高数中的介值定理的以及推论的疑问?课本的介值定理和推论的中值ξ取得都是开区间,而有的老师说的是闭区间,所以我有点混乱了,现在我自己想了一下,是不是这样子才对?其中A,B代表两个端点值,m,M代表最小值最大值；介值定理：函数在闭区间【a,b】连续,端点分别取得A,B,那么对于开区间（A,B）内的任何一个值,在开区间（a,b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值（这个应该是课本的意思）；如果：对于闭区间【A,B】内的任何一个值,在闭区间【a,b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值（这个是我根据老师讲的推测的,因为老师总是讲介值定理的中值是闭区间内,我想应该要加上闭区间【A,B】这个条件,如果是开区间（a,b）,那么中值也是在开区间内）对于介值定理的推论（最大值最小值）的问题,与上述类似,如果最大值最小值取得是开区间,那么中值去开区间,如果最大值最小值取得是闭区间,那么中值也取闭区间,请明白我的意思的人帮忙.
我可以告诉你为什么书本上是说（A,B）内的任何一个值,在开区间（a,b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值.而不是说对于闭区间【A,B】内的任何一个值,在闭区间【a,b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值. 因为A、B这两个端点值没有讨论的意义. 首先根据题意,x=a时,f（a）=A,x=b时,f（b）=B.这是两个已经确定了的点.而在（a,b）这个开区间内,不一定还有其他的x能使得f（x）=A或=B. 所以书本上是说（A,B）内的任何一个值,在开区间（a,b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值.就是表明我们对于还没确定函数值的（a,b）内的x,可以估计一个函数值的可能性. 但是按照你们老师说的对于闭区间【A,B】内的任何一个值,在闭区间【a,b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值.方式,就模糊了A、B这两个函数值是在两个端点这两个确定的点上取到的情况.将A、B和AB之间的值都混同到一起,只知道是【a,b】内取值,而不知道是哪一点取值了.这是将原本清晰的f（a）=A和f（b）=B模糊化为【a,b】内至少存在一个ζ使得函数等于A或等于B.这种将原本清晰的问题模糊化的做法,是不应该的.所以书本才是开区间.
如果是指的是最大值最小值问题，对于【m，M】之间内的任何一个值，是不是在都存在一个ζ在闭区间【a，b】内使得函数取到函数值；当对于取值在（m，M）内的时候，是不是中值也是开区间（a，b）啊？我想知道其正确性，因为很多题中值的范围总是变化。谢谢
还是前面说的，你的闭区间和开区间的说法都是正确的。你们都是正确的说法中，应该选用更准确的，也就是开区间的说法。
就好比解方程，x-2=0，问有几个解。如果说至少1个解，这个解在[1，3]区间内。这句话对不对？对，当然对。不过这样的回答不准确啊。完全可以准确的回答x=2这一个解就行了。
现在你的闭区间也是一样，说是否正确，当然正确，就和x-2=0，这个方程至少1个解，这个解在[1，3]区间内。一样正确。同时也不准确，就和就和x-2=0，这个方程至少1个解，这个解在[1，3]区间内。一样不准确。因为把原本很清晰的最大值，最小值的取值点模糊化了。就像x-2=0，这个方程至少1个解，这个解在[1，3]区间内。一样将方程的解的个数，解的值模糊化了一样。
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高数中的介值定理与零点定理有什么区别?
介值定理与零点定理我感觉很相同,从概念上也很相似,但不知区别在哪里,有知道的人可以帮我讲一下,通俗一点,谢谢了.
定理（介值定理）
连续函数的在一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
定理（零点定理）
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。
零点定理是介值定理的特殊情形.
可以看出，他的特殊在于，1）区间的两端值为异号，2）介值为一个特定值，零，
而介值定理更一般，1）区间的两端为任意值，2）介值可以是一个区间中的任意值，
所以，介值定理更具有普遍意义，用途也就更广泛。
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定理（介值定理）
连续函数的在一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
定理（零点定理）
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。
零点定理是介值定理的特殊情形.
可以看出，他的特殊在于，1）区间的两端值为异号，2）介值为一个特定值，零，
而介值定理更一般，1）区间的两端为任意值，2）介值可以是一个区间中的任意值，
所以，介值定理更具有普遍意义，用途也就更广泛。
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所谓根，即函数值为零时的x值，所以，以零点定理更为适用，此时，选择恰当的区间，（两端值为异号）是个关键。
而因介值定理具有普遍意义，所以，总是可以用的，关键是要善于运用，
另：利用图像来理解，可能更容易接受！
对于工科院校非数学专业学生来说，由于没有实数理论基础，【介值定理】是不证明的，【零值点定理】只是作为【介值定理】的一个推论。
与数学专业学生要求不一样的还有，数学专业要求会证明【零值点定理】或【介值定理】。非数学专业要求不是证明这两个定理，而是熟练地应用这两个定理。
f(x)在[a,b]上连续，即使对于[a,b]上含有c的任一个子区间[α，β]有f(α)*f(β)＞0，并不排除f(c)=0的可能性。例如f(x)=x^2，[a,b]=[-1,1]，c=0。
【注意这里反例f(x)=x^2在[-1,1]上不单调】
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================对于你的补充问题的回答================
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要研究讨论方程f(x)=0在区间[a,b]上有n个根(n可以是0或1)，用的定理的
【1】零值点定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*......
对于工科院校非数学专业学生来说，由于没有实数理论基础，【介值定理】是不证明的，【零值点定理】只是作为【介值定理】的一个推论。
与数学专业学生要求不一样的还有，数学专业要求会证明【零值点定理】或【介值定理】。非数学专业要求不是证明这两个定理，而是熟练地应用这两个定理。
f(x)在[a,b]上连续，即使对于[a,b]上含有c的任一个子区间[α，β]有f(α)*f(β)＞0，并不排除f(c)=0的可能性。例如f(x)=x^2，[a,b]=[-1,1]，c=0。
【注意这里反例f(x)=x^2在[-1,1]上不单调】
======================================================
================对于你的补充问题的回答================
======================================================
要研究讨论方程f(x)=0在区间[a,b]上有n个根(n可以是0或1)，用的定理的
【1】零值点定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)＜0，那么方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个根【f(a)*f(b)≤0，那么方程f(x)=0在[a,b]上至少有一个根】；
【2】利用单调性判别：若f(x)在[a,b]上单调（严格意义下的单调），那么方程f(x)=0在[a,b]上至多有一个根。
在【1】存在性的前提下，【2】就是唯一性了。即【1】辅以【2】就是有且仅有一个根。
但是实际操作时是先执行【2】后执行【1】的————
若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。
【①】利用f'(x)的符号，将区间[a,b]划分成n个单调区间[x(k-1),x(k)],k=1,2,……,n，x(0)=a,x(n)=b。则方程f(x)=0在[a,b]上至多有n个根。
【②】[x(k-1),x(k)]上研究判断f[x(k-1)]*f[x(k)]的符号即可断定方程f(x)=0在[x(k-1),x(k)]是否有根？如果有只可能有一个。
零点定理与介值定理意思差不多，
零点定理是与x轴的交点
介值定理是与两数之间的交点
其实质都是讲函数连续性的。 只要是连续函数，问题就明了了。 连续在于一个 x 有一个y值的对应性。
而“零点”、“介质” ，都是指函数定义域上[x轴上]一个点 所对应的函数值是 0或某个特殊值。x轴上的这个对应点，也在某些情况下称作根。
如f(x)=c找介值点，相当于对函数 f(x)-c 来说，就是找零点了。即寻找让函数=0的x轴上的点。
零点定理是介值定理的特殊情形，零点定理更容易理解，因而总是先零点定理，然后用零点定理来证明介值定理。
虽然零点定理只是介值定理的特殊情形，但很多关于介值定理的题目是用零点定理解决的。
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其它违法和不良信息关于介值定理、最值定理的理解1、介值定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B .那么,不论C是A与B之间的怎样一个数,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得 f(ξ)=C (a
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这里有一题用了零值定理设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证存在一点ξ∈(0,1),使f'(ξ)=1证明：令F(x)=f(x)-xF(1)=f(1)-1=-10由零值定理知,至少存在一点η∈(1/2,1),使F(η)=0因为F(0)=0=F(η),那么F(x)在[0,η]上满足罗尔定理,则至少存在一点ξ∈(0,η)使F'(ξ)=0即存在ξ∈(0,1)使f'(ξ)=1
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