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2014年全国高中数学联赛几何证明题的一题多解——八种证法
基于2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷中一道几何证明题得分率低的情况,笔者研究这道试题,发现题目难度并不大,关键在于辅助线的作法与部分简单几何性质的应用.本文通过巧妙改变辅助线的作法,给出了八种简单证明方法,对教师竞赛培训和学生学习有一定的帮助.
作者单位：
陕西师范大学数学与信息科学学院 710100
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初中数学几何证明经典题(含答案)
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立体几何证明题
《立体几何证明题》证明书立体几何证明题如图，原题意就是一个正方体，然后E、F分别是A'B、B'C的中点，求证EF//面ABCD。
那些虚线是我做的辅助线，EM⊥AB，FN⊥BC，连接MN;然后EG⊥BB'，连接FG，EF。然后证那个五面体EGF-MBN是个三棱柱，从而证得EF//面ABCD，可不可以?
3
证明:(1)连接BG并延长交PA于点H..
因为PA,PB,PC两辆垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...
因为G为△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因为PF=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....( 网：www.sanwen.net )
即GF⊥PB...因为PB在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...
所以GF⊥面PBC...
(2)在BC上取异于E的一点K,,使得CK=1/3BC...
因为BF=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..
因为E为BK中点,,BF=FK..所以FE⊥BC...
4
1.设P点的射影是H因为PB=PC=PD，所以H必是BC,DC的中垂线的交点，因为BH^2+PH^2=CH^2+PH^2=DH^2+PH^2又因为A是BC,DC的中垂线的交点，所以A与P重合，PA垂直于平面ABCD.2.取AB中点F，过F做FM垂直AB于M，则∠EMF为所求角因为EF=1/2AP=1,FM=1/2BN=√3/2(N为AC中点)则可求得
5
取CD和BC的中点M,N,连接PM,PN,AM,AN,因为三角形ABC和三角形PBC都为等腰三角形，所以PN垂直于BC,AN还垂直于BC,所以BC垂直于面PAN,所以BC垂直于PA,同理证PA垂直于CD,即可。第二问，建空间直角坐标系，求两个面的法向量，再用向量夹角公式就可求出，结果为arccos(根号下21)/7.
6
PA⊥AB PA⊥AC，∴PA⊥面ABC
∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC
∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AE
又因为 AE⊥PB
∴AE⊥面PBC，∴AE⊥PC
又∵ AF⊥PC
∴ PC⊥平面AEF
7
3
证明:(1)连接BG并延长交PA于点H..
因为PA,PB,PC两辆垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...
因为G为△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因为PF=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....
即GF⊥PB...因为PB在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...
所以GF⊥面PBC...
(2)在BC上取异于E的一点K,,使得CK=1/3BC...
因为BF=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..
因为E为BK中点,,BF=FK..所以FE⊥BC...
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初中数学几何证明过程怎么写？——几何证明题书写过...
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初中数学几何证明过程怎么写？——几何证明题书写过程规范_标清
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