设a,b为正实数,n∈N,且a+b=2,求1/1+a^n+1/1+b^n的最小值_百度作业帮
设a,b为正实数,n∈N,且a+b=2,求1/1+a^n+1/1+b^n的最小值
设a,b为正实数,n∈N,且a+b=2,求1/1+a^n+1/1+b^n的最小值
可先考虑特殊情况:当a=1,b=1,n=1时,1/(1+a^n)+1/(1+b^n)=1.当a=1/2,b=3/2,n=1时,1/(1+a^n)+1/(1+b^n)=2/3+2/5.由此可猜想1/(1+a^n)+1/(1+b^n)≥1.以下予以证明:∵a、b>0,∴依均值不等式得 ab≤[(a+b)/2]^2 →ab≤1 → a^nb^n≤1.从而,1/(1+a^n)+1/(1+b^n) =(1+a^n+1+b^n)/(1+a^n+b^n+a^nb^n) ≥(1+a^n+b^n+1)/(1+a^n+b^n+1) (缩放) =1.当且仅当a=b=1时上式等号成立.∴1/(1+a^n)+1/(1+b^n)的最小值为1.已知ab=1,比较M.N的大小 M=1/1+a+1/1+b N=a/1+a+b/1+b_百度作业帮
已知ab=1,比较M.N的大小 M=1/1+a+1/1+b N=a/1+a+b/1+b
已知ab=1,比较M.N的大小 M=1/1+a+1/1+b N=a/1+a+b/1+b
因：ab=1　所以有：M=1/(1+a)+(1/(1+b)=[(1+b)+(1+a)]/(1+a)(1+b)=(2+a+b)/(1+a+b+ab)=(2+a+b)/(2+a+b)=1N=a/(1+a)+b(1+b)=[a(1+b)+b(1+a)]/(1+a)(1+b)=(a+ab+b+ab)/(1+a+b+ab) =(2+a+b)/(2+a+b)=1所以可得：M=N
∵ab＝1∴N=a/﹙1+a﹚+b/﹙1+b﹚
＝ a／﹙ab＋a﹚＋b／﹙ab＋b﹚
＝1／﹙1+b﹚＋1／﹙1+a﹚＝M即M＝N
您可能关注的推广已知a、b满足ab=1,M=（1/1+a）+(1/1+b),N=（a/1+a）+(1/1+b),则M,N的关系是A、M＞N B、M=N C、M＜N D、无法确定_百度作业帮
已知a、b满足ab=1,M=（1/1+a）+(1/1+b),N=（a/1+a）+(1/1+b),则M,N的关系是A、M＞N B、M=N C、M＜N D、无法确定
A、M＞N B、M=N C、M＜N D、无法确定
设Q=1/(1+b) 则M=[1/(1+a)]+Q,N=a*[1/(1+a)]+Q,M'=1/(1+a),N'=a*[1/(1+a)],要比较M,N,只要比较M',N',M'/N'=1/a=b,(1)当b>1时,M'>N',即M>N; (2)当b实数a、b满足ab=1，记M=1/1+a+1/1+b，N=a/1+a+b/1+b。则M、N的大小关系为M=N。 为什么？谁能给我过程、、急！急！急！
实数a、b满足ab=1，记M=1/1+a+1/1+b，N=a/1+a+b/1+b。则M、N的大小关系为M=N。 为什么？谁能给我过程、、急！急！急！
M=b+1+a+1/(a+1)(b+1)
N=ab+a+ab+b/(a+1)(b+1)
ab=1
M=N=2+a+b/(a+1)(b+1)
其他回答 (4)
因为ab=1& 所以 a=1 b=1 所以相等
因为M-N=1/(1+a) + 1/(1+b) - a/(1+a) - b/(1+b)&&&&& =(1-a)/(1+a) + (1-b)/(1+b)&&&&& =(1-a)(1+b)/(1+a)(1+b) + (1-b)(1+a)/(1+b)(1+a)&&&&& =(1+b-a-ab+1+a-b-ab)/(1+a)(1+b)&&&&& =0所以M=N
M=（2+a+b）/(1+a)(1+b)N=(a+b+ab+ab)/(1+a)(1+b)=(2+a+b)/(1+a)(1+b）所以，M=N & &通分一下就好
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不等式证明
解:令f(x)=xlnx(x&0),易知
f'(x)=lnx+1.
由Lagrange中值定理得:存在实数s、t,使得1&s&1+a,1+b&t&1+a+b,且
f(1+a)-f(1)=af'(s)
f(1+a+b)-f(1+b)=af'(t)
f'(s)=lns+1&lnt+1=f'(t)
af'(s)&af'(t)
f(1+a)-f(1)&f(1+a+b)-f(1+b)
f(1+a)+f(1+b)=f(1)+f(1+a+b)
即原不等式成立。
f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,f''(x)=1/x+1, ∵ x&0,
f''(x)&0, ∴ 函数f(x)=xlnx在(0,+&)内是严格下凸的,
∴ 若0&x1&x2,则f((x1+x2)/2)&[f(x1)+f(x2)]/2,
令x1=1+a,x2=1+b,则(x1+x2)/2=1+a+b
(1+a+b)ln(1+a+b)&[(1+a)ln(1+a)+(1+b)ln(1+b)]/2
&(1+a)ln(1+a)+(1+b)ln(1+b).
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