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如何把四面体补成平行六面体
文章来源：现代教育报?训练思维 作者：本报 点击数：332 更新时间： 18:07:58
　　　　　　　如何把四面体补成平行六面体
　　任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的棱恰为平行六面体各面上的一条对角线，并且下列重要性质：
　　1．任何四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的各棱为平行六面体各面上的一条对角线，且V四面体= V平行六面体.
　　2.若有一对相对棱长相等，则补成的平行六面体中一对相对的面为矩形；若三对相对棱长分别相等，且有一个面为锐角三角形，则四面体可以补成一个长方体.
　　3.棱长为a的正四面体可以补成一个棱长为的正方体.
　　请读者自己完成这些性质的证明. 本文说明这些性质的应用.
　　例1如图1，四面体S&ABC中，三组对棱分别相等，且依次为2 、 、2求四面体的体积.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　　　　　
　　　　　　　　　　　　图1&&&&
　　分析：由于底面△ABC的三条边长都不相等，三条侧棱长SA、SB、SC也都不相等，所以如果按常规方法：V= 去求体积，△ABC面积的计算或者顶点S到底面ABC的距离h都很复杂，但根据性质（2），可以将它补成长方体，不妨令SB=AC=2 ，SC=AB= ，SA=BC=2 ，则四个面是全等的三角形，在△SBC中，SB最大，所以&SCB最大，而
　　所以△SCB为锐角三角形，可以补成一个长方体，不妨令长方体的长、宽、高分别为x、y、z，
　则有 x2+y2=13，y2+z2=20， z2+x2=8，解得 x=
V长方体= &&&&
V四面体= V长方体=
　例2.图2是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长_______.
　　　　　　　　　　　　　
　分析：由性质（3）可知，正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为3V正四面体=3&72=216，
　则正方体的棱长为&& =6，
　而EF= BD，BD为正方体的对角线，所以BD=6，EF=2
.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　例3.如图3，从空间一点出发的四条射线两两夹角为，则cos =________.
　　分析：如图4，从一点出发的四条射线，两两夹角都为 ，这样的点可设想为正四面体的中心O，若把它补成正方体，即为正方体的中心，所以设&AOB= ，正方体的棱长为1，则
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　图3&&&&&&&&&&&&&& 　　　　　　　　&&&&
　OA=OB= ，AB=
　例4.如图5，四面体ABCD的各棱长为1，P为棱AB的中点，Q为CD的中点，求线段PQ的长.
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5　　　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　分析：如图6，将正四面体补成正方体，则PQ实质上是正方体两个对面之间的距离，即为正方体的棱长，
　　例5．如图7，设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，则二面角C&FG&E的大小是（
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　图7
　A． arcsin &&&&&&&&
B． 　C．－arctan
　D. &&&&&&&&&&&&&&&&
如果把正四面体补成正方体，则AB、BC、CD都是面对角线，中点E、F、G即是各面的中心，则平面EFG是与正方体的一个表面平行的一个平面，而面BCD是正方体中三条面对角线组成的截面，因此，所要求的二面角实质上是正方体中，截面与底面所成角中的一只钝角. 即如图8中的&COF，
　　　　　　　　　　　图8
tan&COE= 　所以&&
&COF= －arccot
选D.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　例6．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，求这个球的体积.
　分析：由棱长为a的正四面体，一个球与正四面体，可以补成棱长为 的正方体，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，球的半径即为正方体棱长的 ，
　即R= ，所以
请各位遵纪守法并注意语言文明已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角为60度。_百度知道
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角为60度。
（2）求AC1与平面ABCD所成的角（1）求AC1的长
baidu,A&#39.jpg" />过A&#39;AF便是所求角;D垂直于平面AC于D.△A&#39。过D在平面AC内做DE垂直于AB交AB于E.F=√6/3.C&#39.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=3c604e4b0cf431adbc874b3d7eec8ad40f66a0ec08fa503dc605,连接A&#39;DE=√3/6.hiphotos.jpg" esrc="D=C&#39;F垂直于平面AC;F中;E,交AC延长线于F://g;CF.=√6,&nbsp://g,&nbsp.同理做D&#39.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http.由于以A为顶点的三条棱长都是1且两两夹角60°;F=√/zhidao/pic/item/a8ec8ad40f66a0ec08fa503dc605;E=1/2.而∠C&#39.所以Rt△AC&#39.AD=√3/3<a href="http,所以AF=4√3/3，则A&#39,&nbsp,&nbsp.所以cos∠C&#39,且D在AC上.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=1ffad342eea8f81e09220cc/a8ec8ad40f66a0ec08fa503dc605;AD≌△C&#39;AC&#39;做A&#39，AF=4√3/3://g
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接C1 B交BC于O点,则AC1在直角三角形ABC1中
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