高中数学知识点 |
高中数学知识点
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
& 定比分点公式（向量P1P=&&向量PP2）
& 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 &，使 向量P1P=&&向量PP2，&叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
& 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
& OP=(OP1+&OP2)(1+&)；（定比分点向量公式）
& x=(x1+&x2)/(1+&),
& y=(y1+&y2)/(1+&)。（定比分点坐标公式）
& 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
& 三点共线定理
& 若OC=&OA +&OB ,且&+&=1 ,则A、B、C三点共线
& 三角形重心判断式
& 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
& 若b&0，则a//b的重要条件是存在唯一实数&，使a=&b。
& a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
& 零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
& a&b的充要条件是 a&b=0。
& a&b的充要条件是 xx'+yy'=0。
& 零向量0垂直于任何向量.
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
& 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
& AB+BC=AC。
& a+b=(x+x'，y+y')。
& a+0=0+a=a。
& 向量加法的运算律：
& 交换律：a+b=b+a；
& 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
& 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
& AB-AC=CB. 即&共同起点，指向被减&
& a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
& 实数&和向量a的乘积是一个向量，记作&a，且O&aO=O&O&OaO。
& 当&＞0时，&a与a同方向；
& 当&＜0时，&a与a反方向；
& 当&=0时，&a=0，方向任意。
& 当a=0时，对于任意实数&，都有&a=0。
& 注：按定义知，如果&a=0，那么&=0或a=0。
& 实数&叫做向量a的系数，乘数向量&a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
& 当O&O＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（&＞0）或反方向（&＜0）上伸长为原来的O&O倍；
& 当O&O＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（&＞0）或反方向（&＜0）上缩短为原来的O&O倍。
& 数与向量的乘法满足下面的运算律
& 结合律：(&a)&b=&(a&b)=(a&&b)。
& 向量对于数的分配律（第一分配律）：(&+&)a=&a+&a.
& 数对于向量的分配律（第二分配律）：&(a+b)=&a+&b.
& 数乘向量的消去律：① 如果实数&&0且&a=&b，那么a=b。② 如果a&0且&a=&a，那么&=&。
3、向量的的数量积
& 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0&〈a,b〉&&
& 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a&b。若a、b不共线，则a&b=|a|&|b|&cos〈a，b〉；若a、b共线，则a&b=+-OaOObO。
& 向量的数量积的坐标表示：a&b=x&x'+y&y'。
& 向量的数量积的运算律
& a&b=b&a（交换律）；
& (&a)&b=&(a&b)(关于数乘法的结合律)；
& （a+b)&c=a&c+b&c（分配律）；
& 向量的数量积的性质
& a&a=|a|的平方。
& a&b 〈=〉a&b=0。
& |a&b|&|a|&|b|。
& 向量的数量积与实数运算的主要不同点
& 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a&b)&c&a&(b&c)；例如：(a&b)^2&a^2&b^2。
& 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a&b=a&c (a&0)，推不出 b=c。
& 3、|a&b|&|a|&|b|
& 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
& 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a&b。若a、b不共线，则a&b的模是：Oa&bO=|a|&|b|&sin〈a，b〉；a&b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a&b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a&b=0。
& 向量的向量积性质：
& Oa&bO是以a和b为边的平行四边形面积。
& a‖b〈=〉a&b=0。
& 向量的向量积运算律
& a&b=-b&a；
& （&a）&b=&（a&b）=a&（&b）；
& （a+b）&c=a&c+b&c.
& 注：向量没有除法，&向量AB/向量CD&是没有意义的。
向量的三角形不等式
& 1、OOaO-ObOO&Oa+bO&OaO+ObO；
& ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
& ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
& 2、OOaO-ObOO&Oa-bO&OaO+ObO。
& ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
& ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。&
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高一数学《平面向量》教案
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：5.3实数与向量的积综合练习
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积& (强调：“模”与“方向”两点)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3．向量共线的充要条件
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
1．当λ?Z时，验证：λ( )=λ λ
证：当λ=0时，左边=0o( )=&& 右边=0o 0o =&& 分配律成立
& 当λ为正整数时，令λ=n,& 则有：
n( )=( ) ( ) … ( )
= … … =n n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=?n（n为正整数），有
?n( )=n[?( )]=n[(? ) (? )]=n(? ) n(? )=?n (?n )=?n ?n
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ( )=λ λ 恒成立 。
2．如图，在△ABC中， = ,& =&&&&& AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
&&&&&& 解一：∵ = ,& =&&& 则 =& =&
∴ = = & 而 =&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∵△AEF∽△ABC
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =& =&&&&&& =& =&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =& =&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴ = =& &
&& 3．在&&&& ABCD中，设对角线 = ， = 试用 ,& 表示 ，
&&&&&&&& 解一： = =&&&&&&&&&&&&&&& =& =&
∴ = = ? =& ?&
& = = =& &
&&&&&&&& 解二：设 = ， =
则 =&&&&&&&&&&&&&& =&&&&&&&&& ∴&& = ( ? )
&&& ? =&&&&&&&&&&&&&&& ? =&&&&&&&&&&&&&&&&& = ( )
&&&& 即： = ( ? )&&&&&&& = ( )
& 4．设 ,&& 是两个不共线向量，已知 =2 k ,&& = 3 ,& =2 ? , 若三点A, B, D共线，求k的值。
解： = ? =(2 ? )?( 3 )= ?4
∵A, B, D共线&&&&& ∴ , 共线&&& ∴存在λ使 =λ
即2 k =λ( ?4 )&&&&&& ∴&&&&&&&&& ∴k=?8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设 = ,& = ，试以 ,& 为基底表示 ,& ,&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解： =& =&&&&& 连ND 则DC╩ND
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴ = = ? = ?&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 又： =& =&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴ = ? = ? =? ?
=(? & )?& =& ?
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30?, 60?角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90?
=1 (kg)&& ?P1OP=60?&&&& ?P2OP=30?
∴ = cos60?=1o =0.5&&& (kg)
= cos30?=1o =0.87&&& (kg)
&& 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg&
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热门课程热门专题2014高一数学必修4第二章平面向量单元测试题（有答案）
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2014高一数学必修4第二章平面向量单元测试题（有答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2014高一数学必修4第二章平面向量单元测试题（有答案）
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文 章来 源莲山 课件 w ww.5Y k J.cO m 第二章测试&(时间：120分钟，满分：150分)一、(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式：①|a＋b|＝|a|＋|b|；②|a－b|＝±(|a|－|b|)；③a2&|a|2；④|a•b|＝|a|•|b|.其中正确的个数为(　　)A．0& &B．2C．3& &D．4解析　对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2&|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案　A2．下列命题中，正确的是(　　)A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角解析　在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a与b方向相反．答案　B3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)A.7& &B.10C.13& &D．4解析　∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a•b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝13.答案　C4．已知向量a＝8＋12x，x，b＝(x＋1,2)，其中x&0，若a∥b，则x的值为(　　)A．8& &B．4C．2& &D．0解析　∵a∥b，∴(8＋12x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x&0，∴x＝4.答案　B5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则AP→•(PB→＋PC→)等于(　　)A.49& &B.43C．－43& &D．－49解析　M为BC的中点，得PB→＋PC→＝2PM→＝AP→，∴AP→•(PB→＋PC→)＝AP→2.又∵AP→＝2PM→，∴|AP→|＝23|AM→|＝23.∴AP→2＝|AP→|2＝49.答案　A6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)•c＝30，则x＝(　　)A．6& &B．5C．4& &D．3解析　8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)，∴(8a－b)•c＝(6,3)•(3，x)＝18＋3x.又(8a－b)•c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.答案　C7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a•b的取值范围是(　　)A．(－1,1)& &B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)& &D．(－∞，1)解析　依题意可设a＋2b＝λa(λ&0)，则b＝12(λ－1)a，∴a•b＝12(λ－1)a2＝12(λ－1)×2＝λ－1&－1.答案　B8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为(　　)A.34& &B.537C.2537& &D.53737解析　∵(3e1＋4e2)&#e21＋4e1&#×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e1＋4e2|2＝9e21＋16e22＋24e1&#×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e1＋4e2|＝37.设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则cosθ＝537×1＝537.答案　D9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝(　　)A.14a＋12b& &B.23a＋13bC.12a＋14b& &D.13a＋23b解析　如图所示，AF→＝AD→＋DF→，&由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3.∴DF→＝13AB→.∴AF→＝12a＋12b＋13(12a－12b)＝23a＋13b.答案　B10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为12，32，则C点坐标为(　　)A．(1，－3)& &B.－54，54C．(4,2)& &D．(－2,4)解析　设C(x，y)，则由AB→＝BC→，得12－－3，32－1＝x－12，y－32，∴x－12＝72，y－32＝12，⇒x＝4，y＝2，∴C(4,2)．答案　C11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a•b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是(　　)A.0，π6& &B.π3，πC.π3，2π3& &D.π6，π解析　设a与b的夹角为θ，∵Δ＝|a|2－4a•b≥0，∴a•b≤|a|24，∴cosθ＝a•b|a||b|≤|a|24|a||b|＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈π3，π.答案　B12．在△ABC所在平面内有一点P，如果PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　)A.13& &B.12C.23& &D.34&解析　因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→＝PB→－PA→，所以2PA→＋PC→＝0，PC→＝－2PA→＝2AP→，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)．所以△PAB与△ABC的面积之比是13.答案　A二、题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，3)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.解析　由a∥b，得23cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，∴tanθ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6.答案　π6或76π14．假设|a|＝25，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.解析　设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.①又a⊥b，∴a•b＝0，∴－x＋3y＝0.②由①②解得x＝32，y＝2，或x＝－32，y＝－2，∴a＝(32，2)，或a＝(－32，－2)．答案　(32，2)或(－32，－2)15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB→•AC→＝BA→•BC→＝2，那么c＝__________.解析　由题知AB→•AC→＋BA→•BC→＝2，即AB→•AC→－AB→•BC→＝AB→•(AC→＋CB→)＝AB→2＝2⇒c＝|AB→|＝2.答案　216．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a•b＝a•c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析　&当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，AC→＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.答案　②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？解　(1)令c•d＝0，则(3a＋5b)•(ma－3b)＝0，即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a•b＝0，解得m＝2914.故当m＝2914时，c⊥d.(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b)即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，∵a，b不共线，∴3－λm＝0，5＋3λ＝0，解得λ＝－53，m＝－95.故当m＝－95时，c与d共线．18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.&证明　设此等腰直角三角形的直角边长为a，则AD→•CE→＝(AC→＋CD→)•(CA→＋AE→)＝AC→•CA→＋CD→•CA→＋AC→•AE→＋CD→•AE→＝－a2＋0＋a&#a•22＋a2&#a•22＝－a2＋23a2＋13a2＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．解　设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴AD→•BC→＝0，即(x－2，y＋1)•(－6，－3)＝0.∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②由①②可得x＝1，y＝1.∴|AD→|＝ &#&#＝5，即|AD→|＝5，D(1,1)．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA→＝(4，－4)，OB→＝(5,1)，OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，求MB→的坐标．解　设点M的坐标为M(x，y)．∵OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，∴OM→⊥MB→，∴OM→•MB→＝0.又OM→＝(x，y)，MB→＝(5－x,1－y)，∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.又点O，M，A三点共线，∴OM→∥OA→.∴x4＝y－4.∴x5－x＋y1－y＝0，x4＝y－4，解得x＝2，y＝－2.∴MB→＝OB→－OM→＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(12分)&如图，在平面斜坐标系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP→＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．(1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|；(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．解　(1)因为点P的斜坐标为(2，－2)，故OP→＝2e1－2e2，|OP→|2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1&#－8cos60°＝4，∴|OP→|＝2，即|OP|＝2.(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OM→＝xe1＋ye2，又|OM→|＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.∴x2＋y2＋2xye1&#.即x2＋y2＋xy＝1.故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.22．(12分)如图，在四边形ABCD中，BC→＝λAD→(λ∈R)，|AB→|＝|AD→|＝2，|CB→－CD→|＝23，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．&(1)求λ的值；(2)求CB→•BA→的值．解　(1)因为BC→＝λAD→，所以BC∥AD，且|BC→|＝λ|AD→|.因为|AB→|＝|AD→|＝2，所以|BC→|＝2λ.又|CB→－CD→|＝23，所以|BD→|＝23.作AH⊥BD交BD于H，则H为BD的中点．在Rt△AHB中，有
cos∠ABH＝BHAB＝32，于是∠ABH＝30°，所以∠ADB＝∠DBC＝30°.而∠BDC＝90°，所以BD＝BC•cos30°，即23＝2λ•32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC＝60°，|CB→|＝4，所以CB→与BA→的夹角为120°，故CB→•BA→＝|CB→|•|BA→|cos120°＝－4.& 文 章来 源莲山 课件 w ww.5Y k J.cO m
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