高中数学典型例题解析（第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）1）
高中数学典型例题解析（第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）1）
第三章& 基本初等函数Ⅱ（三角函数）
3.1任意角三角函数
一、知识导学
1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.
2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中是以作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
3．弧度与角度的换算：；；1.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.
4．弧长公式、扇形面积公式：,其中为弧长，为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形.
5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是.这六个函数统称为三角函数.
6．三角函数的定义域
7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.
二、疑难知识导析
1．在直角坐标系内讨论角
（1）角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.
（2）与角终边相同的角的集合表示.
，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍.
2．值得注意的几种范围角的表示法
“0～间的角”指；“第一象限角”可表示为
；“小于90的角”可表示为.
3．在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.
4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.
5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与的同名三角函数值相等；（2），故有，这是三角函数中最基本的一组不等关系.
6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？
三、经典例题导讲
[例1]　若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数是（　　）
①.　　②.　　③.　　④.
A．1&&&&&&&&&&&
B.2&&&&&&&&&& C.3&&&&&&&&&& D.4
错解：& ∴& ，故选B
错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误
正解：法1在中，在大角对大边，
法2　考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .
[例2]已知角的终边关于轴对称，则与的关系为　　　　　　　　　.
错解：∵角的终边关于轴对称，∴+，（
错因：把关于轴对称片认为关于轴的正半轴对称.
正解：∵角的终边关于轴对称
说明：（1）若角的终边关于轴对称，则与的关系为
（2）若角的终边关于原点轴对称，则与的关系为
（3）若角的终边在同一条直线上，则与的关系为
[例3]　已知&，试确定的象限.
错解：∵，∴是第二象限角，即
故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角.
错因：导出是第二象限角是正确的，由即可确定，
而题中不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.
正解：∵，∴是第二象限角，
，故是第四象限角.
&[例4]已知角的终边经过，求的值.
错因：在求得的过程中误认为0
正解：若，则，且角在第二象限
若，则，且角在第四象限
说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；
（2）本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.
[例5]　（1）已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角；
（2）若，则是第　　　象限角.
解：（1）是第三象限角，即
当为偶数时，为第二象限角
当为奇数时，为第四象限角
而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.
（2）因为，所以为第二象限角.
点评：为第一、二象限角时，为第一、三象限角，为第三、四象限角时，为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.
[例6]一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为，则扇形的弧长
扇形的面积
所以当时，即时.
点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.
[例7]已知是第三象限角，化简。
解：原式＝＝
又是第三象限角，
所以，原式＝。
点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能
使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.
[例8]　若角满足条件，则在第（　　）象限
A.一　　　　　　　　B.二　　　　　　　　　C.三　　　　　　　　　　D.四
解：角在第二象限.故选B.
[例9]　已知，且.
（1）试判断的符号；
（2）试判断的符号.
解：（1）由题意，，
（2）由题意知为第二象限角，，所以.
四、典型习题导练
1．已知钝角的终边经过点，且，则的值为&&& ）
&&&&&& A．& B．&& &&&&& C．&& && D．
2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（&&& ）
A.-α&&&&& B.л-α&&&&&&
C.（2kл+1）л-α(k∈Z)&&&&& D.kл-α（k∈Z）
3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（&&& ）
A．[2k－，2k&+]&&&&&&&&&&&&&&&&
B.( 2k－,2k+)
C.( 2k－，2k+)∪&&&&&
D.以上都不对
4．当0＜x＜时,则方程cos (cosx)=0的解集为(&&&& )
A. &&&&&&&&&B.&&&&&&
5．下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是(&&&&
A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine&&&&&&&&&&&&&&&&&
B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3
C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3&&&&&&&&&&&&&&&&&
D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3
6．已知x∈(0, ),则下面四式: 中正确命题的序号是&&&&&&& .
①sinx＜x＜tgx&&&&&
&&②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)
③sin3x+cos3x＜1&& &&&④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx
7．有以下四组角：(1)k+；(2)k-；(3)2k±；(4)-k+(k∈z)其中终边相同的是（&& ）
A.(1)和(2)&&&&&&&&&&&&&&&&
&B.(1)、(2)和(3) &&
C.(1)、(2)和(4) &&&&&&&&&&&&&D.(1)、(2)、(3)和(4)
8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（&&
&&&&&&&&&&&&&B.－
&&&&&&C.－ &&&&&&&D.－
9．函数y=&的定义域是______,值域是______.
3.2三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识导学
1．同角三角函数的基本关系式
平方关系：；商数关系：；倒数关系：
&& 同角三角函数的基本关系式可用图表示
&& （1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；
&& （2）对角为倒数关系；
&& （3）每个三角函数为相邻两函数的积.
2．诱导公式()
角&&&&&&&&&
&诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.
3．诱导公式解决常见题型
&（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；
&（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.
二、疑难知识导析
1．三角变换的常见技巧
&&& “1”的代换；，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式）；
2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；
3．已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.
三、典型例题导讲
[例1]已知__________
错解：两边同时平方，由得
错因：没有注意到条件时，由于
所以的值为正而导致错误.
&&& 两边同时平方，有
&&& 求出∴
[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值
错解：由得tan A=tan B
错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示
①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1
∴cos2B=&&&
∴sin2B=&&&
∵B为锐角&
得tan A=tan
[例3]若函数的最大值为2，试确定常数a的值.
点评：本试题将三角函数“”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.
&[例4]已知=2，求
（1）的值；&& （2）的值．
解：（1）∵ tan=2, ∴ ;
（2）由(I), tanα=－, 所以==.
点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.
[例5]化简：
错解：原式
错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.
正解：原式
（1）当，时
（2）当，时
[例6]若，则=（&& ）
A．&&&&&&&&&&&
B．&&&&&&&&&&&
C．&&&&&&&&&&&
错解：===1—2=
错因：诱导公式应用符号错.
=—=—1+2=—.故选A.
[例7]．已知.
&& （1）求sinx－cosx的值；
&& （2）求的值.
&解法一：（1）由
&解法二：（1）联立方程
&&& 由①得将其代入②，整理得
点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.
[例8] (1)化简： ＋+cos2αcsc2α
(2)设sin(α+)=－,且sin2α＞0
求sinα,tanα
解：原式=＋ +cos2αcsc2α
=cos2α+sin2α+cos2αcsc2α
(2)解：由sin(α+ )=- ∴cosα=- ∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+π
kπ＜α&kπ+
(k∈z)&&&&
&∴α为第一象限或第二象限的角
∵cosα=- ＜0&&&&&&&&&
∴α为第三角限角
sinα=-＝ &&&&&tan
点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.
& 点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数.
解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
&&&&&&&&& 故&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故在第二象限，于是.
从而（以下同解法一）.
点评：，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式），在求值过程中要注意符号的讨论.
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2012年全国各地中考数学真题分类汇编&&&&&&&&&&&&&& 三角形的边与角一.1. (;荆门)已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（　　）&A． 30°&&&&&&&& B． 35°&&&&&&&&& C． 40°&&&&&&&&& D． 45°解析：∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵l1∥l2，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°55°=35°，∴∠2=35°．故选B．&
2．(;中考)如图，在△ABC中，∠C＝70&，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝【& B& 】A．360&&&&&&&&&&&& B．250&C．180&&&&&&&&&&&& D．140&
3．(;连云港)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为(　　)&　&A．&50°&B．&60°&C．&70°&D．&80°
考点：&平行线的性质；三角形内角和定理。分析：&先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由平行线的性质得出结论即可．解答：&解：∵△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，∴∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°，∴∠5＝∠4＝70°，∵a∥b，∴∠3＝∠5＝70°．故选C．&点评：&本题考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
4．（2012深圳）如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到 一个四边形，则么 的度数为【&&& 】
& A. 120O&&&&& B. 180O.&&& C. 240O&&&&&&&&&&&&&& D. 3000【答案】C。【考点】三角形内角和定理，平角定义。【分析】如图，根据三角形内角和定理，得∠3+∠4+600=1800，&&&&&&& 又根据平角定义，∠1+∠3=1800，∠2+∠4=1800，&&&&&&& ∴1800－∠1+1800－∠2+600=1800。&&&&&&& ∴∠1+∠2=240O。故选C。5．（;聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（　　）&　　A．75°　　B．90°　　C．105°　　D．120°
考点：&三角形的外角性质；三角形内角和定理。专题：&探究型。分析：&先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．解答：&解：∵图中是一副直角三角板，∴∠BAE=45°，∠E=30°，∴∠AFE=180°∠BAE∠E=105°，∴∠α=105°．故选C．&点评：&本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
6.（2012毕节）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是（&& ）&A.40° &&& & B.60°&&&&&&&&&&&& C.80°&&&& &&&&&& D.120°解析：根据平行线性质求出∠ABC，根据三角形的外角性质得出∠3=∠1-∠ABC，代入即可得出答案．解答：解：∵a∥b，∴∠ABC=∠2=80°，∵∠1=120°，∠3=∠1-∠ABC，∴∠3=120°-80°=40°，故选A．点评：本题考查了平行线性质和三角形的外角性质的应用，关键是求出∠ABC的度数和得出∠3=∠1-∠ABC，题目比较典型，难度不大．
7．（2012十堰）如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为（　Ｄ　）A．60°　　　　B．75°　　　　C．90°　　　　D．105°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【专题】探究型．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1是△ABC的外角，∠ABC=30°，∠BAC=75°，∴∠1=∠ABC+∠BAC=30°+75°=105°，∵直线BD∥EF，∴∠CEF=∠1=105°．故选D．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
8．（;梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）&　　A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°
考点：&三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）。分析：&先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．解答：&解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°75°=105°，∴∠1+∠2=360°2×105°=150°．故选A．点评：&本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9.（;吉林）.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为(A) 42°&&&&&& (B) 45°&&&&&&&& (C) 48°&&&&&&&& (D)58°
解析：C&& ∵DE‖AB,∠ADE=42°∴∠CAB=42°&&&&&&&&& ∵∠C=90°∴∠B=90-42°= 48°。考查知识：平行线的性质、三角形的内角和
10.（2012肇庆）如图1，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B = 60°，∠AED = 40°，则∠A 的度数为&&&& A．100°&&&&&&&&& B．90°&&&&&&&&& C．80°&&&&&&&&& D．70°【解析】结合两直线平行，同位角相等及三角形内角和定理，把已知角和未知角联系起来，即可求出角的度数． 【答案】C【点评】本题考查了三角形的内角和定理，及平行线的性质。
11．（2012云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　）&　&A．&40°&B．&45°&C．&50°&D．&55°
考点：&三角形内角和定理。分析：&首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．解答：&解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°∠B∠C=180°67°33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=×80°=40°故选A．点评：&本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．
12．（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（　　）　&A．&5&B．&6&C．&11&D．&16考点：三角形三边关系。解答：解：设此三角形第三边的长为x，则104＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选C．
13．（2012嘉兴）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（　　）　&A．&40°&B．&60°&C．&80°&D．&90°考点：三角形内角和定理。解答：解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°．故选A．
14.(2012汕头)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（　　）　&A．&5&B．&6&C．&11&D．&16&分析：&设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．解答：&解：设此三角形第三边的长为x，则104＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选C．点评：&本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
15.（2012泸州）若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是（& ）A.3，8，4&&&&&&&&& B.4，9，6&&&&&&& C.15，20，8&&&&&&&&& D.9，15，8解析：根据三角形两边之和大于第三边或两边边之差小于第三边进行判断.由于3+4＜8，所以不能构成三角形；因为4+6＞9，所以三线段能构成三角形；因为8+15＞20，所以三线段能构成三角形；因为9+8＞15，所以三线段能构成三角形.故选A.答案：A点评：判断三条线段能否构成三角形的边，可以从三条线段中选较小两边之和与剩下一边比较，和大于这边，就能够组成三角形的边.
16．（;广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（　　）　&A．&45°&B．&75°&C．&45°或75°&D．&60°
考点：&等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。分析：&首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．解答：&解：如图1：AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=BC，∠ADB=90°，∵AD=BC，∴AD=BD，∴∠B=45°，即此时△ABC底角的度数为45°；如图2，AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°，∴∠CAB=∠B= =75°，即此时△ABC底角的度数为75°；综上，△ABC底角的度数为45°或75°．故选C．&点评：&此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
17．（;烟台）如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（　　）&　　A．h2=2h1　　B．h2=1.5h1　　C．h2=h1　　D．h2=h1
考点：&三角形中位线定理。专题：&探究型。分析：&直接根据三角形中位线定理进行解答即可．解答：&解：如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线，∴h1=2OC，同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2=2OC，∴h1=h2．故选C．&点评：&本题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
18．（2012海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是【 】A．3cm&&&&& B．4cm&&&&& C．7cm&&&&& D．11cm【答案】C。【考点】三角形的构成条件。【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，此三角形的第三边的长应在7－3=4cm和7＋3=10cm之间。要此之间的选项只有7cm。故选C。
19．（2012铜仁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）&　　A．6　　B．7　　C．8　　D．9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。解答：解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D．
20．（2012中考）小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线 上，测得 ，则 的度数是【&&& 】A．450&&&& B．550&&&&& C．650&&&&& D．750【答案】D。
21．（2012泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（　　）&　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质。解答：解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴DE=EH，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是三角形DHB的中位线，∴EF= BH，∴BH=ABAH=ABDC=2，∴EF=1．故选D．&
22．（;台湾）如图，△ABC中，AB=AC=17，BC=16，M是△ABC的重心，求AM的长度为何？（　　）&　&A．&8&B．&10&C．& &D．&
考点：&三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理。分析：&根据在△ABC中，根据三线合一定理与勾股定理即可求得AN的长，然后根据重心的性质求得AM的长，即可求解．解答：&解：如图，延长AM，交BC于N点，∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，又∵M是△ABC的重心，∴AN为中线，且AN⊥BC，∴BN=CN= =8，AN= =15，AM=AN=×15=10，故选，：B．&
23．（;潜江）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　）&　&A．&2&B．&3&C．& &D．& +1
考点：&平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。分析：&延长BC至F点，使得CF=BD，证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F，然后证得AC∥EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长．解答：&解：延长BC至F点，使得CF=BD，∵ED=EC∴∠EDB=∠ECF∴△EBD≌△EFC∴∠B=∠F∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB∴∠ACB=∠F∴AC∥EF∴AE=CF=2∴BD=AE=CF=2故选A．&点评：&本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
二.题24．（2012义乌市）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为　50°　．&考点：平行线的性质；余角和补角。解答：解：∵∠1=40°，∴∠3=180°∠145°=180°40°90°=50°，∵a∥b，∴∠2=∠3=50°．故答案为：50°．&
25．（;烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　85　度．&
考点：&三角形内角和定理。分析：&先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．解答：&解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°∠ADF∠EDF=180°100°30°=50°，∴∠BMD=180°∠B∠MDB=180°45°50°=85°．故答案为：85．点评：&本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
26.（2012湖州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=460，∠1=520，则∠2=&&&&& 度。&【解析】由平行线的性质，可求得∠B=∠1=520，然后应用三角形的外角性质∠2=∠A+∠B，求得结论。【答案】∵DE∥BC，∠1=520，∴∠B=520，又∠A=460，∴∠2=∠A+∠B=980.【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行，同位角相等；以及三角形的外角性质：三角形的一外角等于和它不相邻的内角的和，是基础题。
27．（;长沙）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD=　105　度．&
解答：&解：∵∠A=45°，∠B=60°，∴∠ACD=∠A+∠B=45°+60°=105°．故答案为：105．
28．（;柳州）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= 40°．&【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC进而得出∠DBC的度数．【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=80°，∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC= ×80°=40°，故答案为：40．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线性质得出∠ABD=∠DBC是解题关键．
29.（2012呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______°&【解析】∵∠B=47°，∴∠BAC+∠BCA=180°C 47°=133°，∴∠CAD+∠ACF=360°C133°=227°&又∵AE和CE是角平分线，∴∠CAE+∠ACE=113.5°，∴∠E=180°C113.5°=66.5°【答案】66.5【点评】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的性质。
30．（;益阳）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是　　．
考点：&概率公式；三角形三边关系。分析：&根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：&解：∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2、3、4；3、4、7；2、4、7；3、4、7四种情况，而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，所以能组成三角形的概率是．故答案为：．点评：&本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
31. （2012海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是&&& ▲&&& .【答案】9。【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【分析】∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。&&&&&&& 又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。&&&&&&& 同理，EO=EC。&&&&&&& 又∵AB=5，AC=4，&&&&&&& ∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9。
32．（;梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=　2　．&
考点：&角平分线的性质；含30度角的直角三角形。分析：&作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．解答：&解：作EG⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°，∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2．故答案为2．&点评：&本题考查了角平分线的性质和含30°角的直角三角形，综合性较强，是一道好题．
33．（2012嘉兴）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　4　．&考点：角平分线的性质。解答：解：作DE⊥AB，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．&
34．（2012泰州）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是&& ▲&& ． &【答案】4。【考点】点到直线距离的概念，角平分线的性质。【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则DE即为点D到AB的距离。&&&&&&& ∵AD是∠BAC的平分线，CD=4，&&&&&&& ∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等性质，得DE= CD=4，&&&&&&& 即点D到AB的距离为4。
35.（2012常德）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90&，AD是∠BAC 的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是＿＿＿＿＿。&知识点考察：①点到直线的距离，②角平分线性质定理，③垂直的定义。&&&&& 分析：准确理解垂直的定义，判断AC与BC的位置关系，&&&&&&&&&&& 然后自D向AB作垂线，并运用角平分线性质定理。&&&&& 答案：2&&&&& 点评：自D向AB作垂线是做好该题关键的一步。
36．（;广州）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　2　．&
考点：&旋转的性质；等边三角形的性质。分析：&由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．解答：&解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，∴BC=AB=6，∵BC=3BD，∴BD=BC=2，∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=2．故答案为：2．点评：&此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质．此题难度不大，注意旋转中的对应关系．
37．(;丽水)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　50°　．&
考点：&翻折变换(折叠问题)；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。分析：&利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可．解答：&解：连接BO，∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB＝∠ABO＝25°，∵等腰△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠OBC＝65°－25°＝40°，∵ ，∴△ABO≌△ACO，∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB＝40°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，∴∠CEF＝∠FEO＝ ＝50°，故答案为：50°．&点评：&此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
38．（;乐山）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An1BC的平分线与∠An1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：（1）∠A1=　 　；（2）∠An=　 　．&
考点：&三角形内角和定理；三角形的外角性质。专题：&规律型。分析：&（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）与（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解．解答：&解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=θ，∴∠A1= ；
（2）同理可得∠A2=∠A1，=•θ= ，所以∠An= ．故答案为：（1） ，（2） ．点评：&本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
三.解答题39．（;杭州）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．
考点：&一元一次不等式组的应用；三角形三边关系；概率公式。分析：&（1）设三角形的第三边为x，根据三角形的三边关系列出不等式组，再解不等式组即可；（2）求出x的所有整数值，即可求出n的值；（3）先求出该三角形周长为偶数的所有情况，再除以总的个数，即可求出答案．解答：&解：（1）设三角形的第三边为x，∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，∴75＜x＜5+7，∴2＜x＜12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10．
（2）∵2＜x＜12，它们的边长均为整数，∴x=3，4，5，6，7，8，9，10，11，∴组中最多有9个三角形，∴n=9；
（3）∵当x=4，6，8，10时，该三角形周长为偶数，∴该三角形周长为偶数的概率是．点评：&此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据三角形的三边关系列出不等式组，在解题时要注意x只能取整数．
2011年全国各地中考数学真题分类汇编第21章&& 三角形的边与角一、1. （2011福建福州，10，4分）如图3,在长方形网格中,每个小长方形的长为 ,宽为, 、 两点在网格格点上,若点 也在网格格点上,以 、 、 为顶点的三角形面积为 ,则满足条件的点 个数是（&&&&& ）A．2& B．3& C．4& D．&5&【答案】C2. （2011山东滨州，5，3分）若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是(&& )A. 1&&&&&&&&&& B. 5&&&&&&&&&&&& C. 7&&&&&&&&&&&& D.9【答案】B3. （2011山东菏泽，3，3分）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠ 等于A．30°&&&&&&&&&& B．45°&&&&&&&&&&&&& C．60°&D．75°&【答案】D4. （2011山东济宁，3，3分）若一个三角形三个内角度数的比为2U7U4，那么这个三角形是（&&& ）A. 直角三角形&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. 锐角三角形C. 钝角三角形&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. 等边三角形 【答案】B5. （2011浙江义乌，2，3分）如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长是3cm，则DE的长是（&& ）&A．2cm&&&&&&& B．1.5cm&&&&&&& C．1.2cm&&&&&&& D．1cm【答案】B& 6. （2011台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的 ，若在此三角形内找一点O，使得 、 、 的面积均相等。判断下列作法何者正确？&&&&& A． 作中线 ，再取 的中点O&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B． 分别作中线 、 ，再取此两中线的交点OC． 分别作 、 的中垂线，再取此两中垂线的交点OD． 分别作 、 的角平分线，再取此两角平分线的交点O【答案】B7. （2011台湾全区，20）图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？&A． 11&&& B． 12&&& C． 13&&&& D． 14【答案】Ｂ8. （2011江苏连云港，5，3分）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（&&& ）&【答案】C9. （2011江苏苏州，2,3分）△ABC的内角和为A.180°&&&& B.360°&&&& C.540°&&&& D.720°【答案】A10．（2011四川内江，2，3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是A．32°&&&B．58°&&C．68°&&&D．60°&【答案】C11. （2011湖南怀化，2，3分）如图1所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是& A. ∠A&∠1&∠2&&&&&&&& B. ∠2&∠1&∠A& C. ∠A&∠2&∠1&&&&&&&& D. ∠2&∠A&∠1&【答案】B12. （2011江苏南通，4，3分）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是A.&3，8，4&&&B. 4，9，6&&&C. 15，20，8&&D. 9，15，8【答案】A13. （2011四川绵阳5，3）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为&A．75°&&&&&&&&&&&&& B．95°&&&&&&&&&&& C．105°&&&&&&&&&&&& D．120°【答案】C14. （2011四川绵阳6，3）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图.要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?&A．0根&&&&& B.1根&&& C.2根&&& D.3根【答案】B15. （2011广东茂名，2，3分）如图，在△ABC中，D、Ｅ分别是AB、AC的中点，若DE＝5，则BC＝&A．6&B．8&C．10&D．12【答案】C16. （2011山东东营，5，3分）一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠ 的度数是（&&& ）A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D． 【答案】A&17. （2011河北，10，3分）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（& ）A．2&&&&&&&&&&&&& B．3&&&&&&&&& C．5&&&&&& D．13【答案】B18. （2010湖北孝感，8，3分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO.若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是(&&& )&A.14cm&&& B.18cm&&& C.24cm&&& D.28cm【答案】A二、题1. （2011浙江金华，12，4分）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是&&&&& （写出一个即可）.【答案】答案不唯一，如5、6等2. （2011浙江省舟山，14，4分）如图，在△ABC中，AB=AC， ，则△ABC的外角∠BCD＝　&& 　度．&【答案】1103. （2011湖北鄂州，8，3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．&【答案】50°4. （2011宁波市，17，3分）如图，在 ABC 中，AB＝AC，D、E是 ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝&&&&&&&&&&&& cm&【答案】85. （2011浙江丽水，12，4分）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是&&&&& (写出一个即可).【答案】答案不惟一，在4&x&12之间的数都可6. （2011江西，13，3分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=&&&&&&&&& 度.&第13题图【答案】907. （2011福建泉州，15，4分）如图，在四边形 中， 是对角线 的中点， 分别是 的中点 ，则 的度数是&&&&&&&&& ．&【答案】18& 8. （2011四川成都，13,4分） 如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，若DE=4, 则AB=&&&& .&【答案】8.9. （2011四川内江，加试2，6分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O。若△ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积=&&&&&&&&&&&&&& ．&【答案】 10．（2011江苏淮安，10，3分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=&&&&& .&【答案】411. （2011上海，16，4分）如图， 点B、C、D在同一条直线上，CE//AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝_________．&【答案】54°12. （2011江苏无锡，17，2分）如图，在△ABC中，AB = 5cm，AC = 3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为______________cm．&【答案】813. （2011湖北黄冈，6，3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．&【答案】214. （2011湖北黄冈，8，3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．&【答案】50°15. （2011湖南衡阳，17，3分）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为&&&&& ．&【答案】 816. （2011江苏盐城，16，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为&& ▲&& ．&【答案】1017. （2011重庆市潼南,13,4分）如图，在△ABC中，∠A=80°,点D是BC延长线上一点，∠ACD=150°，则∠B=&&&&&&&&&&&& .&【答案】70○18. （2011湖北鄂州，6，3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．&【答案】219. （2011江苏扬州，16,3分）如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN=6，则BC=&&&& &【答案】820．（2011湖南湘潭市，15，3分）如下图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，则EC＝_______. &
三、解答题1. （2011江苏连云港，28，12分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；&& …& 现请你根据对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论.(S表示面积)问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分AC.经探究S四边形P1R1R2R2= S△ABC，请证明.&问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的△ABC拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC.请探究S四边形P1Q1Q2P2与S四边形ABCD之间的数量关系.&问题3：如图3，P1，P2,P3,P4五等分边AB，Q1，Q2,Q3，Q4五等分边DC.若S四边形ABCD=1，求S四边形P2Q2Q3P3.&问题4：如图4，P1，P2,P3四等分边AB，Q1，Q2,Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2,P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3,S4.请直接写出含有S1，S2，S3,S4的一个等式.&
2010年全国各地中考数学真题分类汇编&&&&&&&&&&&&&&&&& 第21章&& 三角形的边与角一、选择题1．（2010江苏苏州）如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．&& 若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是&&& A．4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．5&&& C．6&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．7&【答案】A2．（2010安徽省中中考）& 如图，直线 ∥ ，∠1＝550，∠2＝650，则∠3为（&&&&& ）A）500.&&&& B）550&&& C）600&&&& D）650&【答案】C3．（2010广东广州，4，3分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（&&&& ）A．2.5&&&&B．5&&&&C．10&&&&D．15【分析】由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可知，DE＝ BC＝2.5．【答案】A& &【涉及知识点】中位线【点评】本题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半．4．（10湖南益阳）如图3，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列&确定P点的方法正确的是Ａ．P为∠A、∠B两角平分线的交点　Ｂ．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点Ｃ．P为AC、AB两边上的高的交点　　Ｄ．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
【答案】B5．（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2U3U4，那么这个三角形是A. 直角三角形&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. 锐角三角形C. 钝角三角形&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. 等边三角形 【答案】B 6．（2010四川凉山）将一副三角板按图中的方式叠放，则角 等于&A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D． 【答案】A7．（2010 浙江义乌）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ▲ ）A．1、2、3.5&&&&&&&& B．4、5、9&&&&&&&&& C．20、15、8&&&&& D．5、15、8【答案】C8．（2010 重庆）如图，点 是△ 的边 的延长线上一点， ∥ ． 若 ， ，则 的度数等于（&&&&& ）&A．&&&&&&& B．&&&&&&& C．&&&&&&& D． 【答案】C 9．（2010湖南长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（&&&& ）．A、3、4、5&&& B、6、8、10&&& C、 、2、&&&& D、5、12、13【答案】C．10．（2010 四川南充）三根木条的长度如图，能组成三角形的是（　　）．&【答案】D11．（2010 浙江衢州）如图，D，E分别是△ABC的边AC和BC的中点，已知DE=2，则AB=（　　）&A．1&&&& B．2&&C．3&&D．4【答案】D 12．（2010湖南邵阳）下列长度的三条线段能组成三角形的是&&&&&&&&& （&&&& ）A．1，2，3&&& B．2，2，4&&&&& C．3，4，5&&&&&& D．3，4，8【答案】C 13．（2010 河北）如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于&A．60°&&&&&&& &&B．70°&C．80°&&&&&& &&D．90°【答案】C 14．（2010四川 巴中）如图1 所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（)&&A .△ABC 的三条中线的交点&&&&&&& B .△ABC 三边的中垂线的交点C .△ABC 三条角平分线的交点&&&&&& D .△ABC 三条高所在直线的交点【答案】C 15．（2010湖北荆州）一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是A ．150°　　　 B．180°& 　　 C．135°&&& 　Ｄ．不能确定&
&　　　　　　　　　　　　　【答案】A16．（2010湖北鄂州）如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是A.4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.3C.6&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.5&【答案】B 17．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点)处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点)处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点)处，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（&&&& ）A．1&&&&&&&&&& &B．2&&&&&&&&&&&&&& C．3&&&&&&&& &D．4&【答案】C 18．（2010云南昆明）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（　　）　&A．80°&B．90°&C．100°&D．110°
&【答案】D 19．（2010 福建三明）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是&（&&& ）&A．4cm&B．5cm&C．6cm&D．11cm【答案】C 20．（2010 山东东营）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， ，则 的度数等于（&&& ）(A) &&&&& (B) &&&& (C) &&& (D) &
【答案】C21．（2010 湖北孝感）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，则 的度数是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）&A．55°&B．65°&C．75°&D．85°&【答案】C 22．（2010 四川自贡）为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（&&& ）。A．5m&B．15m&C．20m&&&&&& D．28m
&【答案】D23．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=40°,AD是角平分线，则∠ADC的度数为A．25°&&&B．50°&&&C．65°&&&D．70°&
【答案】C 24．（2010年山西）现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为&&&&（&&& ）&A．1个&B．2个&C．3个&D．4个【答案】C 25．（2010辽宁大连）如图1， ， ，则 的度数是（）A.&&&&&&& B.&&&&&&& C.&&&&&&&&& D. &&&&&&&& 【答案】A 26．（2010湖南娄底）在如图3所示的图形中，三角形的个数共有（&&&& ）A .1个&&&& B.2个&&&& C. 3个&&&&&&& D.4个&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&& 【答案】 C 二、填空题1．（2010安徽蚌埠）在 中， 分别是 上的点， ，&& 交于点 ，若 ，则四边形 的面积为________。&【答案】 2．（2010安徽蚌埠）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________。
【答案】2013．（2010四川凉山）已知三角形两边长是方程 的两个跟，则三角形的第三边 的取值范围是&&&&&&&& 。【答案】 4．（2010台湾）如图(十一)，△ABC中，有一点P在 上移动。若 = =5，&& =6，则   的最小值为何？(A) 8& (B) 8.8& (C) 9.8& (D) 10 。
【答案】C 5．（2010 浙江义乌）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是&&& ▲&&& ．(写出一组即可)【答案】3、4、5（满足题意的均可）6．（2010 山东省德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1= CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2= AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3= BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________．&【答案】27．（2010福建宁德）如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为___________.&【答案】48．（2010年贵州毕节）三角形的每条边的长都是方程 的根，则三角形的周长是&&&&&&&&&&&&&&&&&& ． 【答案】6或10或12.9．（2010湖南郴州）如图3，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则 　& 度．&&【答案】270& 10．（2010云南红河哈尼族彝族自治州） 如图3，D、E分别是AB、AC上的点，若∠A=70°，∠B=60°，&&& DE//BC.则∠AED的度数是&&&&& &【答案】50°11．（2010河南）将一副直角三角板如图放置，使含300角的三角板的短直角边和含 角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为&&&&&&&&&&&&&&& .& 【答案】75°12．（2010年福建省泉州） 现有四条钢线，长度分别为（单位： ） 、 、 、 ，从中取出三根连成一个三角形，这三根的长度可以为&&&.（写出一种即可）【答案】7、6、3（或7、6、2）13．（2010贵州铜仁）一副三角板，如图叠放在一起，∠1的度数是_______度．&【答案】75三、解答题1．（2010四川广安）某学校花台上有一块形如右图所示的三角形ABC地砖，现已破损．管理员要对此地砖& 测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由&【答案】测量方案不唯一，如：⑴用量角器分别量出∠A、∠B的大小⑵用尺子量出AB的长，根据这三个数据加工的地砖能符合要求，理由是用“边角边公理”得不予考虑这两个三角形全等。 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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