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高中函数解析式的经典求法(教师版)OK
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数学辅导：求函数解析式的几种常用方法
　　当前，我们已进入高三一轮复习，函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础，是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学数学的始终。求函数解析式是函数部分的基础，在高考试题中多以选择、填空形式出现，属中低档题目，同学们务必要拿分。下面就向同学们介绍几种求函数解析式的常用方法：
　　[题型一]配凑法
　　例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。
　　分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。
　　解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
　　(■+11)
　　∴f(x)=x2-1(x1)
　　小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的表达式，即变为含(■+1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。
　　[题型二]换元法
　　例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。
　　分析：视1-cosx为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。
　　解：设t=1-cosx
　　∵-1cosx1&&&∴01-cosx2&即0t2
　　∴cosx=1-t
　　∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
　　∴f(t)=-t2+2t(0t2)
　　即f(x)=-x2+2x(0x2)
　　小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。
　　注意：换元后要确定新元t的取值范围。
　　②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。
　　[题型三]待定系数法
　　例3.设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。
　　分析：由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理。
　　解：设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)
　　由f(x+2)=f(2-x)可知，该函数图象关于直线x=2对称
　　∴-■=2，即b=-4a……①
　　又图象过点(0，3)&&&∴c=3……②
　　由方程f(x)=0的两实根平方和为10，得(-■)2-■=0
　　即b2-2ac=10a2……③
　　由①②③解得a=1，b=-4，c=3
　　∴f(x)=x2-4x+3
　　小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=■(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设
　　①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
　　②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
　　③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
　　[题型四]消元法
　　例4.已知函数y=f(x)满足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常数，a≠±b，求函数y=f(x)的解析式。
　　分析：求函数y=f(x)的解析式，由已知条件知必须消去f(■)，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去f(■)得f(x)。如何构成呢？充分利用x和■的倒数关系，用■去替换已知中的x便可得到另一个方程。
　　解：在已知等式中，将x换成■，得af(■)+bf(x)=■，把它与原条件式联立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②
　　①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
　　∵a≠±b&&∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)
　　(周六继续刊登)
　　有同学通过QQ询问下面的数学题，我们请天津四中的孟黎辉老师来回答。
　　问1.已知：方程：x2+ax+a+1=0的两根满足一个条件：一根大于k，一根小于k(k是实数)，求a的取值范围。(此题一种方法是图象法，还有一种方法，能告诉这两种方法吗？)
　　答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1图象为开口向上的抛物线，因此只需f(k)＜0即可。
　　∴k2+ak+a+1＜0，即a(k+1)＜-k2-1
　　∴当k＞-1时，a＜■；当k＜-1时，a＞■；当k=-1时，a无解。
　　方法二：(x1-k)(x2-k)＜0△＞0
　　只需(x1-k)(x2-k)＜0即可，x1x2-k(x1+x2)+k2＜0
　　即a+1+ka+k2＜0，以下同方法一。
　　问2.为什么求解时只需求(x1-k)(x2-k)＜0，而不需再求根的判别式是否大于0？
　　答：法二不需要验判别式，原因可以举个简单例子说明，如：若研究x2+ax+b=0两根满足：一个根大于0，一个根小于0，只需x1x2＜0，即：b&0，此时就可以保证△=a2-4b＞0恒成立。
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《用消元法求函数解析式》教学反思
时间： 09:55来源：乐学点击：
&在教育领域全面推进旨在培养学生创新能力的改革的同时,高中数学教学应注意对学生合情推理能力的培养.创新意识与合情推理在数学中并不矛盾,但在实际教学中有些教师把创新意识认为是一定要走新路、搞新的一套,放弃了传统的教学方法,就连同启发诱导式等好的教学方法也要否定了,笔者通过高三数学总复习中《用消元法求函数解析式》一节进行，试图说明如何从学生实际出发,因材施教,在合情推理中培养学生的创新能力.问题:& 已知 ,求 f(x)学生对此问题无从下手.其主要有下列疑问:学生疑问: 1、能不能把等式右边的”f”提取公因数变为： 2、学生说：“我不知道函数f(x)的法则，无法写出f(x)的表达式。” 3、在等式中含未知数太多，学生认为有三个，即x、f(x)、和 &4、若认为x已知，f(x)和 认为为两个未知数，那么两个变量无法用一个方程求出两个未知数。&&& 问题分析1：学生对函数的表示的符号不理解。 问题分析2：学生认为只有一个等式是对已知理解不深刻，这样变形不出3 +2f(x)= 等式来求解。问题分析3、4：问此问题的学生是数学基本知识较好，他们理解了：一般地求数学的变量时，要列出对应的几个方程，才能求解。学生疑问中已经把f(x)和 认为是两个变量了。同时把x视为已知来求解。教师指导1：所求f(X)表达式可用猜想法预测f(x)结论可能是多项式。我作了这样的假设：设3f(x)=4x, 反问学生能否求出f(x)？学生很快的并且正确的回答了问题。2：继续追问：与3f(x)=4x相比，由于原已知条件中含 ，因此想办法消去它。但只有一个等式不能消去 ,所以把等式中的f(x)和 视为是两个变量来求解方程。3、等式是对所有的x都成立的恒等式，那么对x定义域内的所有值都成立，即x=1、2、3………等数字时有也成立。则用 换x得到等式3 +2f(x)= 4、联立两方程可求解出f(x)= 教学反思：反思1：对知识的内化，是应用知识的先决条件。解答此题时所出现的疑问，反映了学生不能把知识内化，对数学概念缺乏深刻理解。应该把f(x)中的x含义理解为在定义域内的所有值，并正确认识符号f(x)表示函数的科学性，因此加强数学概念的形成过程的教学，注意概念的发生过程，不会出现提取公因数等可笑的错误。反思2：猜想是创新的主要途径。我们从3f(x) =4x求得f(x)= 的过程得到了f(x)结论是一个多项式，那么是否能猜想或类推出原题结论也如此？而这个题目中，那怕是错误的猜想也能得到：“把x视为已知”的正确认识。反思3：平凡中蕴涵伟大，简单的逻辑会演绎出数学的完美。学生在解方程组时，深知：一般地求两个变量要列两个独立的方程，那么若把f(x)&和 视为两个变量，必然会想到变式，再想办法得到另一个独立方程。反思4：转化就是创新，转化就是创设条件。转化的过程是数学中培养学生坚定不移的毅力的过程，是培养学生对实践的顽强的拼搏精神的过程，它并不是回避矛盾，而是一种有异于“化整为零”的零的突破，使整体的完美。从一个等式到另一个等式，包含了应有的转化，揭示了事物的内在联系。从方程直接得到f(x)是化无知到认知，从认知到应用的整体突破。可见，合情推理并不是僵化和保守，而是创新的必备条件。注重平时教学中合情推理，让学生带着激进的情感，深情地体会数学的美，在数学美中享受生活，这不正是一次深刻的富有意义的创新吗
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