勾股定理的证明
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勾股定理的证明详解
第一种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。第二种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。& & 这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话， 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用这一重要的数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理(又称“百牛定理”，因毕达哥拉斯发现该定理后即斩百头牛作为庆祝），相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（3的平方+4的平方=5的平方）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的《一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“数形统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. &∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, &∴ ∠ADE = ∠BEC.&∵ ∠AED + ∠ADE = 90?,&∴ ∠AED + ∠BEC = 90?. &∴ ∠DEC = 180?―90?= 90?.&∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，&它的面积等于1/2c?.&又∵ ∠DAE = 90?, ∠EBC = 90?,&∴ AD∥BC.&∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)?.&∴ 1/2(a+b)?=2×1/2ab+1/2c?.&∴ a?+b?=c?.三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF?+OE?+OF·OE第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'?+C'D'·D'E'因为S1=S2所以OF?+OE?+OF·OE=E'F'?+C'D'·D'E'又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF·OE=C'D'·D'E'则OF?+OE?=E'F'?因为E'F'=EF所以OF?+OE?=EF?勾股定理得证。
勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于_____．
27+13\sqrt{3}&&
在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等边三角形．AC=ABocos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}．则QH=HA=HG=AC=2\sqrt{3}．在直角△HMA中，HM=AHosin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3．AM=HAocos60°=\sqrt{3}．在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．∴QR=2\sqrt{3}+3+4=7+2\sqrt{3}．∴QP=2QR=14+4\sqrt{3}．PR=QRo\sqrt{3}=7\sqrt{3}+6．∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13\sqrt{3}．故答案为：27+13\sqrt{3}．
勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为_____．
测试题精选
大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．(1)请你结合图形来证明：h1+h2=h；(2)当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；(3)利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=\frac{3}{4}x+3，l2：y=-3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是\frac{3}{2}．求点M的坐标．
下列选项中，不能用来证明勾股定理的是()
勾股定理的内容是_____．
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勾股定理的证明方法有哪些？
勾股定理(又称毕达哥拉斯定理)有500余种证明方法，其中最常见的是面积法，这里有16种常用的证明方法给你参考，请下载附件“勾股定理的证明”。
勾股定理的美妙证明 梁卷明网站：
58.49.211.*
116.10.85.*
就只有一种啊
起码得6种啊~
221.11.27.*
我作业用不上这个
114.138.224.*
mazongdu_3477
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等于0，把cotx化成sinx/cosx后跟圆括号里面的相乘，然后再提取出1/cosx；括号里剩下
1-sinx/x,求极限可得结果为0
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错误详细描述：
一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，把火柴盒放倒，这个过程中也能验证勾股定理．你能利用下图验证勾股定理吗？
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京ICP备号 京公网安备如图所示，这是美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？【考点】．【专题】证明题．【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解答】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．还有一个直角梯形，其面积为（a+b）（a+b）．由图形可知：（a+b）（a+b）=ab+ab+c2整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，∴a2+b2=c2．由此验证勾股定理．【点评】此题主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：438011老师　难度：0.46真题：3组卷：1
解析质量好中差}