如何计算整数平方根
先一起来研究一下，怎样求 ，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=（30+a）2＝302＋2×30a＋a2，所以 ＝2×30a＋a2，即 256=（3×20+a）a，这就是说， a是这样一个正整数，它与 3×20的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：
根号上面的数3是平方根的十位数．将 256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到，或
上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（3×20除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求
的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到
笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．
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一个具有完全平方数的四位数,如何快速求出它的平方根呢
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计算方法（3）
*功能：开方
*作者：KDF5000
#include&stdio.h&
int main()
//x为所求结果
int i=100;
//控制循环的次数a
printf(&请输入要开方的数:&);
scanf(&%f&,&a);
while(i--)
x=(x+a/x)/2;
printf(&开方的结果为:%f\n&,x);
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算法（89）
如标题所示，不用平方根库函数，求解一个数字的平方根。
这个问题有两个思路：
思路1：采用二分的方式（无处不在的二分），上界初始化为数字本身，下界初始化为1，这样用二分，判断中间数字的平方和目标数字比较，再修改上界和下界，直到小于一定的阈值。
思路2：采用牛顿法（数值分析中提到），采用微分的方式，从初始点开始，每次迭代，微分求解切线，然后求解切线和x轴的交点，再以这个交点作为起点，迭代进行。比如求解24，那么写出函数：
f(x) = x^2 - 24
我们目标就是求解这个函数的根，函数一阶导数是：
f'(x) = 2*x
起始点可以选择x0 = 24，通过求解，可以得到下一个迭代点的公式为：
x1 = -f(x0) / f'(x0) + x0
这样迭代下去，直到最后小于一定的阈值。
算法代码如下：
* square.cpp
Created on:
Author: happier
#include &iostream&
#include &algorithm&
#include &cstdlib&
#define E 0.001
//精度设置
* 二分法求解
double bSearch(double number, int *count)
//int count = 0;
double start = 1.0;
double end =
while(true)
(*count)++;
double mid = (start + end) / 2;
if(mid * mid - number &= E && mid * mid - number &= -E)
if(mid*mid - number & E)
* 牛顿法求解
double newton(double number, int *count)
double x0 =
double x1;
while(true)
(*count)++;
x1 = -(x0*x0 - number) / (2 * x0) + x0;
if(x1 * x1 - number &= E && x1 * x1 - number &= -E)
return x1;
int main()
int count = 0; //统计迭代次数
cout && &Please input the number::& &&
cout && bSearch(number, &count) &&
cout && count &&
count = 0;
cout && newton(number, &count) &&
cout && count &&
通过运行发现，牛顿法的求解速度要比二分法快很多，例如求解30000，牛顿法只要11次迭代，可以达到0.001精度，但是二分法需要33次，所以数值分析普遍采用牛顿法进行求根。
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