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（12分）已知函数f(X)＝㏒a(ax－1) (a＞0且a≠1)（1）求函数的定义域&&（2）讨论函数f(X)的单调性
题型：解答题难度：偏易来源：不详
解：（1） ax－1＞0 , ax＞1＝a0&&当a＞1时，X＞0&&&当0＜a＜1时，X＜0所以当a＞1时，f(X)定义域是（0，+∞）当0＜a＜1时，f(X)定义域是（-∞，0）（2）当a＞1时，Y＝㏒au是增函数，U＝ax－1 是增函数，所以f(X)＝㏒a(a x-1)在（0，+∞）上是增函数。同理可证当0＜a＜1时 函数f(X)在（－∞，０）上也是增函数。&略
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据魔方格专家权威分析，试题“（12分）已知函数f(X)＝㏒a(ax－1)(a＞0且a≠1)（1）求函数的定义域（2）讨论..”主要考查你对&&指数函数的解析式及定义（定义域、值域），指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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指数函数的解析式及定义（定义域、值域）指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）
指数函数的定义：
一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。
指数函数的解析式：
y=ax（a＞0，且a≠1）&理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a&0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a&0，比如y=(-4)x，这时对于在实数范围内函数值不存在．如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a&0且a≠1．③像等函数都不是指数函数，要注意区分。n次方根的定义：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。
分数指数幂的意义：
（1）； （2）； （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 n次方根的性质：
（1）0的n次方根是0，即＝0（n＞1，n∈N*）； （2）=a（n∈N*）； （3）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，＝|a|。
幂的运算性质：
（1）；（2）； （3）； 注意：一般地，无理数指数幂（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。
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与“（12分）已知函数f(X)＝㏒a(ax－1)(a＞0且a≠1)（1）求函数的定义域（2）讨论..”考查相似的试题有：
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（1）已知函数f(x)=ax-1ax+1 （a＞0且a≠1）．（Ⅰ） 求f（x）的定义域和值域；（Ⅱ） 讨论f（x）的单调性．（2）已知f（x）=2+log3x（x∈[1，9]），求函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值与最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）（Ⅰ）易得f（x）的定义域为{x|x∈R}．设y=ax-1ax+1，解得ax=-y+1y-1①∵ax＞0当且仅当-y+1y-1＞0时，方程①有解．解-y+1y-1＞0，求得-1＜y＜1．∴f（x）的值域为{y|-1＜y＜1}．（Ⅱ）f（x）=(ax+1-2)ax+1=1-2ax+1．1°当a＞1时，∵ax+1为增函数，且ax+1＞0．∴2ax+1为减函数，从而f（x）=1-2ax+1=ax-1ax+1为增函数．2°当0＜a＜1时，类似地可得f（x）=ax-1ax+1&为减函数．（2）∵1≤x≤9，可得 0≤log3x≤2，∴2≤f（x）≤4，∴4≤f2（x）≤16．∵1≤x≤9，可得 1≤x2≤81，0≤log3x2≤4，∴2≤f（x2）=2+log3x2≤6．故函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为16+6=22，最小值为 4+2=6．
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函数的单调性、最值对数函数的图象与性质
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。对数函数的图形：
对数函数的图象与性质：
对数函数与指数函数的对比：
&(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．&(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a&l时，它们是增函数；当O&a&l时，它们是减函数．&(3)指数函数与对数函数的联系与区别： 对数函数单调性的讨论：
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O&a&l的两种不同情况，底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O&a&l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．&
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有 &&&&
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& 已知函数fx x+log 已知函数f(x)=log?(x+√2),g(x)=log?﹙√2-x﹚,F(x)=f﹙x﹚+。
已知函数fx x+log 已知函数f(x)=log?(x+√2),g(x)=log?﹙√2-x﹚,F(x)=f﹙x﹚+。
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已知函数f(x)=log?(x+√2),g(x)=log?﹙√2-x﹚,F(x)=f﹙x﹚+。最佳答案1：x+√2&0 √2-x&0 得:函数F(x)的定义域为 -根号2&x根号2 F(x)=f﹙x﹚+g﹙x﹚ =log?(x+√2)+log?﹙√2-x﹚ =log?(2-x平方) F(-x)=log?[ 2-(-x)平方] =log?(2-x平方) =F(x) 函数F(x)为偶函数 F(x) log?(2-x平方) 2-x平方 x平方&1 x&1 或x&-1 又因为 -根号2&x根号2 所以:-根号2&x&-1 或 1&x&根号2
最佳答案2：(1)f(x)=log?(x+√2)
g(x)=log?(√2-x)
F(x)=f(x)+g(x)=log?(x+√2)+log?(√2-x)=log?[(√2+x)(√2-x)]=log?(2-x^2) (2)F(-x)=log?[2-(-x)^2]=log?(2-x^2)=F(x)
所以F(x)为偶函数 (3)F(x)&0
即 log?(2-x^2)&0 → 2-x^2&1 → x&1 或 x&-1
又 x+√2&0 √2-x&0
即 x&-√2 x&√2
综上x∈(-√2,-1)U(1,√2)时有F(x)&0。已知函数f(x)=-x+log以2为底乘(1+x)分之(1-x) f(x)+f(-x)=-x+log2[(1-x)/(1+x)]+x+log2[(1+x)/(1-x)] =log2{[(1-x)/(1+x)][(1+x)/(1-x)]} =log21 =0 所以f(1/2008)+f(-1/-x)/(1+x)=-1+2/(1+x) y=x+1是增函数, 所以1/(x+1)是减函数,即-1+2/(1+x)是减函数 对数的底数2〉1,则对数是增函数 真数是减函数 所以log2[(1-x)/(1+x)]是减函数 -x也是减函数 所以f(x)是减函数 所以x最大时f(x)最小 现在定义域(-a,a】x有最大值 所以f(x)有最小值 最小值=f(a)=-a+log2[(1-a)/(1+a)]。已知函数f(x)=log4(4 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数. 解: 先求K,根据f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数,得到f(x)=f(-x) 即 log4(4^x+1)+kx=log4[1/(4^x)+1]-kx 可得出k=-1/2 再 求实数a的取值范围 由f(x)与h(x)图象只有一个公共点 即:y=f(x)-h(x)有且只有一个零点 则log4(4^x+1)+kx=log4(a*2^x-4a/3) 由h(x)定义域有: a*(2^x-4/3)&0, 当x&log2(4/3)时,a&0 当x。已知函数f(x)=log以2为底(x+1),将y=f(x)的图像向左平移一。(1)g(x)=2log2(x+2)定义域x&-2 (2)F(x)=log2(x+1)-2log2(x+2)=log2(x+1)-log2(x+2)^2 =log2(x+1)/(x+2)^2=log2(x+1)/(x^2+4x+4) =log2(x+1)/[(x+1)^2+2(x+1)+1] =log21/[(x+1)+1/(x+1)+2] ≤log21/(2√(x+1)*1/(x+1)+2) =log21/(4) =-2 所以最大是-2。已知函数f(x)=2+log以3为底x的对数(1≤x≤9),求函数g(x)=f^。f(x)=2+log3 x g(x)=[f(x)]^2+f(x^2) =4+(log3 x)^2+4*(log3 x)+2+log3 (x^2) =(log3 x)^2+4*(log3 x)+2*(log3 x)+6 =(log3 x)^2+6*(log3 x)+6 设t=log3 x,∵1≤x≤9 ∴t∈[0,2] g(x)=(log3 x)^2+6*(log3 x)+6 =(t+3)^2-3 当t∈[0,2]时,g(x)是增函数 ∴最小值是g(1)=6 最大值是g(9)=22。已知函数f(x)=-x+log21-x/1+x求f(1/2010)+f(-1/2010) 答案:0 解:设1/2010=n,则-1/2010=-n f(1/2010)+f(-1/2010) =f(n)+f(-n) =-n+log21-n/1+n+n+log21+n/1-n =log2[(1-n/1+n)(1+n/1-n)] =log21 =0。已知函数f(x)=log(x+b)/(x-b)(a&1,且b&0)(1)求f(x)得定义域;。假设题目里的函数是:y=log[(x+b)/(x-b)].【省去底数a】 y=log[(x+b)/(x-b)] ---&a^y=(x+b)/(x-b) ---&x*a^y-b*a^y=x+b ---&x(a^y-1)=b(a^y+1) ---&x=b(a^y+1)/(a^y-1) ---&a^y-10 ---&a^y0 ---&y0 所以反函数的定义域(原函数的值域)是(-无穷大,0)并(0,+无穷大)。 下面确定原函数的单调性: 解不等式(x+b)/(x-b)&0.得到xb.(已知b&0) 函数Y=(x+b)/(x-b)=1+2b/(x-b),所以这函数是由函数y=2b/x把中心(原点)平行移动到点M(b,1)得来。因为2b&0,所以函数在开区间(-无穷大,-b)和开区间(b,+无穷大)上都是减函数。 而函数y=logx(底数a&1)是增函数。所以,原函数(它们的复合函数):y=log[(x+b)/(x-b)]分别在这两个区间(-无穷大,-b)和(。求f(x)的解析式已知函数f(x)=m+log&a&x(a&0且 - 爱问知识人易得,点P(3,-1)关于直线x=2的对称点为Q(1,-1), 代入原式,得 {f(8)=2→m+log8=2 {f(1)=-1→m+log1=-1 解得,a=2,m=-1 ∴f(x)=-1+logx。
P(3,-1)关于直线x=2的对称点Q的坐标为(1,-1)。故(8,2)和(1,-1)在f(x)的图像上,即 m+log8=2 m+log1=-1。 因为log1=0,所。函数题已知:函数f(x)=log(x+1)√2若g(x)=f(x - 爱问知识人m,n,t成等比数列, n2=m+t (m+1)(t+1)=mt+m+t+1≥n2+2√mt+1=(t+1)2 g(x)=f(x)+1 ````=log(x+1)+1 ````=log(√2)(x+1) g(m)+g(t)=log[2(m+1)(t+1)] 2g(n)=log2(n+1)2 已证(m+1)(t+1)≥(t+1)2 所以g(m)+g(t)≥2g(n)。已知函数f(x)=log4(2x+3-x^2)(1)求f(x)的定义域 已知y=log4(2x+3-x^2),(1)求定义域。(2)求f(x)的单调区间。(3)求y的最大值,并求取得最大值的x值。。 (1) -x^2+2x+3&0 x^2-2x-3。
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已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；(2)求使函数f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围．
主讲：吴野
(1)由题意可知，f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)，由解得∴－1＜x＜2，∴函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，2)．(2)由f(x)－g(x)＞0，得f(x)＞g(x)，即loga(x＋1)＞loga(4－2x)，①当a＞1时，由①可得x＋1＞4－2x，解得x＞1，又－1＜x＜2，∴1＜x＜2；当0＜a＜1时，由①可得x＋1＜4－2x，解得x＜1，又－1＜x＜2，∴－1＜x＜1．综上所述：当a＞1时，x的取值范围是(1，2)；当0＜a＜1时，x的取值范围是(－1，1)．
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京ICP备号 京公网安备已知函数f﹙x﹚＝㏒ax﹙a＞0且a≠1﹚,若数列∶2,f﹙a1﹚,f﹙a2﹚,...f﹙an﹚,2n﹢4﹙n∈N*)成等差(1)求数列﹛an﹜的通项式an,(2)如a﹦2,令bn﹦an.f(an)﹐求数列﹛bn﹜前n项和Sn﹔(3)在(2)的条件下对任意n∈N*,都有bn＞f¯¹﹙t﹚,求实数t的取值范围
惰惰牌无聊171
(1)数列∶2,f﹙a1﹚,f﹙a2﹚,...f﹙an﹚,2n﹢4﹙n∈N*)成等差,数列为n+2项,2n﹢4=2+(n+2-1)d,d=2,f(an)-f[a(n-1)]=2,㏒a{(an)/[a(n-1)]}=2,(an)/[a(n-1)]=a²,数列﹛an﹜为首项为a²,公比q=a²的等比数列,an=a^(2n)；(2)bn﹦an.f(an),bn=2n*4^n,Sn=2[4+2*4²+3*4³+┄┄┄+n*4^n],4Sn=2[4²+2*4³+┄┄┄+(n-1)*4^n+n*4^(n+1)],后式减前式得：3Sn=2[n*4^(n+1)-(4+4²+4³+┄┄┄+4^n)]=2[n*4^(n+1)-4(4^n-1)/3],Sn=[(6n-2)*4^(n+1)+8]/9；(3)bn＞f¯¹﹙t﹚,t=an=2^(2n),2n*4^n＞1/2n,n∈N*上式成立,实数t的取值范围：t≥4.
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