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如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的大小； （Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．
题型：解答题难度：偏难来源：广东省同步题
解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE． ∵△ABC是正三角形， ∴AE⊥BC．又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且两平面交线为BC， ∴AE⊥侧面BB1C1C．连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角． ∴∠ADE=45°． 在Rt△AED中，，解得．∴此正三棱柱的侧棱长为．（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF． ∵AE⊥侧面BB1C1C，∴EF是AF在平面BCD内的射影．由三垂线定理，可知AF⊥BD． ∴∠AFE为二面角A﹣BD﹣C的平面角．在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1， ，∴．又，∴在Rt△AEF中，．故二面角A﹣BD﹣C的大小为arctan3．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF， ∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．∴EG的长为点E到平面ABD的距离． 在Rt△AEF中，．∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，..”主要考查你对&&二面角，直线与平面所成的角，点到直线、平面的距离，三垂线定理及其逆定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二面角直线与平面所成的角点到直线、平面的距离三垂线定理及其逆定理
半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&直线与平面所成的角的定义：
①直线和平面所成的角有三种：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.②取值范围：00≤θ≤900．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 最小角定理：
斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。 求直线与平面所成的角的方法:
(1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小．(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则 点到直线的距离：
由点向直线引垂线，这一点到垂足之间的距离。
点到平面的距离：
由点向平面引垂线，这点到垂足之间的距离，就叫做点到平面的距离。 求点面距离常用的方法：
(1)直接利用定义①找到（或作出）表示距离的线段；②抓住线段（所求距离）所在三角形解之．(2)利用两平面互相垂直的性质如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离．(3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由求出．这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离，难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算．(4)转化法：将点到平面的距离转化为直线与平面的距离来求．(5)向量法： 正射影的概念：
自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在平面内的正射影（简称为射影）；
平面的斜线的概念：
如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。 三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：
如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 三垂线定理与其逆定理的关系：
即： 三垂线定定理的主要应用：
证明线线、线面垂直，求点到线的距离、二面角大小。
应用两个定理解题的一般思路：&
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与“如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，..”考查相似的试题有：
338367621195269313398919260353269266(本题满分14分) 如图所示，在正三棱柱ABC -A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点。
（I）求证：A1B1//平面ABD； （II）求证：AB⊥CE； （III）求三棱锥C-ABE的体积。 &
试题及解析
学段：高中
学科：数学
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(本题满分14分)
如图所示，在正三棱柱ABC -A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点。
（I）求证：A1B1//平面ABD；
（II）求证：AB⊥CE；
（III）求三棱锥C-ABE的体积。
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（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）见解析；
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关注考拉官方微信在底面为正三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC中点，直线_百度知道
在底面为正三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC中点，直线
直线AB1与平面BCC1B1所成的角为30°，D是AC中点，且侧棱与底面垂直的三棱柱ABC—A1B1C1中在底面为正三角形
提问者采纳
2a显然BF=√3&#47，故过D点做AB1的平行线，AB1=CB1，则角AB1E就是直线AB1与平面BCC1B1所成的角，所以三角形为等边三角形，角FDB=60即，则AE=√3&#47，过A做AE垂直BC，所以AB1=√3a在三角形AB1C中，AB1=2AE;2a，垂足为E;2a，DB=DF=BF=√3&#47，所以在直角三角形AEB1中，DF=AB1&#47。设正三角形边长为a;2a故在三角形DFB中在底ABC中;2=√3&#47，交CB1于F
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