小明经过试验,发现了一个规律,两个连续偶数的平方差一定能够被4整除,请证明
wyz是好人e9
设较小的偶数为a,则较大的偶数为（a+2）（a+2）²-a²=a²+4a+4-a²=4a+4=4（a+1）个连续偶数的平方差一定能够被4整除
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设偶数为a，则相邻的偶数为a+2两相邻偶数的平方差为（a+2）^2-a^2=2(2a+2)=4(a+1)由此可知道可以被4整除
设两个连续偶数为2*n，2*（n+1）两个连续偶数的平方差为2*（n+1）*2*（n+1）-2*n*2*n=4*（2*n+1）所以两个连续偶数的平方差一定能够被4整除
设第一偶数为a，则连续的第二个偶数为a+2，他们的平方差为（a+2）^2—a^2=2a+4,因为a为偶数，所以2a能被4整除，同理2a+4一定能被4整除。
设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2-（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2-2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1也是正整数，所以4（2n+1）是4的倍数．
扫描下载二维码试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除．
设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2-（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2-2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，所以4（2n+1）是4的倍数，不是8的倍数．故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除．
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根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2，利用平方差公式的逆运用化简后再根据整除的概念解答．
本题考点：
因式分解的应用．
考点点评：
本题考查了平方差公式，解题的关键是正确设出两个连续正偶数．
(2a+2)的平方-2a的平方=8a+4=4(2a+1)，2a+1肯定是奇数所以两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除
扫描下载二维码归纳法证明
证明 （2n-1）^-(2n+1)^2能被8整除
证明
（1）n=1时 1-9=-8 显然能被8整除，命题成立
（2）假设n=k时命题成立 即 （2k-1）^-(2k+1)^2=-8k能被8整除
【2（k+1）-1】^-【2（k+1）+1】^2=-8k-8
因为-8k能被8整除。所以=-8k-8能被8整除
所以由1.2.知当n属于一切自然数都成立
所以
两个连续奇数的平方差一定是8的倍数
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设两连续奇数为2n-1、2n+1,则(2n+1)^2-(2n-1)^2=(4n^2+4n+1)-(4n^2+4n+1)=8n.故原两连续奇数的平方差为8的倍数。
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display: 'inlay-fix'试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除．
胡椒歌惜0882
设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2） 2 ﹣（2n） 2 ，=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，所以4（2n+1）是4的倍数，不是8的倍数．故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除
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两个连续偶数的平方差能被4整除吗？为什么？
题型：解答题难度：中档来源：不详
设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2-（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2-2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1也是正整数，所以4（2n+1）是4的倍数．
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据魔方格专家权威分析，试题“两个连续偶数的平方差能被4整除吗？为什么？-数学-魔方格”主要考查你对&&平方差公式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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平方差公式
表达式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。特点：（1）左边是两项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是乘方中两项的平方差。注：（1）公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式；（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。常见错误:平方差公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难以掌握。
注意事项:1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
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