数学文化之六：无处不在的斐波那契数列
无处不在的斐波那契数列
斐波那契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明，起始的正方形的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
1.斐波那契数列的提出
斐波那契是意大利的数学家，他是一个商人的儿子，儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚，在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识，从而对数学产生了浓厚的兴趣。
长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过埃及,叙利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识。回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研究,整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于1202年正式出版。
这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它推动了欧洲数学的发展.其中有一道“兔子数目”的问题是这样的:&&&&&&
一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子?&&&&&&
这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象有关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列".&&&&&&
你能把兔子的对数计算出来吗?&
解:可以这么推算:&&&&&&
第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子。&&&&
第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子。&&&&
第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子。&&&&&&
第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子。&&&&&&
第五个月后,三对大兔子各生一对小兔子,上月出生的两对小兔子也长成了大兔子,他共有三对小兔子和五对大兔子。&&&&
……&&&&&&
以此类推,可知:每月的小兔子对数等于上月大兔子的对数,每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和.&&&&&&
我们把大小兔子的对数写成上下两行,从买回小兔子算起,每个月后他所拥有的兔子对数便是：1,1,2,3,5,8,13……&&&
仔细观察两行数发现它们是很有规律的：每行数，相邻的三项中,前两项的和便是第三项。
这个数列不仅在数学,生物学中,还在物理,化学中经常出现,而且它还具有很奇特的数学性质,真是令人叫绝!
2．植物中的斐波那契数&&&&
斐波那契数列在自然界中普遍存在着这个性质，似乎完全没有秩序的植物的纸条彼此相隔的距离或叶子的生长凡是，都被斐波那契数列支持着。
1）斐波那契数列与花朵的花瓣数
花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣数目是由F1=13和F2=144合成的。
2）斐波那契数列与仙人掌的结构
在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片厚度和一系列控制仙人掌情况的各种因素，并将所得数据输入电脑，结果发现仙人掌的Fibonacci数列结构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗，适应其在干旱沙漠的生长环境。
3）斐波那契数列与向日葵种子排列方式
向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数。
4）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
此外，还有雏菊花花蕊的蜗形小花，有21条向右转，有34条向左转，而21和34，恰是斐波那契数列中相邻的两项；松果树和菠萝表面的凸起，它们的排列也分别成5:8和8:13这样的比例，也是斐波契数列中相邻两项的比；
菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来，
8行向左倾斜，13行向右倾斜，而8和13，也是斐波那契数列中相邻的两项；还有，挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片；常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行；美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行。……&&&&
&3．斐波那契数列与蜜蜂的家谱
蜜蜂的“家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化为雄蜂。人们在追溯雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是Fibonacci数列的第n项fn。
斐波那契数列与台阶问题
只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（，2，2），共5种方法，故F4=5以此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，...斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多，但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的它是一门科学，同时也是一种语言，一种艺术，它如同盛开的茉莉，洁白淡雅，总而言之，数学与自然、生活相伴相随，共同发展。
5.数学中的斐波那契数列
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图1和图2的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
还有，三角形的三边关系定理和Fibonacci数列也是有着密切联系的。
一个问题：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段(n&2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为__________.
分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2(为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和)，依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了Fibonacci数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和Fibonacci数列发生了一个联系。
无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵蜜几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……，所有这一切向我们展示了这个美丽的数学模式——Fibonacci数列。
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高中数学 数列的排列与组合【高中数学会考微课】
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高中数学 数列的排列与组合【高中数学会考微课】
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趣味数学题“十六水手分椰子
十六个水手因翻船来到了一个荒岛上，但岛的沙滩上有许多的椰子树, 于是16个水手忙了一整天，采摘了一堆很大的椰子后，都因太疲劳而睡着了。
晚上某个水手先悄悄的起床，将椰子平均分成16份，结果多了12个椰子，于是该水手贪心的拿走了16份中的3份和多出的12个子，然后把剩下的椰子混在一起放回原处后,悄悄的回去睡觉了。
过了会儿,另一个水手也悄悄的起床，将剩下的椰子也分成16份，结果也刚好多余12个椰子；于是该水手也贪心的拿走了16份中的3份和　多出的12个椰子；然后把剩下的椰子混在一起放回原处后, 也悄悄的回去睡觉了。
又过了一会 ......
又过了一会 ......
就这样直到前11个水手都是这样悄悄的起床，也都做了完全相同的事情，但当第11个水手刚离开不久,突然一排排大浪席卷而来，把剩下的椰子全都冲走了；这时,拿走了椰子的前11个水手心中暗暗高兴，而另外5个没有得到椰子的水手都只好稀里糊涂的自认到霉了。现在问题来了请问各位朋友，这一大堆椰子原来总供最少有多少个？
本文作者, 湖南省祁阳县陈小刚
2012年 4月 16日
奖励 11 元
183.69.80.8
数列{an}的通项公式an=1分之根号n加根号n加一 求该数列的前n项和
119.147.225.115
$$ a_1=1/2 $$
$$ a_{n+1}={a_n}^2 + a_n $$ ,
求 $$ a_n $$
奖励 20 元
60.171.148.202
乙两企业,2000年的销售量均为p(2000年为第一年),根据市场甲分析和预测,甲企业前n年的总销售量为p/2（n^2-n+2），乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多p/2^n-1.分别求甲、乙两企业第n年的销售量表达式an与bn
14.157.190.131
用1:200的比列尺,客厅长是5cm,宽是2.5cm.
客厅实际的长.宽各是多少?
客厅的实际面积是多少平方米?
113.100.6.41
大于1的自然数x分别除442，297，210得到相同得余数，则x＝？
设$$a_0=1,a_1=3,a_{n+1}=\frac{{a_n}^2+1}{2}, n \ge 1$$ 试求：
$$\frac{1}{a_{0}+1}+\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{1}{a_{2}+1}+...+\frac{1}{a_{n}+1}+\frac{1}{a_{n+1}-1},n \ge 1$$
/upload/url.php?id=82
27.185.68.239
一个商城搞活动，（4个8倍不同的的东西假如是毛绒玩具小鸟，燕子，猴子，小兔）
（4个12倍不同的东西假如是玩具鹤，鸽子，熊猫，大象）
（4个24倍不同的东西假如是玩具老鹰，孔雀，狮子，老虎 。）
也就是说给人家1块我们就有可能得到8倍 12倍 或者24倍的任意一个东西。 但是前提要先说出你要的东西假如你想要老虎。你就去抽奖如果抽的不是老虎 ，那你就送给了 人家1块钱
可以把这12个东西都买完，但是你现在花了12块钱 万一出了个8块的 不是就赔4块吗。 8倍的 12 倍的 24倍的
买几块的都可以。。
所以我的问题是。如何买我们才能花钱少拿的东西多 稳赚。。。
请给你个最佳方案。。
119.116.223.44
明明从家到学校去上学，他以每分钟五十米的速度走了二分钟后，发觉按这个速度走下去要迟到八分钟，于是他加快了速度，每分钟多走十米，结果到学校时离上课还有五分钟，问明名家到学校的路是多少？
180.137.9.61
n是正整数.
3.(6n+1)(6m+1)
4.(6n-1)(6m-1)
5.(6n+1)(6m-1)
n,m为正整数.
求满足其中前两项的得数不等于后三项的得数的所有数的通项公式。
67.243.51.36
本金：2500
游戏规则：本金购买点数2500 （1=1），点数每天以1.3%的复利滚动。盈利可以以百分比选择放入“现金”，或者“点数”。放入“现金”的钱没有利息。放入“点数”的盈利每天继续以1.3%复利滚动。
90天内盈利100%放入“点数”。
90天后开始，在90天前获得的点数自动消失。（例：第91天：-2500，第92天：-32.5 是第2天的利润点数，第93天：-32.9225 是第3天的利润点数。。。。如此类推）
我现在算出：90天后100%放入“点数”的结果是：
2500×（1+1.3%）^90
90天后开始把盈利以白分比放入“现金”与“点数”
问题：多少百分比的“现金”与“点数”的回报最高？需要多长时间把本金取回？本金取回后剩余点数是多少？
奖励 10 元
120.83.39.138
买一辆汽车，分期付款购买要加价5％，如果现金可按九五折优惠，李叔叔算了算，发现分期付款要比现金购买多付8500元，这辆车售价是多少元？
按照要求写出一个9~10之间的无理数。
用立方根的方式：
用平方根的方式：
用带有π的方式：
用结构的方式：
117.94.84.93
请问1g=多少ppn
125.93.31.251
按规律排列的一列数 5，50，175，420，965。。。。。则第n个数是？？？
果园梨桃与梨的比是5比3，桃比梨多80，梨和桃一共有多少。
在等差数列{an}中，已知a1=4，前n项和Sn=11，又a1,a7,a10成等比数列，求项数n.
两座灯塔A和B与海岸线观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东 40度，灯塔B在观察站南偏东60度，则灯塔A在灯塔B的何处
183.4.126.179
有一列数：按1；2；3；---；到N的顺序排列。（即公差为1的等差数列）
1）：从1开始数数，数到S的数抽出来作为新数列的第一项a(1)
（S可以大于N，当不够数时又从1接着数）
2）：从第一个被抽出数的后一个数开始从1数到S的数作为新数列a(2)
（当不够数时又从1接着数）
3）：按上面的方法得出一新数列。
求：新数列的通项式a(n)?
1，2,-3，-4,5,6，-7，-8，···（
）（第2010个),(
110.244.148.99
下一个数应该是多少？
x趋向于0时，ln(1-3x)/(-3x)等于几
3*3的末尾数字是9,3*3*3的末尾是7,3*3*3*3的末尾是1,35个3相乘的末尾数是多少？
1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+…+n)=n*(n+1)*(n+2)/6
等比数列{an}中，S2=7，S6=91，求S4
数列{F(n)}的递推公式为：F(n+1)F(n-1)=F(n)^2+1,前两项为：F(1)=1,F(2)=2.求通项公式.
119.138.218.87
设数列{an}是首项为6,公差为1的等差数列;Sn为数列{bn}的前几项和,且Sn=n^2+2n&，若对任意的正整数n，$$\frac{a}{\left ( 1+1/b_{1} \right )\left ( 1+1/b_{2} \right )…\left ( 1+1/b_{n} \right )}-\frac{1}{\sqrt{n-2+a_{n}}}\leq 0$$不等式恒成立，求证正数a的取值范围..
182.132.78.242
&举例说明数列中的叠加法
219.157.170.98
1，2,5,10,17，（ ) ,( ).
1,2,3,5,8,( ),( ).
119.36.123.1
在35678六个数中排列六位数，可以重复，其中3和8一定有，且只有四个不同的数字，要排列出来谢谢高中数学数列、排列组合系列公式归纳一共有哪些？ - 爱问知识人
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等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
等比数列:an=a1*q^(n-1)
菲波那锲数列 （1 2 3 5 8 13 21。。。）这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.……
还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5
等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
等比数列:an=a1*q^(n-1)
菲波那锲数列 （1 2 3 5 8 13 21。。。）这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.……
还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值
Pmn=n!/(n-m)! 是这样从n个数里找出m个做排列，第一个数时有n种选择，地二个数时有n-1个选择，第三个数时有n-2个选择，依次类推第m个数时有n-m+1种选择，即Pmn=n(n-1)(n-2)……（n-m+1)=n(n-1)(n-2)……2×1/(n-m)(n-m-1)……2×1=n!/(n-m)!
Cnm=n!/[m!(n-m)!]是这样得来的：在做排列Pmn的时候先从m个数里选出n来（即Cnm），再把这n个数做排列，最终结果是Pmn，而n个数排列即有n！种排法，即Cnm*n！=Pmn，可得Cnm=n!/[m!(n-m)!]
你的意思是&#034;排列数&#034;和&#034;组合数&#034;的公式吗?还是&#034;排列数&#034;和&#034;组合数&#034;的性质?教材上不是有吗?随便找本数学手册都可以查到的.
每个业务可以有3个种类，就是4的3次方
请问什么时候用排列公式,什么时候考虑组合?
有顺序（位置）要求，就用排列
无顺序（位置）要求，就用组合
比如10个学生里面选2名到区里开会...
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