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一次根式和二次根式的区别是什么
一次根式和二次根式的区别是什么
09-09-01 &匿名提问 发布
二次根式训练基本技能 培养运算能力 二次根式这一章是初中代数第二册的最后一章，前一章“数的开方”引出了实数与无理数的概念，本章则借助二次根式，重点阐述有关实数与无理数运算的知识。紧接本章之后，初三代数第一章，就是以本章为基础的“一元二次方程”。 学习&二次根式&，首先，要把握好本章的学习重点，处理好二次根式的概念、性质、运算的关系；其次，要科学地安排习题的内容，提高习题的效益，以更好地培养运算能力。 一、处理好概念、性质、运算的关系 本章的基本内容是二次根式的概念、性质和运算，其中重点是二次根式的化简与运算，二次根式的概念是化简与运算的基础，二次根式的性质是化简与运算的依据。 关于二次根式的内容，以往的教材基本上是先讲概念，再讲性质，最后讲运算，其中，运算部分是按加减——乘法——除法的顺序讲述的。 例如，二次根式有以下性质： ①√a^2=|a|=a(a&0).-a(a&0) ②√(a/b)=√a/√b,(a≥0,b&0) ③√ab=√a√b,(a≥0,b≥0) 教科书中不是单独讲解这三个性质，而是先结合二次根式的乘法介绍性质②，又结合二次根式的除法介绍性质③，最后结合二次根式的混合运算介绍性质①。 前面提到的以往教材的编排，是侧重学习材料的逻辑（论理）顺序的，理论性比较强；现行教科书则是采用的比较重视学生学习的心理顺序的编排，便于学生对于具体材料的学习与掌握。考虑到现行教科书的编排在体现知识系统性方面的不足，教材在章末的小结与复习中，对全章内容进行了逻辑整理，以使学生系统地了解二次根式的知识。 明确了二次根式的概念、性质和运算三者在本章中的地位与它们之间的关系，就可以较好地把握它们在学习要求上的区别了。 二次根式的运算是本章的重点，相应的教学要求是能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除运算，能熟练地将分母中含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。二次根式的性质是运算的依据，相应的教学要求是掌握二次根式的有关性质及运算法则。二次根式的概念是运算的基础，相应的教学要求是了解二次根式及有关概念。 在实际学习中，如何对教学成果进行评估呢？关键看学生运算的熟练程度，其中，又以二次根式的混合运算为重。至于对二次根式性质的掌握，对二次根式概念的了解，都可以通过对运算的掌握加以判断和检测。 二、提高技能训练的效益 首先，要明确训练的目的。 对于二次根式这一章，训练的目的主要是培养进行二次根式运算的基本技能，了解与运算有关的基础知识，从而发展能力。 其次，对训练内容的选取要科学，深度、广度要适当。 从本章的训练目的出发，在训练内容的选择上，一是以常用运算为主，不必专门在概念、性质上下大功夫；二是以基本技能为主，而不追求繁难式子化简、运算的特殊技巧。 第三，要改进训练方法。 在实施二次根式运算的训练时，要从有理数、有理式运算与二次根式运算的区别?联系上入手，抓住问题的症结，培养独立学习、思考和解决问题的能力。 总之，弄清训练目的，选准训练内容，搞活训练方法，才能提高学习质量与效益。 除了上面谈到的问题，在进行二次根式的学习时，还应该注意与几何课的联系。 在前一章“数的开方”中，是利用几何里学习的“勾股定理”引入实数概念的，而在本章，从开始的章头图及序言，到二次根式的运算，都结合了“勾股定理”的应用。借助于几何上的应用，可以帮助我们认识学习二次根式的目的，增加学习兴趣，同时，也复习、巩固了几何的相关知识。 二次根式问题是初中基本技能训练的重中之中,也是我们进行繁琐运算与变换能力培养的起点,学好它,无论对于初中阶段的学习还是对以后的学习都是有着重要意义的,在明确目的的情况下,多想多练,不仅仅是学好&二次根式&,而且也是学好整个数学知识的关键
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第一类换元法，也称为凑微分法，顾名思义，就是把f[g(x)]g'(x)dx转化为f[g(x)d(g(x))的形式，所以用好这一方法的关键就是把给定的积分里的被积分式写成f[g(x)]g'(x)dx。要求对基本初等函数的导数，基本初等函数与其导数的关系很清楚（比如有些函数求导后，函数的形式不变，像露幂函数，指数函数）。除此，多项式的因式分解，三角函数恒等式等等都会用到。学习的方法就是多做题，多看典型的例题，并做好总结。第二类换元法，模式是把f(x)dx经过代换x＝g(t)转化为f[g(t)]g'(t)dt，求出原函数后再回代x＝g(t)的反函数t＝h(x)。常用的代换是根式代换，三角代换，倒代换。适用于含有简单的根式，根式下是一次函数，如1/（√x+1）的积分，就可以考虑把√x代换；或被积函数里有√（a^2±x^2），√（x^2－a^2）；还有些题目可以适用到代换，把1/x代换一下，如1/（x√（1+x^2））的积分。熟能生巧！！
定理1 设具有原函数,可导,则有换元公式.此公式称为第一类换元公式(凑微分法)说明:使用此公式的关键在于将化为.观察重点不同,所得结论不同.例1 求.解 被积函数中,是一个复合函数:,常数因子恰好是中间变量的导数.因此,作变换,便有==,再以代人,即得.例2 求.解 被积函数.这里缺少这样一个因子,但由于是是常数,故可改变系数凑出这个因子:,从而令,便有==.一般地,对于积分,总可以变换,把它化为==例3 求.解 被积函数中的一个因子为;剩下的因子恰好是中间变量的导数,于是有=.例4 求.解 设,则,即,因此,==.例5 求.解 =.因为,所以设,那么,即,因此==-=.类似地可得.在对变量代换比较熟悉以后,就不一定要写出中间变量.例6 求.解 =.在上例中,我们实际上已经用了变量代换,并在求出积分之后,代回了原积分变量,只是没有把这些步骤写出来而已.例7 求.解 =.凑微分运用时的难点在于题中哪一部分凑成,这需要解题经验,如果记熟下列一些微分公式,解题中则会给我们一些启示:; 例8 求.解 由于,所以====.求.解 ==.求.解 由于,因此,=.下面再举一些积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式.求.解 ==.求.解 ====.求.解 ==.类似地可得 .求.解 ==因为,所以上述不定积分又可表为:=.求.解 ==..解 ===.求.解 利用三角学中的积化和差公式得 ,于是 =.2,第二类换元法定理2 设是单调的,可导的函数,并且.又设具有原函数,则有换元公式=(第二类积分换元公式)其中是的反函数.证 设的原函数为,记,利用复合函数及反函数的求导法则,得到,即是的原函数.所以有=这就证明了公式. 下面举例说明换元公式的应用. 解 求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式来化去根式.设,那么=,,于是根式化成了三角式,所求积分化为.利用例14的结果得由于,所以,,于是所求积分为.求解 和上例类似,可以利用三角公式来化去根式.设,那末,,于是利用例17的结果得为了要把及换成的函数,可以根据作辅助三角形(图4-3),便有且,因此,,其中.求解 和以上两例类似,可以利用公式来化去根式.注意到被积函数的定义域是和两个区间,我们在两个区间内分别求不定积分当时,设,那末,于是为了把及换成的函数,我们根据作辅助三角形(图4—4),得到因此,其中.当时,令,那么.由上段结果,有=,其中.把在及内的结果合起来,可写作.从上面的三个例子可以看出:如果被积函数含有,可以作代换化去根式;如果被积函数含有,可以作代换化去根式;如果被积函数含有,可以作代换化去根式.但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换,不要拘泥于上述的变量代换(如例4,例8).下面我们通过例子来介绍一种也很有用的代换——倒代换,利用它常可消去在被积函数的分母中的变量因子.求解 设 那末,于是=,当时,有==当时,有相同的结果.基本积分表(2):⒃ ⒄ ,⒅ ,⒆ ,⒇ ,(21) ,(22) ,(23) ,(24) .求.解 =,利用公式⒇,便得=.求.解 =,利用公式(23),便得=.求.解 =,利用公式(22),便得=.二,分部积分法问题: 解决思路: 利用两个函数乘积的求导法则.设函数及具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为,移项,得 .对这个等式两边求不定积分,得. (1)公式(1)称为分部积分公式.如果求有困难,而求比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了.为简便起见,也可把公式(1)写成下面的形式. (2)现在通过例子说明如何运用这个重要公式. 求解 这个积分用换元积分法不易求得结果.现在试用分部积分法来求它.但是怎样选取和呢 如果设,那么,代人分部积分公式(2),得=,而容易积出,所以=.求这个积分时,如果设,那么于是 =上式右端的积分比原积分更不容易求出.由此可见,如果和选取不当,就求不出结果,所以应用分部积分法时,恰当选取和是一个关键.选取和一般要考虑下面两点: (1) 要容易求得;(2) 要比容易积出. 求.解 设,那末,于是=.求.解 设,那末,于是=.这里比容易积出,因为被积函数中的幂次前者比后者降低了一次.由例26可知,对再使用一次分部积分法就可以了.于是===.总结:如果被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数为.这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次.这里假定幂指数是正整数.求.解 设,那末,利用分部积分公式得=.求.解 设,那末,于是====.求.解 设,那末,于是====.总结:如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设对数函数或反三角函数为.下面几个例子中所用的方法也是比较典型的.求.解 设,那末,于是=.等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型的.对右端的积分再用一次分部积分法:设,那末,于是=.由于上式右端的第三项就是所求的积分,把它移到等号左端去,再两端同除以2,便得=.因上式右端已不包含积分项,所以必须加上任意常数C.求.解 设,那末,于是====.由于上式右端的第三项就是所求的积分,把它移到等号左端去,再两端各除以2,便得= 在分部积分法运用比较熟练以后,就不必再写出哪一部分选作u,哪一部分选作dv.只要把被积表达式凑成的形式,便可使用分部积分公式.求解 令,则.于是=利用例2的结果,并用代回,便得所求积分:==.三,简单有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数:其中m和n都是非负整数;及都是实数,并且.假定在分子多顷式与分母多项式之间是没有公因式的.(1)当有理函数(1)的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m,即n & m时,称这有理函数是真分式;(2)当n≥m时,称这有理函数是假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式.例如, .难点 将有理函数化为部分分式之和.多项式的积分容易求得,而要计算真分式的积分需要用到真分式的下列性质:如果多项式在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积,如 (其中),那么真分式可以分解成如下部分分式之和:+++其中等都是常数.有理函数化为部分分式之和的一般规律:1) 分母中如果有因式,那末分解后有下列k个部分分式之和:其中A1,A2,…,都是常数.特别地,如果k=1,那么分解后有了;2) 分母中如果有因式,其中&0,那么分解后有下列k个部分分式之和:,其中都是常数.特别地,如果k =1,那么分解后有.真分式化为部分分式之和的待定系数法:例如,真分式可分解成,其中A,B为待定常数,可以用如下的方法求出待定系数.第一种方法 两端去分母后,得, (3)或 .因为这是恒等式,等式两端的系数和常数项必须分别相等,于是有从而解得 A=-5,B=6.第二种方法 在恒等式(3)中,代人特殊的值,从而求出待定的常数.在(3)式中令,得A=-5;令=3,得B=6. 同样得到.又如,真分式可分解成,再求待定系数A,B,C.两端去分母后,得. (4)在(4)式中,令=0,得A=1,令=1,得B=1.把A,B的值代入(4)式,并令=2,得1=1+2+2C,即C=一1.所以再如,真分式成,两端去分母后,得,或. (5)比较(5)式两端的各同次幂的系数及常数项,有.解之得 .于是 .下面举几个有理真分式的积分例子.求.解 因为,所以===求.解 由于被积函数的分母是二次质因式,所以应另想别的方法.因为分子是一次式-2,而分母的导数也是一个一次式:,所以可以把分子拆成两部分之和:一部分是分母的导数乘上一个常数因子;另一部分是常数,即.这样,所求的积分可计算如下:==.求.解 因为,所以===.求.解 因为所以====.总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说,多项式总可以在实数范围内分解成一次因式及二次质因式的乘积,从而把有理函数分解为多项式与部分分式之和.因此,有理函数的原函数都是初等函数.
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二次根式训练基本技能 培养运算能力 二次根式这一章是初中代数第二册的最后一章，前一章“数的开方”引出了实数与无理数的概念，本章则借助二次根式，重点阐述有关实数与无理数运算的知识。紧接本章之后，初三代数第一章，就是以本章为基础的“一元二次方程”。 学习&二次根式&，首先，要把握好本章的学习重点，处理好二次根式的概念、性质、运算的关系；其次，要科学地安排习题的内容，提高习题的效益，以更好地培养运算能力。 一、处理好概念、性质、运算的关系 本章的基本内容是二次根式的概念、性质和运算，其中重点是二次根式的化简与运算，二次根式的概念是化简与运算的基础，二次根式的性质是化简与运算的依据。 关于二次根式的内容，以往的教材基本上是先讲概念，再讲性质，最后讲运算，其中，运算部分是按加减——乘法——除法的顺序讲述的。 例如，二次根式有以下性质： ①√a^2=|a|=a(a&0).-a(a&0) ②√(a/b)=√a/√b,(a≥0,b&0) ③√ab=√a√b,(a≥0,b≥0) 教科书中不是单独讲解这三个性质，而是先结合二次根式的乘法介绍性质②，又结合二次根式的除法介绍性质③，最后结合二次根式的混合运算介绍性质①。 前面提到的以往教材的编排，是侧重学习材料的逻辑（论理）顺序的，理论性比较强；现行教科书
请登录后再发表评论!如何把假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式 ? 例:(1)4x+5/2x+1 (2)3x^2+x/x^2-1,该怎样计算?_百度知道
如何把假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式 ? 例:(1)4x+5/2x+1 (2)3x^2+x/x^2-1,该怎样计算?
提问者采纳
(1)4x+5/2x+1=(4x+2+3)/(2x+1)=(2(2x+1)+3)/(2x+1)=2+3/(2x+1) (2)3x^2+x/x^2-1=3x^2-3+x+3/x^2-1=3 +
(x+3/x^2-1)
提问者评价
谢谢你帮我大忙了
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出门在外也不愁04 第四节 有理函数的积分_百度文库
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04 第四节 有理函数的积分|
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3秒自动关闭窗口求高等数学中有理函数积分中将一个分式化成多个分式这种算法的规律和方法_百度知道
求高等数学中有理函数积分中将一个分式化成多个分式这种算法的规律和方法
提问者采纳
分子均为一次项。通分,即
满足 二次式=0 是无解的。然后按照标准公式来将其分解为若干分式之和, 其中每个一次式对应了a[i] 项,=1）的乘积,每个二次式对应了b[j] 项,比较 x 各幂次的系数,来需确定m+1个常数。高等数学教材上都会有例题,注意,=1）和二次式（幂 b[j] &gt,熟练就好了。,设分式的分母是m次多项式。首先是把分式的分母多项式进行分解, 明白原理,分解成若干一次式（幂 a[i] &gt,分子均为常数, 二次式必须是只能配成完全平方和的形式,自己练几道题,
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