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教案3. 函数.极限.连续
1.6数列的极限　1.7函数的极限　1.8无穷大量与无穷小量
1.6 数列的极限
我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
&& 若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，an，…为数列.
&& 数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.
&& 注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=，它的定义域是全体正整数
&& 极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
& 例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。
&&&&& 设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；
&&&&& 再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；
&&&&& 再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；
&&&&& 依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为An)可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，…，An，…，它们就构成一列有序数列。
我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，…，An，…
当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限
&&& 注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。
数列的极限
&& 一般地，对于数列来说，
&& 若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切不等式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& 都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a
&&& 记作：或
&& 注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。
&&&&&& 且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
&& 注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。
& 数列极限为a的一个几何解释：
&& 将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& 因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区
&& 间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
&& 注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。
数列的有界性
& 对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式││≤M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。
& 定理：若数列收敛，那末数列一定有界。
&& 注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
&& 例：数列& 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…&
是有界的，但它是发散的。
1.7 函数的极限
前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取
1→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.
&& 函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。
&& 我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢
&& 下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!
函数的极限(分两种情况)
&& a):自变量趋向无穷大时函数的极限
&&& 设函数，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式
的一切x，所对应的函数值都满足不等式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限，记作：
&& 下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：
数列的极限的定义
函数的极限的定义
存在数列与常数A
&任给一正数ε＞0
总可找到一正整数N
对于n＞N的所有
都满足＜ε
则称数列当x→∞时收敛于A
存在函数与常数A
任给一正数ε＞0
总可找到一正数X
对于适合的一切x
函数当x→∞时的极限为A
从上表我们发现了什么 ？？试思考之
& b):自变量趋向有限值时函数的极限
&& 我们先来看一个例子.
&& 例：函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？
&&&&& 函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个
&&&&& 点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&& 从中我们可以看出x→1时，→2.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.
&&&&& 或说：只要与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ时满足＜δ
&&& 设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A，如果对任意给定的ε(不论其多么小)，
&&& 总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε
&&&&&& 则称函数当x→x0时存在极限，且极限为A，记：
&& 注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？
&&&&& 这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。
&&&&& 此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x均满足不等式。
有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？
&&&& a):先任取ε＞0；
&&&& b):写出不等式＜ε；
&&&&c):解不等式能否得出去心邻域0＜＜δ，若能；
&&& d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜＜δ时，＜ε成立，因此
下面我们来学习和
1.8 无穷大量与无穷小量
&& 我们先来看一个例子：
&& 已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。
&& 为此我们可定义如下：
&& 设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
时，成立，
&& 则称函数当时为无穷大量。
&& 记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）
&& 同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：
&& 设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
时，成立，
&& 则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：
&& 以零为极限的变量称为无穷小量。
&& 定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& 的一切x，所对应的函数值满足不等式，
&& 则称函数当(或x→∞)时
为无穷小量.
&& 记作：(或)
&& 注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
&&&&&&&& 无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.
&&&&&&&& 无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.
关于无穷小量的两个定理
&& 定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&& 是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
&& 定理二：无穷小量的有利运算定理
&&&&&&& && a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
&&&&&&&&&& b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；
&&&&&&&& & c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
教材第1章 第1、2节
第1章第2、3、6题为什么收敛数列必有界是X趋近无穷而不是趋近正无穷无穷是正无穷和负无穷的意思啊
数列第一项可以是负无穷吗 这样可以作为反例吗
云幽的包子0048
无穷是正无穷和负无穷的意思,一个数轴可以看作半径为无穷大的一个圆，在其上取一点做原点，从正方向可到正无穷，反之则为负无穷。其实是正无穷和负无穷是同一个点这个点叫无穷远点，是正无穷和负无穷各为半个点。但在现实中找不到无穷远点。正无穷和负无穷是一个抽象的概念，并不是一个具体的数，所以 数列第一项不可以是负无穷。...
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分类/无穷大
&无穷大分为正无穷大、负无穷大，分别记作+∞、-∞，非常广泛的应用于数学当中。
基数/无穷大
简介无穷大在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数（基数），有不同的“无穷”。这里比较不同的无穷的“大小”的时候唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断，而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系，它们就具有相同的无穷基数。自然数集是具有最小基数的无穷集，它的基数用希伯来字母阿列夫右下角标0来表示。可以证明，任何一个集合的幂集（所有子集所形成的集合）的比原集合大，如果原来的基数是a，则幂集的基数记为2a（2的a次方）。这称为康托尔定理。对于两个无穷集合，可以以能否建立它们之间的双射，作为比较其大小的标准。确切地讲，我们用基数的概念来描述集合，对于有限集合而言，可以认为它的基数就是元素的个数，但对无穷集而言，基数只能以下面的方式理解（当然也可以据此把无穷集合的基数说成是它元素的个数，但这个个数已经不是日常用语中的意思）。如果集合A与集合B之间存在双射（一一对应），就认为它们的基数一样大；如果A与B的某个子集有双射，就认为A的基数不比B更大，也就是A到B有单射，B到A有满射；当A的基数不比B更大，且A、B基数不一样大时，就认为A比B基数小。在ZFC集合论的框架下，任何集合都是良序的，从而两个集的基数总是大于、小于、等于中的一种，不会出现无法比较的情况。但若不包括选择公理，只有良序集的基数才能比较。例如，可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为“阿列夫零”。比可数集合“大”的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同，为二的阿列夫零次方，被定义为“阿列夫壹”。由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个，否则会产生的一种形式。比较最大的无穷大是多大呢？答案是没有尽头。事实上，(0,1)上的实数可以和正整数的所有子集的集合一一对应：把这些实数写成二进制，小数点后第n位为1，对应于n在子集中；为0则对应不在子集中。这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应，因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。也可以证明前面所说曲线可以和实数集的幂集有一一对应关系。我们把前面说的所有曲线看成一个集合，他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去，得到越来越大的无穷大。另外还有一个问题，即连续统假设：整数的无穷大和实数的无穷大之间存不存在别的无穷大。也就是说，是否存在比整数基数大，而比实数基数小的无穷基数，也就是与之间有没有别的基数。更一般的，任给定无穷基数a，在a和2a之间是否有别的基数？这称为广义连续统假设。数学家证明了这样一个事实：连续统假设无法在ZFC集合论公理下被证明或证伪，换而言之，承认连续统假设将导出一个体系；不承认将导出另外一种体系。连续统假设或其否定均可作为额外的公理。在集合论里可以证明，比一个集合基数大的最小基数是存在的，如果你承认连续统假设，那么可以把改写成，改写成，某些书籍正是这么做的，但是未明确指出这一点。
网上质疑/无穷大
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假设来个副校长，要求每两个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室二，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好是学生数量的一半。第二天，又来个副校长，要求每个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为就不用检查了（根本不可能检查完——无穷的），于是他宣布，本学校凳子数量，正好等于学生数量。两位自以为是的校长都有可能是对的，也可能是错的，方法不对。
在有限集的比较过程中，关键不在建立了怎样的对应关系，关键在于我们要比较到最后，至少一个集合结束了，而另一个集合中元素数量已经超过对比集合数量，而且还没结束，我们才能证明一个集合建立的对应关系比另一个集合数量多。"回应：数学的特点是即可，我们可以定义有一一映射为等势，这与自身并不矛盾。从这个定义出发，人们可以创造丰富的学问。至于如何通俗地理解等势，等势和通俗的数量相等有何关系，这不是数学所考虑的范围。在这个问题中，两个校长从自身关于有限集的经验出发，试图通俗地理解无限集的等势概念，其所得到的结论都有道理。这只是通俗地理解数学概念的不同方式罢了，并不意味着等势概念就是错误的，或者说自相矛盾的。顺便说一下，从数学专业的角度来看，后来的那个校长的观点更容易理解。
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举例说明：无穷多个无穷小量之积可以不是无穷小量
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如下数列均为无穷小量：
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,……,1/n,……
1,2,1/3,1/4,1/5,1/6,……,1/n,……
1,1,3^2,1/4,1/5,1/6,……,1/n,……
1,1,1,4^3,1/5,1/6,……,1/n,……
1,1,1,1,5^4,1/6,……1/n,……
但是将他们对应项连乘起来，取极限得到一个新的数列
此数列为1,1,1,1,1,1,……,极限是1，而不是无穷小量
如下数列均为无穷大量:
0,1,2,3,4,5,……,n,……
1,0,1,2,3,4,……,n-1,……
如下数列均为无穷小量：
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,……,1/n,……
1,2,1/3,1/4,1/5,1/6,……,1/n,……
1,1,3^2,1/4,1/5,1/6,……,1/n,……
1,1,1,4^3,1/5,1/6,……,1/n,……
1,1,1,1,5^4,1/6,……1/n,……
但是将他们对应项连乘起来，取极限得到一个新的数列
此数列为1,1,1,1,1,1,……,极限是1，而不是无穷小量
如下数列均为无穷大量:
0,1,2,3,4,5,……,n,……
1,0,1,2,3,4,……,n-1,……
1,1,0,1,2,3,……,n-2,……
1,1,1,0,1,2,……n-3,……
1,1,1,1,0,1,……,n-4,……
1,1,1,1,1,0,……,n-5,……
但是将他们对应项连乘起来，取极限得到一个新的数列
此数列为0,0,0,0,0,0……,极限是0，而不是无穷大量
无穷多个无穷小量之积是无穷小量，
无穷多个无穷大量之积是无穷大量，
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