm_term%3D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&简单心理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/b&&/p&
周末的时候我回了趟老家，寒暄得差不多了，话题又像以往一样，被亲戚们故作不经意地引到了“人生大事”上：现在有没有对象啊？ 也该找啦…… 你看那XX都结婚了！ 你现在是不着急，再过两年就不这么想了。 到时候“好的”都被挑走了！ 难道你想一辈子孤独终…
1.我不认为&谈恋爱久了就会喜新厌旧，这是人性，不可避免&。&br&&br&2.我不认为&对一个人越好，ta就不珍惜，这是人性，不可避免。&&br&&br&如果以上两个命题成立，那这世界该多让人讨厌，我们追求爱情该多愚蠢啊，这世间所有的爱情是多么的充满变数令人不安啊。难道说，那些过得长久的夫妻，都只是受到道德的捆绑，勉强一起度日吗？我们的世界真的如此冰冷，爱情这东西，真的如此脆弱，转瞬即逝，任何人都长久不了吗？我们爱一个人，为了被他珍惜，不对他好，难道故意冷落他，虐他，折磨他吗？这还是爱吗？&br&我觉得以上两个命题不成立，但是为什么很多人都这么认为？因为事实的真相被大众误解成了这个样子。&br&&br&1.为什么很多人认为&人总是喜新厌旧的，在一起时间长了，爱情会变成亲情，那些恩爱的夫妻，只是为了孩子勉强在一起罢了&？那是因为，人总是在变化中的，不是爱情让我们变，是我们本来就在成长，在爱情或婚姻中的两个人，不可能时时刻刻成长步调一致，当步调出现差异的时候，会无所适从，觉得双方距离远了，不知道未来还能不能并肩作战。体现在你们两个身上，就是你男朋友忙着和朋友聚会，而你很孤独，总是需要他的那个时段。&br&&br&这种时候，人没有意识到问题所在，也不知道该怎么解决现状，那怎么办呢？进不了退不了，总是僵持着也不是个办法，只能归结于&我就是喜新厌旧了，这是人性，我也是人，避免不了。&此时，未婚者倾向于分手一了百了，已婚者倾向于冷冷淡淡凑合过日子，或者出轨。&br&&br&为什么很多情侣的爱情总能保鲜，很多夫妻结婚多年仍然恩爱如初？因为他们懂得，婚姻是两个人结成生活的同盟，共同成长，因为他们懂得，婚姻是多次坠入爱河，并且是和同一个人。当他们遇到困难，矛盾，首先想到的是，这是我们磨合的契机，成长的机会，就像玩通关游戏，如果过了这一关，我们将更成熟，我们的感情将更牢固，我们的心会更加贴近彼此。他们把矛盾看成是礼物，是机遇，他们首先想到的是面对它，深入它，战胜它。&br&&br&而有些人面对矛盾，首先想到的是找借口，比如&我喜新厌旧了&&我是畜生&&我犯了人性中不可避免的错误&，这些借口听起来是在骂自己，但这可以帮助他们不用去面对感情中的矛盾了，因为这样就有理由分手了嘛，多轻松。题主的男朋友就是这样，懦弱，逃避，因为面对问题他无从下手，就像面对乱乱的毛线团，他没有耐心和决心，也没有能力把它理顺，索性找个借口扔掉这个毛线团。&br&&br&2.为什么很多人认为&对一个人越好，ta就越不珍惜？&不管是这份&好&的付出方，还是接受方，都这样认为。那是因为，这份&好&只是付出方一厢情愿认为的&好&，而不是接受方真正想要的。如果这份好，真的顺了接受方的意，珍惜还来不及呢，不珍惜？脑子坏了吧。&br&举个例子，答主每次跟我妈吵架的时候，我妈最常用的话就是&我是为你好，又不是害你，这孩子真是不知好歹！&小时候的我对于这句话根本无法反驳，即使嘴上再硬，心里也会想&是啊，妈妈爱我，她即使骂我也是为我好，我怎么能这么不识好歹呢？&可是即使这样想了，我还是心里不舒服，下次遇到类似事情，还是会条件反射般地跟她吵架。&br&&br&直到我长大了懂得了一些道理，才知道了症结所在。现在我妈再跟我说这句话，我就会清晰地表达自己:&是的，我承认你是为我好，但这方式不是我想要的！你总觉得批评我责备我可以让我成长，让我学会做事，但我不需要这些！我从小听你的批评已经听够了！我想要你肯定我，想要你夸夸我！&虽然我妈表面上不为所动，但她对待我的方式确确实实在发生微妙的变化，而我，说出了内心想要，也觉得轻松很&br&&br&很多女孩，甚至很多男孩，都经常陷入这样的疑惑&为什么我对我的另一半很好很好，ta对我却很冷淡呢？我对ta越好，ta就越冷淡，是因为人性就是贱的吗？&&br&&br&不是的。这种情况就像上一段中我和我妈的情况。你们对另一半好，以你们喜欢的方式，且希望对方接受你们的好，且回报，就像我妈觉得多批评多责备是为我好，希望我理解她的苦心。而你们的另一半，一边疏远你们，一边又充满愧疚感，比如他们会说&你对我这么好，我却什么也给不了你，我真混蛋&&你对我越好我越不知珍惜，我真贱&&我再也遇不到像你这样对我好的了，可是我无能为力&，他们这时候的心态就像我小时候的心态，觉得妈妈是为我好，我怎么能顶嘴呢，我怎么能不理解呢，我真不孝，可是如果不顶嘴，好像我自己又挺委屈，这到底怎么回事呀，是不是我本来就是个不知好歹的不孝的孩子啊？他们和当时的我一样，不懂得喊出&这不是我想要的，给太多只会给我压力，让我喘不过气来！我希望你用XXX的方式爱我，而不是现在的方式！&&br&&br&他们找不到这个突破口，无法帮助自己的恋人调整爱的形式，只能把原因归结为自己贱，混蛋，不懂珍惜。谁愿意一直活在压力下，谁愿意一直活在&我好贱&的感觉下呢？所以他们只能放弃这段关系，因为关系没有了，压力就没有了，自己也就不&贱&了，一切问题就解决了，快刀斩乱麻，方便至极。&br&&br&总之，两个人分手了，不代表不爱了，他们只是不懂得如何去爱了。他们在并肩前行的道路上，一个人落后了，另一个人不懂得拉一把，也不懂得等一等，干脆分道扬镳了。遇到障碍了，不懂得搬走它或者跨过它，干脆不走了。这是我们的懒惰，懦弱在作祟，不愿意直面问题，不愿意动脑筋。&br&&br&但是这样的人，在这段感情中，快刀斩乱麻地一了百了了，在下段感情中，还是会遇到一样的问题，还是同样的结局，要么分手，要么结婚后形同路人。题主，你的前男友，如果不成长，你就等着吧，他再恋爱还是如此。&br&&br&爱情从来不是简简单单你爱我我爱你就行了，它是需要动脑筋的。幸福没有捷径，只有经营。
1.我不认为"谈恋爱久了就会喜新厌旧，这是人性，不可避免"。 2.我不认为"对一个人越好，ta就不珍惜，这是人性，不可避免。" 如果以上两个命题成立，那这世界该多让人讨厌，我们追求爱情该多愚蠢啊，这世间所有的爱情是多么的充满变数令人不安啊。难道说，那…
&p&&b&实名反对最高票剩饭的答案&/b&&/p&&p&&b&这个人是真的坏，三观歪到骨子里去了&/b&&/p&&p&&b&大家不要被他带歪，典型的营销号&/b&&/p&&p&&b&为了吸粉收智商税，颠倒黑白啥都干的出来&/b&&/p&&p&&b&因为我反对他就把我拉黑了，所以在我自己答案最后更新一下&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&“投我以木桃，报之以琼瑶。 匪报也， 永以为好也！”
&br&&/p&&p&一个爱你的人，不管你们是怎样相处，你都不会感到迷惘和无助的&/p&&p&哪怕你们鸡飞狗跳吵翻天，吵完之后你们还是想要走下去&/p&&p&她从未真心想与你好，不管你投入再多，她回报的也只有冷漠&br&&/p&&p&你会迷惘到来知乎求助，是因为她不爱你&/p&&p&&br&&/p&&p&严格意义上讲，你现在只是个备胎&/p&&p&虽然你们在一起四个月，哪怕你们在一起四年&/p&&p&你都只是个备胎而已&/p&&p&也许是因为年龄大了的焦虑&/p&&p&也许是因为你是个不错的结婚对象所以抱着试试看的心理&/p&&p&所以她才和你在一起，但她的感情和身体都一直无法接受你&/p&&p&如果有一天，她遇见了喜欢的人&/p&&p&她会离开你，毫不犹豫&/p&&p&至始至终，你都是她骑驴找马的那头驴&/p&&p&&br&&/p&&p&我看了下别的答案，大家都是抓住某一点问题对症下药&/p&&p&这样对于题主来说是治标不治本的&/p&&p&要么是站在男方角度劝分&/p&&p&要么是站在女方角度批评题主&/p&&p&感情的事本来就太主观，每一个细节都可以多种解读&/p&&p&也就没有一个正确的答案&/p&&p&题主之所以会陷入迷惘&/p&&p&是因为思考的格局太小了&/p&&p&想要找到属于自己的答案&/p&&p&让我们跳出两性关系，谈谈做人&/p&&p&&br&&/p&&p&我想题主不会让出租车开进一个难掉头的小区，因为这样不仁&/p&&p&（在两个人都健康的状态下你体恤司机不好掉头情愿走30米回家）&/p&&p&不会让自己的朋友为你想吃的东西来回跑六站，因为这样不义&/p&&p&（你体恤女友为他来回跑买吃的）&/p&&p&不会在公共餐厅吃带有强烈刺激性气味的食品，因为这样不礼&/p&&p&（你阻止女友在嘉和一品吃巨臭的螺蛳粉）&/p&&p&不会和一个自己不喜欢的人在一起，因为这样不智&/p&&p&（你为她付出很多，你很爱她）&/p&&p&恋爱了就是承诺要好好走下去，不会动辄冷战伤害这段关系，因为这样不信&/p&&p&（她不和你沟通，不和亲热，你一直为她的冷淡而痛苦）&/p&&p&你不会这样，是因为道德&/p&&p&仁义礼智信，是做人起码的道德准则&/p&&p&你们矛盾的根源在于有所差距的道德水平&/p&&p&而不是女性答主说的因为你不在乎她的感受&/p&&p&就算你做的超级照顾她的感受，为了她好好吃饭把餐厅别的客人都赶走&/p&&p&只要她认为这样是不对的，你们依然会产生矛盾&/p&&p&和你关系最好的朋友一定都是和你道德水平一致的人&/p&&p&否则无法成为好朋友&/p&&p&男女朋友就不用道德水平一致了吗？？&/p&&p&遇到道德水平不一致的人，你该怎么办自己一定有答案&/p&&p&&br&&/p&&p&看到有一些答主在为女主洗地&/p&&p&说女性就是容易情绪化，这时候不能和她讲道理，一定要让她觉得你很在意她&/p&&p&你情绪化是你个人的事，能够不分场合，不顾他人，我行我素的只有婴儿&/p&&p&你们不是在给女性洗地，是在洗巨婴&/p&&p&有本事你在肯德基吃汉堡，女主在你旁边吃一碗巨臭的螺蛳粉时你心里别骂娘啊&/p&&p&光有屁股没有脑子，圣母和巨婴根本就是一个玩意&/p&&p&（评论区的女生真是让我开眼了，无限极的和我撕，强调女性主观感受，强调我不可以批评别人，让我严于律己宽以待人，然而自己却可以为所欲为。你不影响别人，何来让别人对你宽以待人？？你都影响了别人，做错了事还这么理直气壮，这就是传说中的公主病）&/p&&p&&br&&/p&&p&&i&&b&更新一段怼最高票的回答&/b&&/i&&/p&&p&实名反对最高票剩饭的答案&/p&&p&典型的“三观看似极正其实极歪”&/p&&p&欺负观众不看题干，又装了一手好逼&/p&&p&为了吸粉收智商税颠倒黑白啥都干的出来&/p&&p&用一个高一点的姿势水平把屁股往女性那边一坐&/p&&p&坐等觉得你坐姿好看的人关注你&/p&&p&典型的营销号吸粉，呵呵&/p&&p&&br&&/p&&p&先说他列举的“螺蛳事件”，明明是“螺蛳粉”事件&/p&&p&直接把事件的性质从一个公共场所封闭空间吃刺激性食品的违害公德行为变成了吃普通食品的个人行为&/p&&p&然后屁股坐在女性那边说题主情商不够高&/p&&p&再来教你情商高的做法装个逼&/p&&p&你是在把题主当傻逼吧，题主得多刻板的一个人才会反对女友在餐厅吃个外带的螺蛳这个简单的玩意&/p&&p&是能把整间屋子的人都熏跑的巨臭螺蛳粉好吗！&/p&&p&你真相信和别人道个歉就能照顾好所有人的感受，体现自己情商高了吗？&/p&&p&一屋子客人吃饭，你让题主去跟每个人道一遍歉吗？&/p&&p&会不会有脾气差的客人和题主起冲突？&/p&&p&新进门的客人会不会觉得这间店有味道而直接离开？&/p&&p&店家的损失题主再去陪一遍？&/p&&p&你以为女主是从韩剧里捡的男朋友？！&/p&&p&好，题主把情商提高，把戏做足，女友会不会觉得题主这样做有病，然后又抛出一句三观不合分手吧&/p&&p&&br&&/p&&p&再说“出租车”事件&/p&&p&你让题主为了照顾所有人的感受，也就是所谓的高情商做法&/p&&p&给司机一点小费，乍一看这么做的很漂亮&/p&&p&这么做情商很高，出租车事件完美解决了&/p&&p&但是问题的根源没有解决，你让他每一次和女友坐车回家都给小费吗？&/p&&p&这是他的女朋友，是要朝夕相处的人，你让他每次都要完美照顾到所有人，用爆表的情商解决问题嘛？？&/p&&p&问题的根源是女友只考虑自己，不顾男友及第三方他人的感受&/p&&p&下次又出个别的事件，男主处理不好是不是女主又可以冷战提分手了？&/p&&p&然后再给剩饭你装逼的机会说题主情商不够高，看我怎么做？&/p&&p&你的回答都是不谈做人，不问是非，只说怎么把事情做的漂亮&/p&&p&但做事先做人，你做人有问题，做事也只能是对你做人的修补&/p&&p&总有你补不了的一天，那个时候你的情商突破天际也没用了&/p&&p&你所谓的情商，无非是尽力讨好所有人&/p&&p&有小聪明而无大事理，你只是个伪君子罢了&/p&&p&&br&&/p&&p&我答这个问题只是希望大家能够明白，做事先做人&/p&&p&做人没问题，做事才没问题，就算做错了也能改正&/p&&p&题主是因为爱女友，所以才在她做错的时候及时纠正，不愿让她错下去&/p&&p&但她做人有问题，你的爱能够她“作”几次？&/p&&p&道德水平不一致真的没办法相处&/p&&p&除非把你的道德水平拉低到她一样的程度，她说什么都对，她想怎样都好&/p&&p&否则你再高的情商都没用，不可能讨好她一辈子&/p&&p&从做人的角度看两性关系，否则主观感受难有是非对错，你会不停的陷入迷惘&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&再更，&/b&&/p&&p&有人说看了我的答案觉得有道理，看了最高票的答案也觉得有道理&/p&&p&我来解释一下原因&/p&&p&最高票强调“情商”用来解决事件，用一种非常理想性的方法去解决问题（但不一定具有可行性），这是一种典型的事后诸葛亮的方法，让你觉得他说的对，老哥稳，其中典型的代表就是在知乎被扒皮的矮大紧（简单点说，就是吹牛逼谁不会啊）&/p&&p&但这种马后炮仅仅只能解决事件，治标不治本，他给出的方案是提高情商，就可以乾坤大挪移把各种事件一一化解了，但这种方法根本不能解决问题&/p&&p&这次在嘉和一品吃螺蛳粉，那下次在星巴克吃方便面呢？&/p&&p&题主是不是要再和别人一一道歉，多打包两杯咖啡带走，再一次把所有人讨好一遍？&/p&&p&这就是问题所在，题主会考虑第三方他人的感受&/p&&p&而女主会更注重自己的感受甚至于我行我素&/p&&p&当女主我行我素影响到了旁人时，题主就会站出来反对了&/p&&p&这种矛盾并不是次次靠情商都能化解的&/p&&p&天天都要在一起的人，躲得了一时躲不了一世&/p&&p&所以矛盾还是要摊开来讲，把是非对错拎出来立一个相处的规矩&/p&&p&至于能不能处了，能怎么处那是题主自己的选择&/p&&p&&br&&/p&&p&最后，评论区里有人说道德是用来约束自己，不是用来约束别人的&/p&&p&题主应该严于律己，宽以待人&/p&&p&我想说，严于律己宽以待人是对外人用的，为了和外人不起冲突，当他是个傻逼的时候让他快点消失，比如遇见随意变道的司机，最好的办法是离他远点而不是去怼回去&/p&&p&但女朋友是自己人，没人会想把自己的女朋友惯成傻逼&/p&&p&&br&&/p&&p&再再更...&/p&&p&居然已经是最高赞了...你们太给力了！！！&/p&&p&根据评论区的讨论，我更说一点&/p&&p&女生们反复和我强调&b&“情绪”&/b&两个字&/p&&p&照顾到我的情绪，让我是被重视的被优先的，我才能感受到爱&/p&&p&题主没有做到，所以差劲（忙前忙后陪女友看病，来回六站给女友买饭两件事就被无视了...）&/p&&p&这个说法太对了，而且不止女生如此，男生也一样&/p&&p&当题主坚持原则的时候，他也是希望被重视，被优先&/p&&p&然而女友因此生气冷战才让他的情绪糟糕，觉得女友不爱自己的&/p&&p&姑娘们，当男友需要被重要，被优先，被爱的时候，你该怎么办？？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&最后更！！！&/b&&/p&&p&四千赞了，几十次回答里最多一次，谢谢大家&/p&&p&但这个答案也并不完美，希望下次灵感来时，可以答出足够好的答案让大家支持&/p&&p&让德以配位&/p&&p&&br&&/p&&p&我又更新的原因是题主私信了我，向我表达感谢，说明现在，阐述想法和谈论未来&/p&&p&港真，题主的照片是个不是很帅但很阳光的男人，像是中学时候班级里那个长大高高大大，带个眼镜，学习挺好，与人为善，靠谱踏实，大家都觉得人挺不错的那个同学。总之是很容易成为朋友的那种人，很让人喜欢，典型的理工男，哈哈~~&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-13a04f06b9da12effd0f8c_b.png& data-rawwidth=&653& data-rawheight=&372& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&653& data-original=&/v2-13a04f06b9da12effd0f8c_r.png&&&p&你说要提高情商，这个是好事，我支持你，但怕你又被带偏了&/p&&p&剩饭那个人所谓的情商是建立在讨好人的基础之上的，出发点是让所有人满意，表现自己会来事，也能让人高看他一眼，这样他会有好处。因为他是公务员，察言观色，溜须拍马的能力很强，你我都远远比不上。你习惯于坚持原则，他的方法你学不了，而且本来也不是什么好方法，我个人觉得做一个有原则的大好男儿更有魅力！！（虽然我也是单身狗...）&/p&&p&我的建议是，在你习惯性的坚持原则和想法的情况下要主动表达想法和情绪，并提出解决方案，在我看来，这也是情商&/p&&p&螺蛳粉事件里，你可以直接和女方表达她的做法让你不自在，你不习惯在别人家餐厅吃外带有味道的东西，影响别人你会很不好意思，我们在这吃点别的，回家再吃这个。&/p&&p&这里你表达了你的想法：“不要在这吃这个东西”，情绪：“你不自在，不好意思”，解决方案：“先吃别的，回去再吃这个”&/p&&p&只要你语气温柔诚恳，到这为止，愿意体贴你的女性应该会听你的，这也能让她了解你&/p&&p&出租车事件也是一样，你直接说出心中所想“司机师傅里面不好掉头，你也工作辛苦，停在门口就好了”，你再次表达了自己想法：“体恤司机辛苦”。&/p&&p&你看我评论区就知道，很多女生觉得你这样很好，表示赞赏！&/p&&p&这样女生又多了一次了解你的机会，她了解了你的为人处世，以后会省很多沟通成本的&/p&&p&尽量不要违心的去做迎合讨好的事情，因为这样违心的做事，自己会不开心，情绪会变差进而影响对方，最后还是双输的结局。&/p&&p&在感情里自我压抑会让你变得敏感易怒，失去魅力，伤人害己。&/p&&p&你看，我给你的方法都是在坚持自己想法的同时，做出表达，让人理解你，愿意理解你的人，是不会再和你闹矛盾的。如果你做到了对方却依然和你闹，那就是真的不合适了，分手了也不可惜。&/p&&p&这，就是一个直男的情商~&/p&&p&还有，你在知乎求助，没人知道你和她是谁，并没有对你们的生活造成影响，所以你不用介意这事，不要有包袱。&/p&&p&愿你在以后的情路上可以勇敢坦然。&/p&&p&&br&&/p&&p&最后《螺蛳粉，出租车》问题是什么鬼！！！&/p&&p&我拍桌笑了半天！！！啊哈哈哈哈哈哈！！！！&/p&
实名反对最高票剩饭的答案这个人是真的坏，三观歪到骨子里去了大家不要被他带歪，典型的营销号为了吸粉收智商税，颠倒黑白啥都干的出来因为我反对他就把我拉黑了，所以在我自己答案最后更新一下 “投我以木桃，报之以琼瑶。 匪报也， 永以为好也！” 一个爱…
&p&谢邀：紧性是空间最重要的性质之一，所谓的理解是建立在应用基础上的，离开这些例子，光靠解释是没用的。反过来，如果你都知道一些例子，你自己大概也能归纳出来。本质上紧性是允许我们像处理有限维空间那样处理一些无限维空间。&b& 特别的的，连续函数在一般的拓扑空间上的有界闭集上不一定有界，但是在紧集上确是可以达到最大最小值。我在下面的回答中列出了大量有限维和无限维上“函数”的区分：&/b&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&能不能把泛函简单地理解为函数？ - dhchen 的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&就算是一个拓扑里面紧性也可以定义两种：紧和列紧&b&。&/b&为了讨论方便，我只谈列紧性。对于一个（列）紧集，&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D%5Csubset+X& alt=&\{x_n\}\subset X& eeimg=&1&& 必然有子列&img src=&///equation?tex=x_k%5Cto+x%5E%2A& alt=&x_k\to x^*& eeimg=&1&& 收敛到某个点&img src=&///equation?tex=x%5E%2A%5Cin+X& alt=&x^*\in X& eeimg=&1&& 。紧性的用处很大，下面我举两个例子：&/p&&p&第一，利用紧性得到某个极小值，然后这个极小值可以推出所要的数学结果。比如，它可以&b&证明代数基本定理：&/b&&/p&&br&&br&&img src=&/v2-27485ceae59d06832d77fa_b.png& data-rawwidth=&1758& data-rawheight=&1360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1758& data-original=&/v2-27485ceae59d06832d77fa_r.png&&&br&&img src=&/v2-af76c2c533eb_b.png& data-rawwidth=&1602& data-rawheight=&930& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1602& data-original=&/v2-af76c2c533eb_r.png&&&br&&br&&img src=&/v2-cb928b52f828405bac533_b.png& data-rawwidth=&1544& data-rawheight=&1152& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1544& data-original=&/v2-cb928b52f828405bac533_r.png&&&p&第二，偏微分方程上证明解存在性的一个思路是这样的：为了解&img src=&///equation?tex=F%28x%29%3D0& alt=&F(x)=0& eeimg=&1&& ,我们首先找出容易解的一列方程&img src=&///equation?tex=F_n%28x%29%3D0& alt=&F_n(x)=0& eeimg=&1&& 使得&img src=&///equation?tex=F_n%5Cto+F& alt=&F_n\to F& eeimg=&1&& ,算出他们的解&img src=&///equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D& alt=&\{x_n\}& eeimg=&1&& ,然后证明它们在一个紧集合内，自然你可以找出一个极限&img src=&///equation?tex=x%5E%2A& alt=&x^*& eeimg=&1&& ,于是我们有&img src=&///equation?tex=F%28x%5E%2A%29%3D%5Clim+F_n%28x_n%29%3D0& alt=&F(x^*)=\lim F_n(x_n)=0& eeimg=&1&& 。下面我举一个例子。&/p&&br&&img src=&/v2-90c4fe4f416ef_b.png& data-rawwidth=&1514& data-rawheight=&788& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1514& data-original=&/v2-90c4fe4f416ef_r.png&&&br&&img src=&/v2-60b81d9b67bed05b8b5bef1e3eee3a13_b.png& data-rawwidth=&1594& data-rawheight=&1134& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1594& data-original=&/v2-60b81d9b67bed05b8b5bef1e3eee3a13_r.png&&&br&&img src=&/v2-60b81d9b67bed05b8b5bef1e3eee3a13_b.png& data-rawwidth=&1594& data-rawheight=&1134& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1594& data-original=&/v2-60b81d9b67bed05b8b5bef1e3eee3a13_r.png&&&br&&img src=&/v2-b93b26b105f7edd764e0c_b.png& data-rawwidth=&1514& data-rawheight=&994& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1514& data-original=&/v2-b93b26b105f7edd764e0c_r.png&&&br&&img src=&/v2-c72eceff9bff83ea37dba1c_b.png& data-rawwidth=&1452& data-rawheight=&486& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1452& data-original=&/v2-c72eceff9bff83ea37dba1c_r.png&&&p&第三，很多偏微分方程等价于某个拓扑空间上泛函的极小值问题：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cinf_%7BX%7D+F%28u%29& alt=&\inf_{X} F(u)& eeimg=&1&&&p&研究增这类泛函极小值的方法：变分法的direct method里面第一条就是利用紧性来证明极小值的存在性。举个例子：带有第一类边界条件的&/p&&img src=&///equation?tex=-%5CDelta+u%3Df& alt=&-\Delta u=f& eeimg=&1&&&p&弱解的存在性等价于&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%28u%29%3D%5Cint_%5COmega%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7C%5Cnabla+u%7C%5E2-fu+dx& alt=&f(u)=\int_\Omega\frac{1}{2}|\nabla u|^2-fu dx& eeimg=&1&&
在希尔伯特空间&img src=&///equation?tex=H%5E1_0%28%5COmega%29& alt=&H^1_0(\Omega)& eeimg=&1&& 上泛函极小值。level set &img src=&///equation?tex=M_%5Clambda%3A%3D%5C%7Bf%28u%29%5Cleq+%5Clambda%2C+%5C%7D& alt=&M_\lambda:=\{f(u)\leq \lambda, \}& eeimg=&1&&&/p&&p&在某个弱拓扑下是列紧的，从而基于这个泛函的弱列下半连续性可以推导出极小值是存在的。&/p&&br&&img src=&/v2-1c5c34154ff10bafe31b1f4c7cccfdca_b.png& data-rawwidth=&970& data-rawheight=&700& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&970& data-original=&/v2-1c5c34154ff10bafe31b1f4c7cccfdca_r.png&&
谢邀：紧性是空间最重要的性质之一，所谓的理解是建立在应用基础上的，离开这些例子，光靠解释是没用的。反过来，如果你都知道一些例子，你自己大概也能归纳出来。本质上紧性是允许我们像处理有限维空间那样处理一些无限维空间。 特别的的，连续函数在一般…
&img src=&/547e4de50ffababdacc74a4_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1018& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/547e4de50ffababdacc74a4_r.jpg&&这次主要讨论两个问题，一个是可移动边界的变分问题，另一个是含有哈密顿算子和矢量的泛函的变分问题。在文章の第三部分会给出一些物理上的例子，，，，，，&p&有关变分原理の内容会用到一些泛函分析的知识所以放到泛函分析之后再做介绍。&/p&&h2&&b&第一部分：可移动边界的变分问题&/b&&/h2&&p&以最速降线问题为例，我们在研究积分型泛函求极值的问题时，总是先假定其积分限固定不变。现在考虑这样一个问题，如果积分限是可变动の，那会怎样？&/p&&p&&b&1，最简泛函の变分问题：&/b&&/p&&p&设泛函&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7Bx1%7D%5E%7Bx2%7D+F%28x%2Cy%2Cy%27%29dx& alt=&J=\int_{x1}^{x2} F(x,y,y')dx& eeimg=&1&&，的极值曲线&img src=&/equation?tex=y%3Dy%5Cleft%28+x+%5Cright%29+& alt=&y=y\left( x \right) & eeimg=&1&&の左端点在&img src=&/equation?tex=y%3D%5Cvarphi+%5Cleft%28+x+%5Cright%29+& alt=&y=\varphi \left( x \right) & eeimg=&1&&上待定，右端点在&img src=&/equation?tex=y%3D%5Cpsi+%5Cleft%28+x+%5Cright%29+& alt=&y=\psi \left( x \right) & eeimg=&1&&上待定。&/p&&p&则：左端点在&img src=&/equation?tex=x%3Dx_%7B0%7D+& alt=&x=x_{0} & eeimg=&1&&处必满足：&img src=&/equation?tex=%5Cleft%5B+F%2B%28%5Cvarphi+%27-y%27%29F_%7By%27%7D++%5Cright%5D+_%7Bx%3Dx_%7B0%7D+%7D%3D0+& alt=&\left[ F+(\varphi '-y')F_{y'}
\right] _{x=x_{0} }=0 & eeimg=&1&&；&/p&&p&右端点在&img src=&/equation?tex=x%3Dx_%7B1%7D+& alt=&x=x_{1} & eeimg=&1&&处必满足：&img src=&/equation?tex=%5Cleft%5B+F%2B%28%5Cpsi+%27-y%27%29F_%7By%27%7D+%5Cright%5D+_%7Bx%3Dx_%7B1%7D+%7D%3D0+& alt=&\left[ F+(\psi '-y')F_{y'} \right] _{x=x_{1} }=0 & eeimg=&1&&；&/p&&p&以上两式是由&img src=&/equation?tex=%5Cdelta+J%3D0& alt=&\delta J=0& eeimg=&1&&推导出来の，故称为自然边界条件。&/p&&p&&b&2，依赖多个函数的变分问题：&/b&&/p&&p&设泛函&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7Bx0%7D%5E%7Bx1%7D+F%28x%2Cy%2Cz%2Cy%27%2Cz%27%29dx& alt=&J=\int_{x0}^{x1} F(x,y,z,y',z')dx& eeimg=&1&&的极值曲线左端边界条件&img src=&/equation?tex=y%28x_%7B0%7D%29%3Dy_%7B0%7D++& alt=&y(x_{0})=y_{0}
& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=z%28x_%7B0%7D%29%3Dz_%7B0%7D++& alt=&z(x_{0})=z_{0}
& eeimg=&1&&固定，右端点在已知曲线&img src=&/equation?tex=y_%7B1%7D+%3D%5Cvarphi+%5Cleft%28+x_%7B1%7D+%5Cright%29+& alt=&y_{1} =\varphi \left( x_{1} \right) & eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=z_%7B1%7D+%3D%5Cpsi+%5Cleft%28+x_%7B1%7D+%5Cright%29+& alt=&z_{1} =\psi \left( x_{1} \right) & eeimg=&1&&上变动，则极值曲线必满足：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cleft%5B+F%2B%28%5Cvarphi+%27-y%27%29F_%7By%27%7D+%2B%28%5Cpsi+%27-z%27%29+F_%7Bz%27%7D+%5Cright%5D+_%7Bx%3Dx_%7B1%7D+%7D+%3D0& alt=&\left[ F+(\varphi '-y')F_{y'} +(\psi '-z') F_{z'} \right] _{x=x_{1} } =0& eeimg=&1&&，称为横截性条件。若左端也是可动的，则和右端做同样的处理。&br&&/p&&p&例子：&/p&&p&求圆周&img src=&/equation?tex=%5CGamma+_%7B0%7D%3A%5CPhi+_%7B0%7D+%3Dx%5E%7B2%7D+%2By%5E%7B2%7D-+a%5E%7B2%7D%3D0++%2Cz%3D0& alt=&\Gamma _{0}:\Phi _{0} =x^{2} +y^{2}- a^{2}=0
,z=0& eeimg=&1&&与双曲线&img src=&/equation?tex=%5CGamma+_%7B1%7D+%3A%5CPhi+_%7B1%7D+%3Dz%5E%7B2%7D+-x%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D%3D0+%2Cy%3D0& alt=&\Gamma _{1} :\Phi _{1} =z^{2} -x^{2}-b^{2}=0 ,y=0& eeimg=&1&&之间的最短距离。&/p&&p&选取&img src=&/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&作为自变量，设曲线过&img src=&/equation?tex=%5CGamma+_%7B0%7D+& alt=&\Gamma _{0} & eeimg=&1&&上任意一点&img src=&/equation?tex=A%5Cleft%28+x_%7B0%7D+%2Cy_%7B0%7D%2C0++%5Cright%29+& alt=&A\left( x_{0} ,y_{0},0
\right) & eeimg=&1&&，过&img src=&/equation?tex=%5CGamma+_%7B1%7D+& alt=&\Gamma _{1} & eeimg=&1&&上任意一点&img src=&/equation?tex=B%5Cleft%28+x_%7B1%7D+%2C0%2Cz_%7B1%7D+%5Cright%29+& alt=&B\left( x_{1} ,0,z_{1} \right) & eeimg=&1&&，且所求曲线为：&img src=&/equation?tex=x%3Dx%5Cleft%28+z+%5Cright%29+%2Cy%3Dy%5Cleft%28+z+%5Cright%29+& alt=&x=x\left( z \right) ,y=y\left( z \right) & eeimg=&1&&，它使得泛函&img src=&/equation?tex=J%5Cleft%5B+x%5Cleft%28+z+%5Cright%29%2Cy%5Cleft%28+z+%5Cright%29+++%5Cright%5D+%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bz1%7D+%5Csqrt%7B1%2By%27%5E%7B2%7D+%2Bx%27%5E%7B2%7D+%7D+dz& alt=&J\left[ x\left( z \right),y\left( z \right)
\right] =\int_{0}^{z1} \sqrt{1+y'^{2} +x'^{2} } dz& eeimg=&1&&取最小值。其欧拉方程为：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdz%7D+%5Cfrac%7Bx%27%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%27%5E%7B2%7D+%2By%27%5E%7B2%7D+%7D+%7D++%3D0& alt=&-\frac{d}{dz} \frac{x'}{\sqrt{1+x'^{2} +y'^{2} } }
=0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdz%7D+%5Cfrac%7By%27%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%27%5E%7B2%7D+%2By%27%5E%7B2%7D+%7D+%7D+%3D0& alt=&-\frac{d}{dz} \frac{y'}{\sqrt{1+x'^{2} +y'^{2} } } =0& eeimg=&1&&，其横截条件为：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cleft%28+F_%7Bx%27%7D-+F_%7By%27%7D+%5Cfrac%7B%5CPhi+_%7B0x%7D+%7D%7B%5CPhi+_%7B0y%7D+%7D++%5Cright%29_%7Bz%3Dz_%7B0%7D+%7D++%3D0& alt=&\left( F_{x'}- F_{y'} \frac{\Phi _{0x} }{\Phi _{0y} }
\right)_{z=z_{0} }
=0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%5Cleft%28+F-x%27F_%7Bx%27%7D-y%27F_%7By%27%7D-F_%7Bx%27%7D+%5Cfrac%7B%5CPhi+_%7B1z%7D+%7D%7B%5CPhi+_%7B1x%7D+%7D++++%5Cright%29_%7Bz%3Dz_%7B1%7D+%7D%3D0+& alt=&\left( F-x'F_{x'}-y'F_{y'}-F_{x'} \frac{\Phi _{1z} }{\Phi _{1x} }
\right)_{z=z_{1} }=0 & eeimg=&1&&，解之得：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=x%27%28z%29%3D%5Cpm+%5Cfrac%7Ba+%7D%7B2%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Da%5E%7B2%7D++%7D+%7D+& alt=&x'(z)=\pm \frac{a }{2\sqrt{b^{2} +\frac{1}{4}a^{2}
} } & eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=y%27%28z%29%3D0& alt=&y'(z)=0& eeimg=&1&&，所以，最短距离为：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bz1%7D+%5Csqrt%7B1%2Bx%27%5E%7B2%7D+%2By%27%5E%7B2%7D+%7D+dz%3D%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+a%5E%7B2%7D+%7D+& alt=&J=\int_{0}^{z1} \sqrt{1+x'^{2} +y'^{2} } dz=\sqrt{b^{2} +\frac{1}{2} a^{2} } & eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&&b&3，依赖高阶导数的变分问题：&/b&&/p&&p&设泛函&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7Bx0%7D%5E%7Bx1%7D+F%28x%2Cy%2Cy%27%2Cy%27%27%29dx& alt=&J=\int_{x0}^{x1} F(x,y,y',y'')dx& eeimg=&1&&在某一端点固定，另一端点&img src=&/equation?tex=%5Cleft%28+x_%7B1%7D+%2Cy_%7B1%7D++%5Cright%29+& alt=&\left( x_{1} ,y_{1}
\right) & eeimg=&1&&在曲线&img src=&/equation?tex=y_%7B1%7D+%3D%5Cvarphi+%28x_%7B1%7D%29+& alt=&y_{1} =\varphi (x_{1}) & eeimg=&1&&上变动，且&img src=&/equation?tex=y%27_%7B1%7D+%3D%5Cpsi+%28x_%7B1%7D+%29& alt=&y'_{1} =\psi (x_{1} )& eeimg=&1&&，则该泛函的极值曲线&img src=&/equation?tex=y%3Dy%5Cleft%28+x+%5Cright%29+& alt=&y=y\left( x \right) & eeimg=&1&&在端点&img src=&/equation?tex=x%3Dx_%7B1%7D+& alt=&x=x_{1} & eeimg=&1&&处必满足自然边界条件：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cleft%5B+F%2B%28%5Cvarphi+%27-y%27%29%28F_%7By%27%7D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D+F_%7By%27%27%7D%29%2B%28%5Cpsi+%27-y%27%29F_%7By%27%27%7D+++%5Cright%5D+_%7Bx%3Dx_%7B1%7D+%7D%3D0+& alt=&\left[ F+(\varphi '-y')(F_{y'}-\frac{d}{dx} F_{y''})+(\psi '-y')F_{y''}
\right] _{x=x_{1} }=0 & eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&&b&4，依赖多元函数的变分问题：&/b&&/p&&p&设泛函&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7BD%7D%5E%7B%7DF%28x%2Cy%2Cu%2Cu_%7Bx%7D%2C+u_%7By%7D%29dxdy++& alt=&J=\int_{D}^{}F(x,y,u,u_{x}, u_{y})dxdy
& eeimg=&1&&取极值，其边界曲线在已知曲面上，&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi+%3D%5Cvarphi+%5Cleft%28+x%2Cy+%5Cright%29+& alt=&\varphi =\varphi \left( x,y \right) & eeimg=&1&&，则：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=F%2B%28%5Cvarphi+_%7Bx%7D-+u_%7Bx%7D+%29F_%7Bu_%7Bx%7D+%7D+%2B%28%5Cvarphi+_%7By%7D+-u_%7By%7D+%29F_%7Bu_%7By%7D+%7D%3D0+& alt=&F+(\varphi _{x}- u_{x} )F_{u_{x} } +(\varphi _{y} -u_{y} )F_{u_{y} }=0 & eeimg=&1&&.&br&&/p&&h2&&b&第二部分：依赖哈密顿算子和矢量の变分问题&/b&&/h2&&p&下面用&img src=&/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&表示哈密顿算子，小写字母为标量，大写字母为矢量。&/p&&p&&b&1，依赖哈密顿算子的变分问题：&/b&&/p&&p&泛函&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7D+F%28u%2CDu%2C%7CDu%7C%29dV& alt=&J=\int_{V}^{} F(u,Du,|Du|)dV& eeimg=&1&&取极值，相应的欧拉方程和边界条件为：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=F_%7Bu%7D+-D%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%28Du%29%7D+-D%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%28%7CDu%7C%29%7D+%5Cfrac%7BDu%7D%7B%7CDu%7C%7D+%3D0& alt=&F_{u} -D\cdot \frac{\partial F}{\partial (Du)} -D\cdot \frac{\partial F}{\partial (|Du|)} \frac{Du}{|Du|} =0& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%28Du%29%7D+%5Ccdot+N%29_%7BS%7D++%3D0& alt=&(\frac{\partial F}{\partial (Du)} \cdot N)_{S}
=0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%7CDu%7C%7D+%5Cfrac%7BDu%7D%7B%7CDu%7C%7D+%5Ccdot+N%29_%7BS%7D%3D0+& alt=&(\frac{\partial F}{\partial |Du|} \frac{Du}{|Du|} \cdot N)_{S}=0 & eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&&b&2，依赖矢量的变分问题：&/b&&/p&&p&泛函&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7DF%28+A%2C%7CA%7C%2CD%5Ccdot+A%2CD%5Ctimes+A%2C%7CD%5Ctimes+A%7C%29dV& alt=&J=\int_{V}^{}F( A,|A|,D\cdot A,D\times A,|D\times A|)dV& eeimg=&1&&取极值，相应的欧拉方程和边界条件为：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+F+%7D%7B%5Cpartial+A%7D+-D%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%28D%5Ccdot+A+%29%7D+%2BD%5Ctimes+%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%28D%5Ctimes+A%29%7D+%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%7CA%7C%7D+%5Cfrac%7BA%7D%7B%7CA%7C%7D+%2BD%5Ctimes+%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%7CD%5Ctimes+A%7C%7D+%5Cfrac%7BD%5Ctimes+A%7D%7B%7CD%5Ctimes+A%7C%7D+%3D0& alt=&\frac{\partial F }{\partial A} -D\frac{\partial F}{\partial (D\cdot A )} +D\times \frac{\partial F}{\partial (D\times A)} +\frac{\partial F}{\partial |A|} \frac{A}{|A|} +D\times \frac{\partial F}{\partial |D\times A|} \frac{D\times A}{|D\times A|} =0& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%28N%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%28DA%29%7D+%29_%7BS%7D+%3D0& alt=&(N\cdot \frac{\partial F}{\partial (DA)} )_{S} =0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%28D%5Ccdot+A%29%7D+N%29_%7BS%7D%3D0+& alt=&(\frac{\partial F}{\partial (D\cdot A)} N)_{S}=0 & eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%28D%5Ctimes+A%29%7D+%5Ctimes+N%29_%7BS%7D+%3D0& alt=&(\frac{\partial F}{\partial (D\times A)} \times N)_{S} =0& eeimg=&1&&，&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+%7CD%5Ctimes+A%7C%7D+%5Cfrac%7BD%5Ctimes+A%7D%7B%7CD%5Ctimes+A%7C%7D+%5Ctimes+N%29_%7BS%7D+%3D0& alt=&(\frac{\partial F}{\partial |D\times A|} \frac{D\times A}{|D\times A|} \times N)_{S} =0& eeimg=&1&&.&br&&/p&&h2&&b&第三部分：物理学中の例子&/b&&/h2&&p&&b&1，静电场：&/b&&/p&&p&静电场的能量为：&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7D%28++%5Crho+_%7Be%7D+%5Cvarphi+-%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon+_%7B0%7D+%7D%7B2%7D+%28D%5Cvarphi+%29%5Ccdot+%28D%5Cvarphi+%29%29dV& alt=&J=\int_{V}^{}(
\rho _{e} \varphi -\frac{\varepsilon _{0} }{2} (D\varphi )\cdot (D\varphi ))dV& eeimg=&1&&，其对应的欧拉方程为：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5CDelta+%5Cvarphi+%3D-%5Cfrac%7B%5Crho+_%7Be%7D+%7D%7B%5Cvarepsilon+_%7B0%7D+%7D+& alt=&\Delta \varphi =-\frac{\rho _{e} }{\varepsilon _{0} } & eeimg=&1&&，即为静电场の泊松方程。&br&&/p&&p&&b&2，电磁场：&/b&&/p&&p&电磁场的拉格朗日密度函数为：&img src=&/equation?tex=L%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%5Cvarepsilon+E%5E%7B2%7D++-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu+%7D+B%5E%7B2%7D+%29-%5Crho+%5Cvarphi+%2BJ%5Ccdot+A& alt=&L=\frac{1}{2}(\varepsilon E^{2}
-\frac{1}{\mu } B^{2} )-\rho \varphi +J\cdot A& eeimg=&1&&，使用洛伦茨规范，其相应的泛函（作用量）为：&/p&&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7Bt0%7D%5E%7Bt1%7D+%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7D+LdtdV%3D%5Cint_%7Bt0%7D%5E%7Bt1%7D+%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7D+%5Cleft%5B+%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon+%7D%7B2%7D%5Cleft%28+D%5Cvarphi++%5Cright%29+%5E%7B2%7D+%2B%5Cvarepsilon+D%5Cvarphi+%5Ccdot+A_%7Bt%7D+%2B%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon+%7D%7B2%7DA_%7Bt%7D%5E%7B2%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cmu+%7D++%28D%5Ctimes+A%29+%5E%7B2%7D-%5Crho+%5Cvarphi+%2BJ%5Ccdot+A+%5Cright%5D+dtdV& alt=&J=\int_{t0}^{t1} \int_{V}^{} LdtdV=\int_{t0}^{t1} \int_{V}^{} \left[ \frac{\varepsilon }{2}\left( D\varphi
\right) ^{2} +\varepsilon D\varphi \cdot A_{t} +\frac{\varepsilon }{2}A_{t}^{2} -\frac{1}{2\mu }
(D\times A) ^{2}-\rho \varphi +J\cdot A \right] dtdV& eeimg=&1&&&br&&p&其欧拉方程组为：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=D%5Ctimes+H%3DJ%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+D%7D%7B%5Cpartial+t%7D+& alt=&D\times H=J+\frac{\partial D}{\partial t} & eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=D%5Ccdot+D%3D%5Crho+& alt=&D\cdot D=\rho & eeimg=&1&&，结合洛伦茨规范，利用&img src=&/equation?tex=D%5Ctimes+D%5Cvarphi+%3D0%3BD%5Ccdot+D%5Ctimes+A%3D0& alt=&D\times D\varphi =0;D\cdot D\times A=0& eeimg=&1&&可得：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=D%5Ctimes+E%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+B%7D%7B%5Cpartial+t%7D+& alt=&D\times E=-\frac{\partial B}{\partial t} & eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=D%5Ccdot+B%3D0& alt=&D\cdot B=0& eeimg=&1&&，即为Maxwell方程组。&br&&/p&&p&&b&3，超导体&/b&&/p&&p&超导体の吉布斯自由能可写为：&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7D%28a_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7D%7C%5Cpsi++%7C+%5E%7B2%7D+%2Ba_%7B2%7D+%7C%5Cpsi+%7C%5E%7B4%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D+%7C-i%5Cfrac%7Bh%7D%7B2%5Cpi+%7DD%5Cpsi+-eA%5Cpsi++%7C%5E%7B2%7D+%2B%5Cfrac%7B%7CB%7C%5E%7B2%7D+%7D%7B2%5Cmu+_%7B0%7D+%7D+-B%5Ccdot+H%29dV& alt=&J=\int_{V}^{}(a_{n}+a_{1}|\psi
| ^{2} +a_{2} |\psi |^{4} +\frac{1}{2m} |-i\frac{h}{2\pi }D\psi -eA\psi
|^{2} +\frac{|B|^{2} }{2\mu _{0} } -B\cdot H)dV& eeimg=&1&&，其中：&img src=&/equation?tex=a_%7Bn%7D%2C+a_%7B1%7D%2C+a_%7B2%7D+& alt=&a_{n}, a_{1}, a_{2} & eeimg=&1&&为温度的函数，&img src=&/equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&&恒定。将泛函的拉格朗日函数带入相应的欧拉方程组，可得：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=a_%7B1%7D%5Cpsi+%2B2a_%7B2%7D%7C%5Cpsi+%7C%5E%7B2%7D%5Cpsi+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D+%28-i%5Cfrac%7Bh%7D%7B2%5Cpi+%7D+D-eA%29%5E%7B2%7D+%5Cpsi+%3D0& alt=&a_{1}\psi +2a_{2}|\psi |^{2}\psi +\frac{1}{2m} (-i\frac{h}{2\pi } D-eA)^{2} \psi =0& eeimg=&1&&，&/p&&p&&img src=&/equation?tex=J_%7Bs%7D+%3D%5Cfrac%7BD%5Ctimes+B%7D%7B%5Cmu+_%7B0%7D+%7D+%3D%5Cfrac%7Bieh%7D%7B4%5Cpi+m%7D+%28%5Cpsi+D%5Cpsi+%5E%7B%5Cast+%7D+-%5Cpsi+%5E%7B%5Cast+%7D+D%5Cpsi+%29-%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D+%7D%7Bm%7D+%7C%5Cpsi+%7C%5E%7B2%7D+A& alt=&J_{s} =\frac{D\times B}{\mu _{0} } =\frac{ieh}{4\pi m} (\psi D\psi ^{\ast } -\psi ^{\ast } D\psi )-\frac{e^{2} }{m} |\psi |^{2} A& eeimg=&1&&，即为金兹堡—朗道方程。&/p&
这次主要讨论两个问题，一个是可移动边界的变分问题，另一个是含有哈密顿算子和矢量的泛函的变分问题。在文章の第三部分会给出一些物理上的例子，，，，，，有关变分原理の内容会用到一些泛函分析的知识所以放到泛函分析之后再做介绍。第一部分：可移动边界…
&img src=&/b3c597b3eeda2_b.jpg& data-rawwidth=&436& data-rawheight=&663& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&436& data-original=&/b3c597b3eeda2_r.jpg&&&p&物理系的同学在本科的时候可能经历过这样一件事。或许是因为好奇，或许是为了复习，又或许是因为朋友的推荐，你在网上订了朗道的理论物理教程第一卷，“力学”。结果，仅仅学过高数，线性代数，和普通物理的你，看了没几页就有点儿懵逼了。你把第一章翻看了几遍之后，大概有了些头绪，还是有些地方始终使你感到迷惑，为什嘛力学体系の微分方程会等价于这个奇怪的“积分”&img src=&/equation?tex=S%3D%5Cint_%7Bt1%7D%5E%7Bt2%7D+Ldt& alt=&S=\int_{t1}^{t2} Ldt& eeimg=&1&&取极值呢？苯宝宝不明白啊(づ??????)づ......在当时，能给你留下深刻影响的，或许就只有“这部分推导用了分部积分”了......&/p&&p&那么，今天我们就来看看古典变分法吧( ^_^ )/~，古典变分法主要讨论的是积分型泛函求极值の问题。当然这里主要讨论的是泛函求极值的必要条件。&br&&/p&&h2&&b&第一部分：变分法の初步介绍&/b&&/h2&&p&&b&1，&/b&古典变分法主要解决的是积分型泛函求极值问题，这里の积分型泛函，指的是某个函数空间到一维实数空间&img src=&/equation?tex=R%5E%7B1%7D+& alt=&R^{1} & eeimg=&1&&的映射，即：“我给你一个函数，你给我出一个实数”。&/p&&p&例子：&/p&&p&（1）&img src=&/equation?tex=J++%3D%5Cint_%7Bt1%7D%5E%7Bt2%7D+F%5Cleft%28+x%28t%29%2Cx%27%28t%29%2Ct+%5Cright%29+dt& alt=&J
=\int_{t1}^{t2} F\left( x(t),x'(t),t \right) dt& eeimg=&1&&，其中,J是一元函数的某个集合到一维实数空间&img src=&/equation?tex=R%5E%7B1%7D+& alt=&R^{1} & eeimg=&1&&の映射，F称为泛函S的拉格朗日函数（也是关于&img src=&/equation?tex=x%28t%29& alt=&x(t)& eeimg=&1&&的泛函）。&/p&&p&（2）&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7BS%7D%5E%7B%7D+F%28u%28x%2Cy%29%2Cu_%7Bx%7D+%28x%2Cy%29%2Cu_%7By%7D%28x%2Cy%29%2Cx%2Cy%29dxdy+& alt=&J=\int_{S}^{} F(u(x,y),u_{x} (x,y),u_{y}(x,y),x,y)dxdy & eeimg=&1&&，是关于多元函数的泛函，F为其拉格朗日函数。&/p&&p&&b&2，&/b&泛函求极值问题，即是要找出函数空间内的一类函数，使这类函数在映射下的像（实数）取得极值。可以看出，泛函求极值问题就是要在某个函数的集合中，寻找满足极值条件的一类函数。再来看微分方程，微分方程某种意义上是在寻找一类让微分方程成立的函数（也是在找函数）。实际上我们可以求出与泛函求极值问题等价的微分方程，也可以构造与微分方程等价的泛函求极值问题。&br&&/p&&p&&b&3，&/b&那么我们该怎样做，才能把泛函求极值问题转化成微分方程的求解问题呢？先来看看一元函数吧，一元函数&img src=&/equation?tex=y%3Df%5Cleft%28+x+%5Cright%29+& alt=&y=f\left( x \right) & eeimg=&1&&，是&img src=&/equation?tex=R%5E%7B1%7D+& alt=&R^{1} & eeimg=&1&&到&img src=&/equation?tex=R%5E%7B1%7D+& alt=&R^{1} & eeimg=&1&&的映射，它取极值的必要条件是函数&img src=&/equation?tex=y%3Df%28x%29& alt=&y=f(x)& eeimg=&1&&的导数为零，即&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D0& alt=&\frac{dy}{dx} =0& eeimg=&1&&，这是一个代数方程，它的解为实数。再来看关于一元函数の泛函，&img src=&/equation?tex=J%3D%5Cint_%7Bx1%7D%5E%7Bx2%7D+F%28y%28x%29%2Cy%27%28x%29%2Cx%29dx& alt=&J=\int_{x1}^{x2} F(y(x),y'(x),x)dx& eeimg=&1&&，是一元函数集合到&img src=&/equation?tex=R%5E%7B1%7D+& alt=&R^{1} & eeimg=&1&&的映射，它取极值的必要条件是泛函&img src=&/equation?tex=J%3DJ%5Cleft%5B+y%28x%29%5Cright%5D+& alt=&J=J\left[ y(x)\right] & eeimg=&1&&,的变分（类比于函数的导数）为零，即&img src=&/equation?tex=%5Cdelta+J%3D0& alt=&\delta J=0& eeimg=&1&&，这是一个微分方程（就是我们要的），我们称其为欧拉方程，它的解为一元函数。&/p&&p&&b&4，&/b&同理，关于一元函数的泛函&img src=&/equation?tex=J%3DJ%5Cleft%5B+y%28x%29+%5Cright%5D+& alt=&J=J\left[ y(x) \right] & eeimg=&1&&的极值问题，对应于一个是常微分方程；关于多元函数的泛函&img src=&/equation?tex=J%3DJ%5Cleft%5B+u%28x%2Cy%29%5Cright%5D+& alt=&J=J\left[ u(x,y)\right] & eeimg=&1&&的极值问题，对应于一个偏微分方程。我们可以从泛函取极值推出微分方程的成立（必要条件）；但不能直接从微分方程的成立推出泛函一定取极值（必要条件）。&/p&&h2&&b&第二部分：依赖于一元函数的泛函的极值问题&/b&&/h2&&p&&b&1，最简泛函的变分问题：&/b&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=J%5Cleft%5B+y%28x%29+%5Cright%5D%3D%5Cint_%7Bx1%7D%5E%7Bx2%7D++F%28x%2Cy%2Cy%27%29dx%2Cy%28x_%7B1%7D%29%3Dy_%7B1%7D++%2Cy%28x_%7B2%7D+%29%3Dy_%7B2%7D+& alt=&J\left[ y(x) \right]=\int_{x1}^{x2}
F(x,y,y')dx,y(x_{1})=y_{1}
,y(x_{2} )=y_{2} & eeimg=&1&&，其对应的欧拉方程为：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=F_%7By%7D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D+F_%7By%27%7D+%3D0& alt=&F_{y} -\frac{d}{dx} F_{y'} =0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=y%28x_%7B1%7D%29%3Dy_%7B1%7D%2Cy%28x_%7B2%7D+%29%3D++y_%7B2%7D+& alt=&y(x_{1})=y_{1},y(x_{2} )=
y_{2} & eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&例子：最速降线问题&/p&&p&&img src=&/equation?tex=y%280%29%3D0%2Cy%28x_%7B1%7D+%29%3Dy_%7B1%7D+& alt=&y(0)=0,y(x_{1} )=y_{1} & eeimg=&1&&，由动能定理得：&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+mv%5E%7B2%7D+%3Dmgy& alt=&\frac{1}{2} mv^{2} =mgy& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=v%3D%5Csqrt%7B2gy%7D+& alt=&v=\sqrt{2gy} & eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7Bds%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7Bds%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D++%3D%5Csqrt%7B1%2By%27%5E%7B2%7D+%7D+%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D+& alt=&v=\frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dx}\frac{dx}{dt}
=\sqrt{1+y'^{2} } \frac{dx}{dt} & eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=T%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx1%7D+%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2By%27%5E%7B2%7D+%7D%7B2gy%7D+%7D+dx& alt=&T=\int_{0}^{x1} \sqrt{\frac{1+y'^{2} }{2gy} } dx& eeimg=&1&&，我们要求的就是泛函&img src=&/equation?tex=T%3DT%5Cleft%5B+y%28x%29+%5Cright%5D+& alt=&T=T\left[ y(x) \right] & eeimg=&1&&的极小值对应的曲线&img src=&/equation?tex=y%3Dy%28x%29& alt=&y=y(x)& eeimg=&1&&。&/p&&p&带入欧拉方程并积分得：&img src=&/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2By%27%5E%7B2%7D+%7D%7B2gy%7D+%7D+-%5Cfrac%7By%27%5E%7B2%7D+%7D%7B%5Csqrt%7B2gy%5Cleft%28+1%2By%27%5E%7B2%7D+%5Cright%29+%7D+%7D+%3Dc_%7B1%7D+& alt=&\sqrt{\frac{1+y'^{2} }{2gy} } -\frac{y'^{2} }{\sqrt{2gy\left( 1+y'^{2} \right) } } =c_{1} & eeimg=&1&&，令&img src=&/equation?tex=c%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2gc_%7B1%7D%5E%7B2%7D+%7D+& alt=&c=\frac{1}{2gc_{1}^{2} } & eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=y%27%3Dcot%5Ctheta+& alt=&y'=cot\theta & eeimg=&1&&，方程化简为：&img src=&/equation?tex=y%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7B1%2By%27%5E%7B2%7D+%7D+%3Dcsin%5E%7B2%7D+%5Ctheta+%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7B2%7D+%281-cos2%5Ctheta+%29& alt=&y=\frac{c}{1+y'^{2} } =csin^{2} \theta =\frac{c}{2} (1-cos2\theta )& eeimg=&1&&，因为，&img src=&/equation?tex=dx%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%27%7D%3D%5Cfrac%7Bcsin2%5Ctheta+d%5Ctheta+%7D%7Bcot%5Ctheta+%7D+%3Dc%281-cos2%5Ctheta+%29+d%5Ctheta+& alt=&dx=\frac{dy}{y'}=\frac{csin2\theta d\theta }{cot\theta } =c(1-cos2\theta ) d\theta & eeimg=&1&&积分得：&img src=&/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7B2%7D+%5Cleft%28+2%5Ctheta+-sin2%5Ctheta+%5Cright%29+%2Bc_%7B2%7D+& alt=&x=\frac{c}{2} \left( 2\theta -sin2\theta \right) +c_{2} & eeimg=&1&&，带入边界条件，令&img src=&/equation?tex=t%3D2%5Ctheta+& alt=&t=2\theta & eeimg=&1&&得：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=x%28t%29%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7B2%7D+%28t-sint%29& alt=&x(t)=\frac{c}{2} (t-sint)& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=y%28t%29%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7B2%7D+%281-cost%29& alt=&y(t)=\frac{c}{2} (1-cost)& eeimg=&1&&，这不就是旋轮线方程嘛(づ￣ —￣)づ&br&&/p&&br&&p&&b&2，依赖于多个一元函数的变分问题：&/b&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=J%5Cleft%5B+y%28x%29%2Cz%28x%29+%5Cright%5D+%3D%5Cint_%7Bx1%7D%5E%7Bx2%7D+F%28x%2Cy%2Cy%27%2Cz%2Cz%27%29dx& alt=&J\left[ y(x),z(x) \right] =\int_{x1}^{x2} F(x,y,y',z,z')dx& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=y%28x_%7B1%7D%29%3Dy_%7B1%7D++%2Cy%28x_%7B2%7D%29%3Dy_%7B2%7D%2Cz%28x_%7B1%7D+%29%3Dz_%7B1%7D+%2Cz%28x_%7B2%7D+%29%3Dz_%7B2%7D+++& alt=&y(x_{1})=y_{1}
,y(x_{2})=y_{2},z(x_{1} )=z_{1} ,z(x_{2} )=z_{2}
& eeimg=&1&&，其对应的欧拉方程组为：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=F_%7By%7D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D+F_%7By%27%7D+%3D0& alt=&F_{y} -\frac{d}{dx} F_{y'} =0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=F_%7Bz%7D-+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D+F_%7Bz%27%7D+%3D0& alt=&F_{z}- \frac{d}{dx} F_{z'} =0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=y%28x_%7B1%7D+%29%3Dy_%7B1%7D+%2Cy%28x_%7B2%7D+%29%3Dy_%7B2%7D+%2Cz%28x_%7B1%7D+%29%3Dz_%7B1%7D+%2Cz%28x_%7B2%7D+%29%3Dz_%7B2%7D+& alt=&y(x_{1} )=y_{1} ,y(x_{2} )=y_{2} ,z(x_{1} )=z_{1} ,z(x_{2} )=z_{2} & eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&例子：&img src=&/equation?tex=S%3D%5Cint_%7Bt1%7D%5E%7Bt2%7D+%5Cleft%28+T-U%5Cright%29+dt& alt=&S=\int_{t1}^{t2} \left( T-U\right) dt& eeimg=&1&&&/p&&p&我们来看一下与泛函&img src=&/equation?tex=S%5Cleft%5B+x%28t%29%2Cy%28t%29%2Cz%28t%29+%5Cright%5D+%3D%5Cint_%7Bt1%7D%5E%7Bt2%7D+%5Cleft%5B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cleft%28+x%27%5E%7B2%7D+%2By%27%5E%7B2%7D%2B+z%27%5E%7B2%7D++%5Cright%29++-U+%5Cright%5D+dt& alt=&S\left[ x(t),y(t),z(t) \right] =\int_{t1}^{t2} \left[ \frac{1}{2}m\left( x'^{2} +y'^{2}+ z'^{2}
-U \right] dt& eeimg=&1&&对应的微分方程，将它的拉格朗日函数带入欧拉方程得：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=-%5Cfrac%7B%5Cpartial+U%7D%7B%5Cpartial+x%7D+%3Dmx%27%27& alt=&-\frac{\partial U}{\partial x} =mx''& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=-%5Cfrac%7B%5Cpartial+U%7D%7B%5Cpartial+y%7D+%3Dmy%27%27& alt=&-\frac{\partial U}{\partial y} =my''& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=-%5Cfrac%7B%5Cpartial+U%7D%7B%5Cpartial+z%7D+%3Dmz%27%27& alt=&-\frac{\partial U}{\partial z} =mz''& eeimg=&1&&，这就是直角坐标系下的牛顿第二定律吖。&/p&&p&&b&3，依赖于高阶导数的变分问题：&/b&&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=J%5Cleft%5B+y%28x%29+%5Cright%5D+%3D%5Cint_%7Bx1%7D%5E%7Bx2%7D+F%28x%2Cy%2Cy%27%2Cy%27%27%29dx& alt=&J\left[ y(x) \right] =\int_{x1}^{x2} F(x,y,y',y'')dx& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=y%5Cleft%28+x_%7B1%7D++%5Cright%29+%3Dy_%7B1%7D+%2Cy%28x_%7B2%7D%29%3Dy_%7B2%7D%2Cy%27%28x_%7B0%7D%29%3Dy%27_%7B0%7D+++%2Cy%27%28x_%7B1%7D+%29%3Dy%27_%7B1%7D+& alt=&y\left( x_{1}
\right) =y_{1} ,y(x_{2})=y_{2},y'(x_{0})=y'_{0}
,y'(x_{1} )=y'_{1} & eeimg=&1&&，其对应的欧拉方程为：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=F_%7By%7D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D+F_%7By%27%7D%2B+%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7D+%7D%7Bdx%5E%7B2%7D+%7D+F_%7By%27%27%7D+%3D0& alt=&F_{y} -\frac{d}{dx} F_{y'}+ \frac{d^{2} }{dx^{2} } F_{y''} =0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=y%28x_%7B1%7D+%29%3Dy_%7B1%7D+%2Cy%28x_%7B2%7D+%29%3Dy_%7B2%7D+%2Cy%27%28x_%7B1%7D+%29%3Dy%27_%7B1%7D+%2Cy%27%28x_%7B2%7D+%29%3Dy%27_%7B2%7D+& alt=&y(x_{1} )=y_{1} ,y(x_{2} )=y_{2} ,y'(x_{1} )=y'_{1} ,y'(x_{2} )=y'_{2} & eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&例子：&/p&&p&现在考虑这样一个问题O(∩_∩)O~，我们有长度为Lの两端简支弹性梁，承受着均匀分布的载荷q的作用，那么梁取什么样的挠度曲线时，系统的总势能最小呢？&/p&&p&设挠度曲线为&img src=&/equation?tex=y%3Dy%28x%29%0A& alt=&y=y(x)
& eeimg=&1&&，梁の抗弯刚度为&img src=&/equation?tex=EI& alt=&EI& eeimg=&1&&，系统的总势能等于梁的弯曲应变能加上载荷势能。&/p&&p&&img src=&/equation?tex=U%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D+%5Cleft%28+EIy%27%27%5E%7B2%7D-2qy++%5Cright%29+dx& alt=&U=\frac{1}{2} \int_{0}^{L} \left( EIy''^{2}-2qy
\right) dx& eeimg=&1&&，边界条件为：&img src=&/equation?tex=y%280%29%3Dy%28L%29%3Dy%27%27%280%29%3Dy%27%27%28L%29%3D0& alt=&y(0)=y(L)=y''(0)=y''(L)=0& eeimg=&1&&，带入欧拉方程得：&img src=&/equation?tex=EIy%27%27%27%27-q%3D0& alt=&EIy''''-q=0& eeimg=&1&&，其通解为：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=y%28x%29%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B24EI%7D+x%5E%7B4%7D+%2Bc_%7B1%7D+x%5E%7B3%7D%2B+c_%7B2%7D+x%5E%7B2%7D%2B+c_%7B3%7D+x%2Bc_%7B4%7D++& alt=&y(x)=\frac{q}{24EI} x^{4} +c_{1} x^{3}+ c_{2} x^{2}+ c_{3} x+c_{4}
& eeimg=&1&&，带入边界条件得：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=y%28x%29%3D%5Cfrac%7Bqx%7D%7B24EI%7D+%28x%5E%7B3%7D+-2Lx%5E%7B2%7D+%2BL%5E%7B3%7D+%29& alt=&y(x)=\frac{qx}{24EI} (x^{3} -2Lx^{2} +L^{3} )& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%5Cleft%280+%5Cleq+x%5Cleq+L++%5Cright%29+& alt=&\left(0 \leq x\leq L
\right) & eeimg=&1&&，此时系统的总势能为：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=U%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cleft%5B+%5Cfrac%7Bq%5E%7B2%7D+%7D%7B4EI%7D%28x%5E%7B2%7D-Lx+%29+%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7Bq%5E%7B2%7D+x%7D%7B12EI%7D+%28x%5E%7B3%7D-2L+x%5E%7B2%7D%2B+L%5E%7B3%7D+%29+%5Cright%5D+++dx%3D%5Cfrac%7Bq%5E%7B2%7D+L%5E%7B5%7D+%7D%7B240EI%7D+& alt=&U=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\left[ \frac{q^{2} }{4EI}(x^{2}-Lx ) ^{2}-\frac{q^{2} x}{12EI} (x^{3}-2L x^{2}+ L^{3} ) \right]
dx=\frac{q^{2} L^{5} }{240EI} & eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&同理，当梁的两端为固支时，方程通解不变，只要把边界条件变为：&img src=&/equation?tex=y%280%29%3Dy%28L%29%3Dy%27%280%29%3Dy%27%28L%29%3D0& alt=&y(0)=y(L)=y'(0)=y'(L)=0& eeimg=&1&&，即可。&/p&&h2&&b&第三部分：依赖于多元函数的变分问题&/b&&/h2&&p&设平面区域D，&img src=&/equation?tex=u%3Du%28x%2Cy%29& alt=&u=u(x,y)& eeimg=&1&&在D的界的情况已知。&/p&&p&&img src=&/equation?tex=J%5Cleft%5B+u%28x%2Cy%29+%5Cright%5D+%3D%5Cint_%7BD%7D%5E%7B%7D+F%28x%2Cy%2Cu%2Cu_%7Bx%7D+%2Cu_%7By%7D%29dxdy+& alt=&J\left[ u(x,y) \right] =\int_{D}^{} F(x,y,u,u_{x} ,u_{y})dxdy & eeimg=&1&&，其对应的欧拉方程为：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=F_%7Bu%7D-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x%7D+F_%7Bu_%7Bx%7D+%7D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D+F_%7Bu_%7By%7D+%7D+%3D0& alt=&F_{u}- \frac{\partial }{\partial x} F_{u_{x} } -\frac{\partial }{\partial y} F_{u_{y} } =0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=u%3Du%5Cleft%28+x%2Cy+%5Cright%29+& alt=&u=u\left( x,y \right) & eeimg=&1&&（边界上）&br&&/p&&p&例子：&/p&&p&（1）静电场的能量：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=U%3D%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7D+%5Cleft%5B+%5Crho+%5Cvarphi+-%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon+_%7B0%7D+%7D%7B2%7D+%5Cleft%28+u_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B+u_%7By%7D%5E%7B2%7D+%2Bu_%7Bz%7D%5E%7B2%7D+%5Cright%29+%5Cright%5D+dxdydz& alt=&U=\int_{V}^{} \left[ \rho \varphi -\frac{\varepsilon _{0} }{2} \left( u_{x}^{2}+ u_{y}^{2} +u_{z}^{2} \right) \right] dxdydz& eeimg=&1&&，将能量密度带入欧拉方程可得：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=u_%7Bxx%7D+%2Bu_%7Byy%7D%2B+u_%7Bzz%7D+%3D-%5Cfrac%7B%5Crho+_%7Be%7D+%7D%7B%5Cvarepsilon+_%7B0%7D+%7D+& alt=&u_{xx} +u_{yy}+ u_{zz} =-\frac{\rho _{e} }{\varepsilon _{0} } & eeimg=&1&&，这就是静电场的泊松方程。可以证明，泊松方程是其取极值的充分必要条件，故静电场的库仑定律等价于静电场の能量取极值。&br&&/p&&p&（2）弦的振动方程：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=S%3D%5Cint_%7B%5COmega+%7D%5E%7B%7D+%5Cleft%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Crho+u_%7Bt%7D%5E%7B2%7D+-%5Cfrac%7BT%7D%7B2%7D+u_%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%5Cright%29+dxdt& alt=&S=\int_{\Omega }^{} \left( \frac{1}{2} \rho u_{t}^{2} -\frac{T}{2} u_{x}^{2} \right) dxdt& eeimg=&1&&，带入欧拉方程即可得：&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=u_%7Btt%7D+%3Da%5E%7B2%7D+u_%7Bxx%7D+& alt=&u_{tt} =a^{2} u_{xx} & eeimg=&1&&，即为弦の振动方程。&br&&/p&&br&&br&&p&到此我们介绍了一些积分型泛函求极值の必要条件。下面还有四个重要的问题没有介绍：&br&&/p&&p&1，可移动边界的变分问题。&/p&&p&2，条件极值的变分问题。&/p&&p&3，含有，矢量，哈密顿算子，张量，的变分问题。&/p&&p&4，积分型泛函取极值の充分条件。&/p&&br&&br&&p&&b&其实，从物理的角度看，最小作用量原理有着很多物理上的好处：&/b&&/p&&p&1，处理力学问题时不必再进行受力分析，这是本科初学阶段最直接的好处。&/p&&p&2，可以利用拉格朗日乘数法处理有约束の问题，下次我们会通过分析一个实例“单摆”，来介绍这部分内容。&/p&&p&3，方便推广到场论部分以及进一步进行场的量子化。&/p&&p&4，方便讨论体系の对称性的问题（以后专门写一次诺特定理吧）。&br&&/p&&br&&p&完啦，这次の已经没了╮(╯_╰)╭。。。。。。&/p&
物理系的同学在本科的时候可能经历过这样一件事。或许是因为好奇，或许是为了复习，又或许是因为朋友的推荐，你在网上订了朗道的理论物理教程第一卷，“力学”。结果，仅仅学过高数，线性代数，和普通物理的你，看了没几页就有点儿懵逼了。你把第一章翻看了…
本文收录在&a href=&/p/& class=&internal&&无痛的机器学习第一季&/a&。&br&&p&番外篇正式开始，我们主要利用番外篇的时间聊一些机器学习中的黑盒部分——没错，就是优化算法。之前接受过前辈的教诲，一个机器学习的套路可以分解成三个部分——模型，目标和优化方法。模型用来定义待解决的问题，目标（一般也会被称作损失函数）用来明确评价模型质量的方法，而优化算法则是具体解决求解过程的问题。有了这三个部分，我们可以说在学术的角度上我们基本上就搞定了一个机器学习问题。之所以在前面加上了学术这两个字，是因为在工业界一个机器学习的问题就不止这三部了。&/p&&p&好了回到正题，我们回到前面的三个部分，一般来说第一部分是最灵活的，第二部分也算灵活，但还是有一定的约束的，然而第三部分——一般来说都是非常确定的，而且一般也是以一个黑盒的状态出现的。&/p&&p&于是乎大家一般对第一部分和第二部分更为关注，而对第三部分相对忽视一些。于是乎我们这里就反其道而行，作死地选择和大家聊聊第三部分——优化。实际上在前面的正文中我们已经花了很大的篇幅去聊一些优化算法，下面我们继续聊一些经典的算法。&/p&&h2&最速下降法&/h2&&p&友情提示，下面我们要聊的内容主要用于凸函数。关于凸函数的性质这里就不多说了，大家不懂的去查查资料就好。前面我们提到了梯度下降法，也提到了梯度下降法中那个让人头疼的learning rate，那么我们有没有其他的办法不去计算这个learning rate，又能让剃度下降的每一步尽可能地走好呢？&/p&&p&于是有大神们发明了下面这个方法——最速下降法。所谓的最速下降法，就是在确定下降方向后，从下降方向中找到下降程度最大的一点进行下降。我们可以用形式化的方式来明确表述下：&/p&&p&如果说我们前面的梯度下降法是先求出梯度，再根据预先设定的learning rate完成下降，那么就完成了一轮的优化；&/p&&p&而最速下降法在求出梯度之后，要进行另外一个小优化问题的求解过程，那就是选择最合适的learning rate，使得函数值最小，如果待求的函数为f(x)，当前的迭代轮数为t，那么当前函数的优化的参数解是&img src=&/equation?tex=x_t& alt=&x_t& eeimg=&1&&，这一点的梯度为&img src=&/equation?tex=-g_t& alt=&-g_t& eeimg=&1&&，于是我们小优化问题就变成了：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Calpha_t%3Dargmin_%7B%5Calpha_t%7Df%28x_t-%5Calpha_t%2Ag%29& alt=&\alpha_t=argmin_{\alpha_t}f(x_t-\alpha_t*g)& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=x_%7Bt%2B1%7D%3Dx_t-%5Calpha_t%2Ag& alt=&x_{t+1}=x_t-\alpha_t*g& eeimg=&1&&&br&&p&好了，下面就该求解这个问题了。实际上我们同样可以采用求梯度并令梯度值为0的方式求出，但是那种方法并不是很容易推导出一个通用的公式，所以我们可以采用另外的方法求出一个公式来。&/p&&h2&梯度正交&/h2&&p&最速下降法的优化方向有一个特点，那就是相邻两轮迭代的梯度相互正交。这个特点对于推导最终的算法十分重要，我们首先来证明一下。&/p&&p&证明这个问题的最好方法是反证法。我们假设迭代轮数分别为t和t+1的梯度分别为&img src=&/equation?tex=g_t& alt=&g_t& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=g_%7Bt%2B1%7D& alt=&g_{t+1}& eeimg=&1&&，如果两个梯度不正交，那么我们就可以把&img src=&/equation?tex=g_%7Bt%2B1%7D& alt=&g_{t+1}& eeimg=&1&&分解成两个部分——&/p&&ol&&li&与&img src=&/equation?tex=g_t& alt=&g_t& eeimg=&1&&共线的部分&img src=&/equation?tex=g_%7Bt%2B1%7D%5Et& alt=&g_{t+1}^t& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&与&img src=&/equation?tex=g_t& alt=&g_t& eeimg=&1&&正交的部分&img src=&/equation?tex=g_%7Bt%2B1%7D%27& alt=&g_{t+1}'& eeimg=&1&&&br&&/li&&/ol&&br&&p&那么问题来了——对于被第t轮更新后&img src=&/equation?tex=x_%7Bt%2B1%7D& alt=&x_{t+1}& eeimg=&1&&来说，在&img src=&/equation?tex=g_t& alt=&g_t& eeimg=&1&&这个方向上应该是最小的了，换句话说在这个点上，关于&img src=&/equation?tex=g_t& alt=&g_t& eeimg=&1&&的方向梯度应该为0，那么&img src=&/equation?tex=g_%7Bt%2B1%7D& alt=&g_{t+1}& eeimg=&1&&就不应该有&img src=&/equation?tex=g_t& alt=&g_t& eeimg=&1&&方向的分量。如果有就说明上一轮迭代并没有做到最优，和我们的假设矛盾，所以假设不成立，我们最终可以认定，&img src=&/equation?tex=g_t& alt=&g_t& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=g_%7Bt%2B1%7D& alt=&g_{t+1}& eeimg=&1&&是正交的。&/p&&p&知道了正交的特点，我们就可以用这个性质来进行计算了。我们的经典问题是一个二阶优化问题：&/p&&img src=&/equation?tex=f%28X%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DX%5ETAX& alt=&f(X)=\frac{1}{2}X^TAX& eeimg=&1&&&br&&p&首先为了保证这个问题是凸函数，我们需要对上面的一些内容做约束，具体来说就是A是对称正定的，这样，我们就能保证函数的凸性质了。&/p&&p&于是乎，我们可以得到第一个公式：&/p&&p&g=AX&/p&&p&然后是第二个公式，也就是我们刚才推倒了半天得到的结论：&/p&&img src=&/equation?tex=g_t%5ETg_%7Bt%2B1%7D%3D0& alt=&g_t^Tg_{t+1}=0& eeimg=&1&&&br&&p&最后是第三个公式，也是大家喜闻乐见的参数更新公式：&/p&&img src=&/equation?tex=x_%7Bt%2B1%7D%3Dx_t-%5Calpha_tg_t& alt=&x_{t+1}=x_t-\alpha_tg_t& ee}