一道等比数列的题目18设等比数列｛an｝的各项均为正值,首项a1=1/2,前n项和为Sn,且S30(2^10)-（（2^10）+1）S20+S10=0.求1｛an｝的通项公式2｛nSn｝的前n项和Tn
S30=a1*(q^30-1)/(q-1)=a1(q^10-1)(q^20+q^10+1)/(q-1)S20=a1*(q^20-1)/(q-1)=a1(q^10-1)(q^10+1)/(q-1)S10=a1*(q^10-1)/(q-1)2^10*a1(q^10-1)(q^20+q^10+1)/(q-1)-(2^10+1)*a1(q^10-1)(q^10+1)/(q-1)+a1*(q^10-1)/(q-1)=02^10*(q^20+q^10+1)-(2^10+1)(q^10+1)+1=02^10*q^20+2^10*q^10+2^10-2^10*q^10-2^10-q^10-1+1=02^10*q^20-q^10=0所以q^10=1/2^10各项均为正值q>0q=1/2an=1/2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^nSn=1/2*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-(1/2)^nnSn=n-n*(1/2)^nTn=[1-1*(1/2)]+[2-2*(1/2)^2]+……+[n-n*(1/2)^n]=1+……+n-[1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n]令x=1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n2x=1+2*(1/2)+……+n*(1/2)^(n-1)x=2x-x=1+1*(1/2)+1*(1/2)^2+……+1*(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n=1*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)]-n*(1/2)^n=2-2*(1/2)^n-n*(1/2)^n=2-(n+2)(1/2)^n所以Tn=1+……+n-x=n(n+1)/2-2+(n+2)(1/2)^n
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扫描下载二维码数学等比数列 通向公式 前n项和 设正项等比数列{an}的首项是a1=1/2,前n项和为Sn,且2^10·S30-(2^10+1)·S20+S10=0（1）求{an}通向公式（2）求{n·Sn}的前n项和Tn
爵爷pzqbIX3
（1）2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0可转化成下式 2^10(S30-S20)=S20-S10 (S30-S20)/(S20-S10)=2^(-10)S30-S20,S20-S10分别为等比数列第三个十项之和,第二个十项之和 则有等比数列性质可知 (S30-S20)/(S20-S10)=q^10 q^10=2^(-10) 得出公比q=1/2 an=a1*q^(n-1)=2^(-n) (2)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1-2^(-n) 数列bn=nSn=n-n2^(-n）命cn=n,dn=n2^(-n) 易知等差数列cn前n项和Tcn=n(1+n)/2 Tdn=1*2^(-1)+2*2^(-2)+3*2^(-3)+...+n2^(-n) 2Tdn=1*2^(0)+2*2^(-1)+3*2^(-2)+...+n2^(-n+1) 两式相减得Tdn=2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)-n2^(-n) 2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)为等比数列前n项和 易知2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)=2[1-2^(-n)] 则Tdn=2[1-2^(-n)]-n2^(-n)=2-(n+2)2^(-n) 所以Tn=Tcn-Tdn=n(1+n)/2-2+(n+2)2^(-n)
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＞＞＞已知{an}是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2+a3=6，求该数列前1..
已知{an}是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2+a3=6，求该数列前10项的和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：山东模拟
设数列{an}的公比为q，由a1=1，a2+a3=6得：q+q2=6，即q2+q-6=0，解得q=-3（舍去）或q=2∴S10=a1(1-q10)1-q=1-2101-2=210-1=1023
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据魔方格专家权威分析，试题“已知{an}是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2+a3=6，求该数列前1..”主要考查你对&&等比数列的通项公式，等比数列的前n项和&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等比数列的通项公式等比数列的前n项和
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q&o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；④通项公式亦可用以下方法推导出来：将以上（n一1）个等式相乘，便可得到&⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。等比数列的前n项和公式：
； 等比数列中设元技巧：
已知a1，q，n，an ，Sn中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。 注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。
等比数列前n项和公式的变形：q≠1时，（a≠0，b≠0，a+b=0）；
等比数列前n项和常见结论：一个等比数列有3n项，若前n项之和为S1，中间n项之和为S2，最后n项之和为S3，当q≠-1时，S1，S2，S3为等比数列。
发现相似题
与“已知{an}是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2+a3=6，求该数列前1..”考查相似的试题有：
432223526641486942329995399120339315设正项等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且10S30-(210+1)S20+S10=0，则an= ___ ．
∵210S30-（210+1）S20+S10=210（S30-S20）-（S20-S10）=210（a21+a22+…+a30）-（a11+a12+…+a20）=0，∴21+a22+…+a30a11+a12+…+a20=2-10，∵数列{an}为正项等比数列，公比为q，∴21+a22+…+a30a11+a12+…+a20=q10=2-10，∴q=，∴an=a1qn-1=n．故答案为n．
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由已知得到数列为正项等比数列，首项为12，求通项公式an，只要求出公比q就可以了；又已知210S30-（210+1）S20+S10=0，经过化简可以得出，a21+a22+…+a30a11+a12+…+a20=q10=2-10，即得出公比，再利用通项公式即可．
本题考点：
等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
考点点评：
本题主要考查利用等比数列的定义求解通项公式，属于基本题型，本题出现了S10、S20、S30，对于等比数列来说，还有一个重要的等式需要我们牢记：S102+S202=S10（S20+S30），
2^10S30-2^10S20-S20+S10=02^10(S30-S20)-(S20-S10)=0S30-S20/S20-S10=1/2^10q^10=1/2^10,An>0,则q=1/2an=a1q^(n-1)
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