勾股定理中的折叠问题（人教版）
单选题(本大题共小题，
1.(本小题10分)
如图,将边长为16cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是(&&&&)
2.(本小题10分)
如图,矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为(&&&&)
3.(本小题10分)
如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,已知AB=6cm,BC=18cm,则Rt△CDF的面积是(&&&&)
勾股定理之折叠问题&
4.(本小题10分)
如图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=4cm,BC=5cm,则EF=(&&&&)
5.(本小题10分)
如图,在矩形ABCD中,BC=4,DC=3,将该矩形沿对角线AC折叠,使点B落在点F处,CF交AD于点E,则EF的长为(&&&&)
6.(本小题10分)
把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图所示方式折叠,使顶点B与点D重合,折痕为EF.若AB=6,BC=10,求重叠部分△DEF的面积为(&&&&).
7.(本小题10分)
如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB为8,则折叠后重合部分的面积是(&&&&)
勾股定理之折叠问题&
8.(本小题10分)
如图,将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在边CD上的E点,折痕为MN.若CE的长为8cm,则AM=&&&&&cm,BN=&&&&&cm.(&&&&)
填空题(本大题共小题，
9.(本小题10分)
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长为____cm．
勾股定理的应用&
10.(本小题10分)
如图，折叠一个矩形纸片，沿着AE折叠后，点D恰好落在BC边的一点F上，已知
AB=8cm，BC=10cm，则=____cm2．
勾股定理之折叠问题&
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或者，立即勾股定理与折叠问题的不解之缘--《中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材)》2015年06期
勾股定理与折叠问题的不解之缘
【摘要】：正在近年的中考试卷中,出现了大量的图形操作类题,通过对图形的折叠、剪拼等变换手段,为同学们提供一个动手操作、说理验证的问题情景.此类问题在四边形知识点的考查方面表现得尤为突出.现选取和折叠有关的中考题加以解析,供同学们参考.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
在近年的中考试卷中,出现了大量的图形操作类题,通过对图形的折叠、剪拼等变换手段,为同学们提供一个动手操作、说理验证的问题情景.此类问题在四边形知识点的考查方面表现得尤为突出.现选取和折叠有关的中考题加以解析,供同学们参考. ―、判断图形形状 俐'(潍坊)細1,矩形纸片
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京公网安备75号八年级上册数学勾股定理复习题_百度文库
八年级上册数学勾股定理复习题
勾股定理的复习 一、全章要点
1、勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c）
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的证明
常见方法如下：
方法一：4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD，4?ab?(b?a)2?c2，化简可证．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2
2大正方形面积为S?(a?b)?a?2ab?b
方法三：S梯形?(a?b)?(a?b)，S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2，化简得证
；5,12,13；7,24,25；4、勾股数
记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；
8,15,17；9,40,41等
例1．如图，矩形纸片ABCD的边AB=10，BC=6，E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的。
例2、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
例3、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长
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　　折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显. 这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.
　　折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.
　　根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点（对称点）之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.
　　1、利用点的对称&&
　　例1. （2006年南京市）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.
　　（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G（如图①），AF=，求DE的长；
　　（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G（如图②），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.
　　图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，则O为圆心，延长MO交BC于N，则ON⊥BC，MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE=，OE=. 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=，从而求出EF的长.
　　对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.
　　二、利用线段的对称性质
　　例2.（新课标人教版数学八年级下学期P126）数学活动1：折纸做300、600、150的角&
　　对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使A点落在折痕EF上的N点处，并使折痕经过点B得到折痕BM，同时得到线段BN，观察所得到的∠ABM、∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？（教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC，作NG⊥BC，则直角三角形中NG=BN，从而可得∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.）
　　若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN，则AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN为等边三角形，所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.
　　利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.
　　三、利用面对称的性质
　　例3. (2006年临安)如图，△OAB是边长为2的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在OB上，记为A`点，折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB上运动，但不与O、B重合时，能否使△A`EF为直角三角形？
　　这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF为直角三角形，且直角顶点在F处时，根据轴对称性质我们可以得到∠AFE=∠A`FE=900，此时A`点与B点重合，与题目中已知相矛盾，所以直角顶点在点F处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点E处. 故当A`点在OB上运动，若不与O、B重合，则不存在这样的A`点使△A`EF为直角三角形.
　　在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.
　　解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系；其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.
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