知识点梳理
【平面向量的数量积】已知两个非零向量\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}，我们把数量\left|{\overrightarrow{a}}\right|\left|{\overrightarrow{b}}\right|cosθ叫做\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}的数量积（inner&product）（或内积），记作\overrightarrow{a}o\overrightarrow{b}，即\overrightarrow{a}o\overrightarrow{b}=\left|{\overrightarrow{a}}\right|\left|{\overrightarrow{b}}\right|cosθ，其中θ是\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}的夹角，\left|{\overrightarrow{a}}\right|cosθ（\left|{\overrightarrow{b}}\right|cosθ）叫做向量\overrightarrow{a}在\overrightarrow{b}（\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}）方向上的投影．一个向量在另一个向量方向上的投影，可正，可负，可为零．零向量与任一向量的数量积为&0．向量数量积的运算律\overrightarrow{a}o\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}o\overrightarrow{a}（交换律）；\left({\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}\right)o\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}o\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}o\overrightarrow{c}&（分配律）；\left({λ\overrightarrow{a}}\right)o\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\left({λ\overrightarrow{b}}\right)=λ\left({\overrightarrow{a}o\overrightarrow{b}}\right)（数乘结合律）．
动点的轨迹的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。&1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。&2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。&4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。&5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知动点M到两个定点F1（-3，0），F2（3，0）的距离之...”，相似的试题还有：
已知定点A(12，0)，M为曲线上的动点．(1)若点P满足条件，试求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线l：y=-x+a与曲线C相交于不同的E、F两点，O为坐标原点且，求∠EOF的余弦值和实数a的值．
已知p＞0，动点M到定点F(\frac{p}{2}，&0)的距离比M到定直线l：x=-p的距离小\frac{p}{2}．(I)求动点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，\overrightarrow {OA}o\overrightarrow {OB}=0，求△AOB面积的最小值；(Ⅲ)在轨迹C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k(x-\frac{p}{2})(k≠0)对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．
动点M(x，y)与定点F(l，0)的距离和它到直线l：x=4的距离之比是常数\frac{1}{2}，O为坐标原点．(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？(Ⅱ)&已知圆C的圆心在原点，半径长为\sqrt{2}是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A，B两点，且使等式\overrightarrow {AP}o\overrightarrow {PB}=OP^{2}成立？若存在，求&出m的方程；若不存在，请说明理由．已知点A（1，0，1），点B(4,4,6),点C(2,2,3),点D(10,14,17),求证A,B,C,D四点在同一平面内。
13-01-07 &用户名 密码
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可以插入公式啦！&我知道了&
(2013 衡阳)(10分)如图，已知抛物线经过A(1，0)，B(0，3)两点，对称轴是x=1．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
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解：(1)根据题意，设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+k，
∵点A(1，0)，B(0，3)在抛物线上，
∴，
解得：a=1，k=4，
∴抛物线的解析式为：y=(x+1)2+4．
(2)①∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即3t=(t+1)2+4，
整理得：t2+5t3=0，
解图2所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OAAD=1x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，
即(1x)2+(3x)2=12，解得x1=，x2=0(舍去)，
∴x=，OD=1x=，
∴t=；
(III)若OA=AN，如答图3所解得t=，由于t=＜0，故舍去，
∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
(I)若ON=AN，如答图1所示：
过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，
∴t=；
(II)若ON=OA，如答：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，
即(x)2+(3x)2=12，解得x1=，x2=(舍去)，
∴OD=1x=1，
∴t=1．
综上所述，当t为秒、秒，(1)秒时，△AON为等腰三角形．
分析：&&&&(1)利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)①当四边形OMPQ为矩形时&&&本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；
②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．
点评：&角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第(2)问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．
　(点击上面的蓝色链接“查看完整答案与解析”字样可以查看完整答案)
葫芦岛网友&&&
谢谢啊，怒赞~~~
汕尾网友&&&
第二种情况为什么NQ=3x
我来说一句
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设过 A B C 的平面方程为 ax+by+cz+d=0带入点A（1,0,1）,点B(4,4,6),点C(2,2,3),有 a+c+d=04a+4b+6c+d=02a+2b+3c+d=0解得 a=2b c=-2b d=02x+y-2z=0带入 D(10,14,17),20+14-34=0 所以A,B,C,D共面
不用平面方程用向量怎么做？
向量AB=(3,4,5)
向量AC=(1,2,2)
向量AD=(9,14,16)
向量AD=2向量AB+3向量AC
所以向量AD,向量AB,向量AC共面
则A,B,C,D点共面
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