2012届高考数学函数的单调性与最值知识点复习测试题及答案
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2012届高考数学函数的单调性与最值知识点复习测试题及答案
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2012届高考数学函数的单调性与最值知识点复习测试题及答案
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 第4讲&&&& 函数的单调性与最值★知识梳理函数的单调性定义：设函数 的定义域为 ，区间 &&& 如果对于区间 内的任意两个值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 上是单调增函数， 称为 的单调增区间如果对于区间 内的任意两个值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 上是单调减函数， 称为 的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数 ，如果在某区间 上 ，那么 为区间 上的增函数；如果在某区间 上 ，那么 为区间 上的减函数；1．&函数的最大（小）值设函数 的定义域为 如果存在定值 ，使得对于任意 ，有 恒成立，那么称 为 的最大值；如果存在定值 ，使得对于任意 ，有 恒成立，那么称 为 的最小值。★重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1）&函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的 ， 有三个特征：一是任意性；二是大小，即&；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间 上 （ ）仅是 为区间 上的增函数（减函数）的充分不必要条件。（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明 在某区间 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间 上的两个特殊值来代替。而要证明 在某区间 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间 上两个特殊的 ， ，若 ，有 即可。如果用导数证明 在某区间 上递增或递减，那么就证明在某区间 上 或 。（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数 分别在 和 内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即 内是单调递减的，只能说函数 的单调递减区间为 和 （6）一些单调性的判断规则：①若 与 在定义域内都是增函数（减函数），那么 在其公共定义域内是增函数（减函数）。②复合函数的单调性规则是“异减同增”2．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。★热点考点题型探析考点1& 函数的单调性题型1：讨论函数的单调性&[例1] (2008广东)设 ,函数& .试讨论函数 的单调性.[解题思路]分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。[解析]: 因为 ,所以 .&(1)当x&1时，1-x&0， &①当 时， 在 上恒成立，故F(x)在区间 上单调递增；&②当 时，令 ，解得 ，&且当 时， ；当 时， &故F(x)在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；(2)当x&1时， x-1&0， &①当 时， 在 上恒成立，故F(x)在区间 上单调递减；&②当 时，令 ，解得 ，且当 时， ；当 时， 故F(x)在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；综上得，①当k=0时，F(x)在区间 上单调递增，F(x)在区间 上单调递减；②当k&0时，F(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减,在区间&上单调递增；③当 时，F(x)在区间 上单调递减,在区间&上单调递增,在区间 上单调递减.【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.题型2：研究抽象函数的单调性[例2] 定义在R上的函数 ， ，当x＞0时， ，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）•f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。[解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）•f（－x）=1.∴f（－x）= ＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）•f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）•f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）•f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.【名师指引】解本题的关键是灵活目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.[新题导练]1．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数 的单调递减区间是（&& ）A． ; B． ; C． ; D．& [解析] C；由 得 ，又由 知函数 在 上是减函数，根据复合函数的单调性知函数 的单调递减区间是 2．（东皖高级中学09届高三月考）函数 的单调增区间为（&&& ）A． ；B． ；C． ；D． [解析] D；由 得 或 ，又函数 在 上是减函数， 在 上是减函数，所以函数&的单调增区间为 3. (2008全国Ⅰ卷)已知函数 ， ．（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；（Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围．[解析] （1） ；（2） （1） 求导： 当 时， ， ， 在 上递增当 ， 求得两根为 即 在 递增，&递减， 递增（2） ，且 解得： 考点2& 函数的值域（最值）的求法题型1：求分式函数的最值[例3] （2000年上海）已知函数& 当 时，求函数 的最小值；&[解题思路]当 时， ，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；[解析]当 时， & ，& 。& 在区间 上为增函数。& 在区间 上的最小值为 。【名师指引】对于函数 若 ，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到 而认为其最小值为 ，但实际上，要取得等号，必须使得 ，这时 所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型2：利用函数的最值求参数的取值范围[例4] （2000年上海）已知函数& 若对任意 恒成立,试求实数 的取值范围。[解题思路] 欲求参数 的取值范围，应从 恒成立的具体情况开始。[解析]& 在区间 上恒成立；& 在区间 上恒成立；& 在区间 上恒成立；&函数 在区间 上的最小值为3，&&& &即 【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。题型3：求三次多项式函数的最值&[例5]（09年高州中学）已知 为实数，函数 ，若 ，求函数 在 上的最大值和最小值。[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。[解析]∵ ，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ……………………3分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ……………………4分&&& 得：当&&&&&&&&&&& ……………………5分当&&&&&&&&&&&&&&& ……………………6分因此， 在区间 内单调递减，而在 内单调递减，且 又&&&&&& ，&，………………10分【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。[新题导练]4.（09年广东南海）若函数& 的最大值与最小值分别为M,m，则M+m =&&&&&&&& [解析] 6；由 知 在 上是增函数又因为函数 是奇函数，所以函数& 是增函数，故M+m= 5.（高州中学09届模拟）已知函数 。&& （Ⅰ）若 为奇函数，求 的值；&& （Ⅱ）若 在 上恒大于0，求 的取值范围。[解析]（Ⅰ） ；（Ⅱ） 的取值范围为 （Ⅰ） 的定义域关于原点对称若 为奇函数，则&& ∴ （Ⅱ） ∴在 上 ∴ 在 上单调递增∴ 在 上恒大于0只要 大于0即可,∴ 若 在 上恒大于0， 的取值范围为 备选例题：（06年重庆）已知定义域为 的函数 是奇函数。（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；[解析]（Ⅰ）因为 是奇函数，所以 ，即 又由 知 （Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知 ，易知 在 上为减函数。又因 是奇函数，从而不等式：&&& 等价于 ，因 为减函数，由上式推得：&．即对一切 有： ，从而判别式 [解法二]由（Ⅰ）知 ．又由题设条件得：&，即 ，整理得& 上式对一切 均成立，从而判别式 ★抢分频道基础巩固训练：1．（华师附中09高三数学训练题）若函数 在区间 上为减函数，则实数 的取值范围是（&& ）A. ；B. ；C. ；D. [解析] C；因为 ，由其图象知，若函数 在区间 上为减函数，则应有 2．（普宁市城东中学09）若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（&&& ）A． ；B． ； C． ；D． [解析] A；若函数 在 上是增函数，则 对于 恒成立，即 对于 恒成立，而函数 的最大值为 ，实数 的取值范围是 3．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间 上为减函数的是（&&& ）A． ；B． ；C． ；D．& [解析] C；显然 在 上是增函数， 在 上也是增函数而对 求导得 ，对于 ， ，所以 在区间 上为增函数，从而应选择C4．（09潮州金山中学）已知函数 ，若存在实数 ，当 时， 恒成立，则实数 的最大值是（&&& ）A．1；B．2；C．3；D．4[解析] D；依题意，应将函数 向右平行移动得到 的图象，为了使得在 上， 的图象都在直线 的下方，并且让 取得最大，则应取 ，这时 取得最大值45．（06北京改编）已知& 是 上的减函数，那么 的取值范围是&&&&&&&&&&& [解析]& ；要 在 上是减函数，则 ，要 在 上为减函数，则需 并且 ，所以 6．（2008浙江理）已知t为常数，函数 在区间[0，3]上的最大值为2，则&&&&&&&&&&&&&&&&&& [解析]1；显然函数 的最大值只能在 或 时取到，若在 时取到，则 ，得 或 &， 时， ； ， 时， （舍去）；若在 时取到，则 ，得 或 &， 时， ； ， 时， （舍去）所以 综合提高训练：7.（06陕西改编）已知函数 若 则 与 的大小关系为&&&&&&&&&& &[解析]& ；函数 的图象开口向上，对称轴为 ，因 ，故 ，从而 ，又&，所以 的对应点到对称轴的距离大于 的对应点到对称轴的距离，故&8．已知函数 ，求 的值[解析]& ；为 ，令 ，则&，从而&所以 9．（09年汕头金中）对于函数 成立的所有常数M中，我们把M的最大值－1叫做 ，& &的下确界为（&&& ）&A． ；B．2；C． ；D．4[解析] A；因为 ，故 的下确界为 10．（08年湖南）设 表示不超过 的最大整数（如 , ）,对于给定的& N*,定义&&& ,求当&& 时，函数 的值域&[解析]& ；当 时， ， ，因为函数 在 上是减函数，得 ；当 时， ， ，因为 ，由单调性得 ，故当&& 时，函数 的值域是 &文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
上一个试题： 下一个试题：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函数f（x）=2x2-3|x|的单调减区间是______．
csiwasvyvo
函数f（x）=2x2-3|x|=2-3x(x≥0)2x2+3x(x＜0)图象如下图所示f（x）减区间为（-∞，-]和[0，]．故答案为：（-∞，-]和[0，]．
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首先根据题中的已知条件把自变量进行分类，得出分段函数的解析式，进一步画出函数的图象，然后得出单调区间．
本题考点：
函数的单调性及单调区间．
考点点评：
本题考查的知识点：分段函数的解析式，二次函数的图象以及单调区间的确定，
分类：x>=0 f(x)=2x^2-3x 单减是[0,3/4]x<0 f(x)=2x^2+3x 单减是[-3/4,0)所以单减[-3/4,3/4]因为f(x)连续
这是个分段函数&&f(x)=2x^2+3x& (x&0)& 2x^2-3x(x&=0)& 所以可以画出它的图像得到增区间（-3/4,0)&(3/4.+无穷）减区间（-无穷到-3/4）（0,3/4)&
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＞＞＞下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是（）A．y=cosxB．y=sinxC．y..
下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是（　　）A．y=cosxB．y=sinxC．y=tanxD．y=sin(x-π3)
题型：单选题难度：中档来源：不详
由于y=tanx 在区间[0，π2]上为增函数，y=tanx 在区间[0，π2]上为增函数，故排除B、C．在区间[0，π2]上，-π3≤x-π3≤π6，故y=sin(x-π3)&在区间[0，π2]上为增函数，故排除D．故只有y=cosx在区间[0，π2]上为减函数．故选：A．
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据魔方格专家权威分析，试题“下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是（）A．y=cosxB．y=sinxC．y..”主要考查你对&&正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等），正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）
正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，
1．正弦函数 2．余弦函数函数图像的性质 正弦、余弦函数图象的性质： 由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正弦、余弦函数图象的性质：
由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正切函数的图像：
余切函数的图像：
正切函数的性质：
（1）定义域：； （2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π； （4）奇偶性：是奇函数，对称中心是（k∈Z），无对称轴； （5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
余切函数的性质:
（1）定义域：{x|x≠kπ，k∈Z} （2）值域：实数集R；（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心（5）单调性：在每一个开区间（kπ，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性&&
发现相似题
与“下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是（）A．y=cosxB．y=sinxC．y..”考查相似的试题有：
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【函数单调性的证明】函数单调性的证明通常利用定义或计算函数的平均变化率&\left({{\frac{△y}{△x}}={\frac{f\left({{{x}_{1}}}\right)-f\left({{{x}_{2}}}\right)}{{{x}_{1}}{{-x}_{2}}}}}\right)&进行．
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2&时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]．（1）...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，(1)当a=1时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5，5]上是单调函数．
已知函数f(x)=x2+2ax+2(1)当a=-2时，写出函数f(x)的单调区间．(2)求实数a的取值范围，是函数f(x)在区间[-5，5]上是单调增函数．(3)若x∈[-5，5]，求函数f(x)的最小值h(a)．
已知函数f(x)=x2+2ax+2，x∈[-5，5](1)当a=-1时，求函数的最值；(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5，5]上是单调函数；(3)求y=f(x)的最小值．}