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1.75亿学生的选择
什么叫做“保守力”?
在物理系统里,假若一个粒子,从起始点移动到终结点,由于受到作用力,所做的功,不因为路径的不同而改变.则称此力为保守力.假若一个物理系统里,所有的作用力都是保守力,则称此系统为保守系统.
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1.75亿学生的选择
什么叫保守力?根据保守力作功的特点可定义什么物理量
保守力就是做功与路径无关 只与位置有关的力 比如重力 电场力等等根据其做功特点可以定义的物理量是势能 比如重力势能 电势能等等非保守力做功一定与其路径有关 比如摩擦力等有问题欢迎追问 没有的话希望采纳 谢谢
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力学基本定律
公元前4世纪，希腊亚 里士多德：力产生运动。 17世纪力学成为一门真 正学科：伽利略关于惯性运 动的论述，牛顿三大定律。20世纪相对论改变了牛 顿力学的绝对时空观（时间 与空间相对独立，彼此之间 无联系）。伽利略 牛顿1-1 参考系 坐标系 物理模型一、参考系运动是绝对的，但运动的描
述是相对的。为 了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作 为参考，被选作参考的物体称为参考系。注意同一物体的运动，选择不同的参 考系，对其运动的描述就会不同。 参考系不一定是静止的。研究地球上物体的运动，通常选地球为参考系。二、坐标系为了定量地描述物体相对于参考系的运动， 就必须在参考系上建立适当的坐标系 常用的有直角坐标系。此外，还有自然坐 标系、平面极坐标系和球坐标系等。 当参考系选定后，无论选择何种坐标系，物 体的运动性质都不会改变。然而，坐标系选择 恰当，可使计算简化三、物理模型质点没有大小和形状，只具有全部质量 的一点。可以将物体简化为质点的两种情况 物体不变形,不作转动(此时物体上各点的速度及加 速度都相同,物体上任一点可以代表所有点的运动) 物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物体的变形及转动显得并不重要)。选择合适的参考系， 以方便确定物体的运动性质；建立恰当的坐标系，以定量描述物体的运动；提出准确的物理模型，以突出问题中最基本的运动规律。1-2一、位置矢量运动的描述运动方程Z? 位置矢量（位矢）： OP ? r直角坐标系中? 位矢 r 大小 ? 位矢 r 方向? ? ? ? r ? xi ? yj ? zk? 2 2 2 r? r ? x ?y ?zx cos ? ? rXi O? ?? k?? r?? jP(x,y,z)z xyYy cos ? ? rz cos ? ? r运动方程：? ? r ? r (t ) ? ? ? ? x(t )i ? y(t ) j ? z (t )k分 量 式 x ? x (t ) y ? y (t ) z ? z (t )XZ? ? i O? k?? r?? jP(x,y,z)z xyY质点运动的空间轨迹成为轨道. 轨道方程:轨道F ( x, y, z ) ? 0二、位移 位移矢量:在?t时间间隔内位矢的增量 A ? ? ? ? ??r ? r2 ? r1 ? r (t2 ) ? r (t1 )? ? ? ? r ? xi ? yj ? zk直角坐标系中? Δr ? r ? r1ΔsB Г2O ? ? ? ? ?r ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k ? ? ? ? ?xi ? ?yj ? ?zk ? 位移大小 ?r ? Δ x2 ?Δ y2 ?Δ z2位移方向 由A指向B.? ?r与 ?r的区别? a ) ?r 为标量， ?r 为矢量? ? b ) ?r ? r2 ? r1 ? ? ?r ? ?r ? ? r ? ? ? ?r ? r2 ? r1z AA r1o r2Δr B C Δr? ?s 与 ?r 的区别路程 ?s 为质点运动的轨道长度 ? 当质点作单方向的直线 ? ?s ? ?r 运动时， ?s ? ?r?ΔS Δr r2?yBr1 o?t ? 0? dr ? ds元位移的大小?x元路程三、速度 平均速度瞬时速度? ? ?r v? ?tP? rO? ?r Q? ? r ? ?r? ) t( v? ? ? ? ? r ( t ? ?t ) ? r ( t ) ?r dr v ? lim ? lim ? ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t dt速度是位矢对时间的一阶导数速度方向：沿运动轨迹在该点的切线方向? v直角坐标系中 瞬时速度? ? dr dx ? dy ? dz ? v? ? i ? j? k dt dt dt dt ? ? ? ? vx i ? v y j ? vz k速度大小 平均速度? 2 2 2 v ? v ? vx ? v y ? vz? ? ?r ?x ? ?y ? ?z ? v? ? i? j? k ?t ?t ?t ?t ? ? ? ? vx i ? v y j ? vz k平均速率?s v? ?tOP?s ds ? 瞬时速率 v ? lim ?t ?0 ?t dt注意:? r? ?r Q? ? r ? ?r? ) t( v速度是矢量，速率是标量。? v? ? 一般情况 v ? v (?s ? ?r ) ? ? 单向直线运动情况 v ? v (?s ? ?r )瞬时速率等于瞬时速度的大小? dr ? ds? ? v ? ds dt ? dr dt ? v四、加速度平均加速度 ? ? ? ? ?v v ( t 2 ) ? v ( t 1 ) a? ? ?t t 2 ? t1瞬时加速度Av1 B v2o? ? r1 ? r2v1?? ? 2? ?v dv d r ? a (t ) ? lim ? ? 2 ?t ?0 ?t dt dtΔv v2加速度是速度对时间的一阶导数 或位矢对时间的二阶导数直角坐标系中加速度? ? dv dvx ? dv y ? dvz ? a? ? i? j? k dt dt dt dt 2? d r d 2x ? d 2 y ? d 2z ? ? 2 ? 2 i ? 2 j? 2 k dt dt dt dt ? ? ? ? ax i ? a y j ? az k加速度大小? 2 2 2 a ? a ? ax ? a y ? az? 位矢 r ?r、a? 位移?r? 速度 v加速度 a?? ? r、 v ? ?描述质点运动状态的物理量 描述质点运动状态变化的物理量 加减运算遵循平行四边形法则四个量都是矢量，有大小和方向 矢量性：? ? ? 瞬时性： r v a ? ?r某一时刻的瞬时量 不同时刻不同 过程量相对性： 不同参照系中，同一质点运动描述不同；不同坐标系中，具体表达形式不同例 一质点在平面上运动，运动方程为x=3t+5,y =t2/2+3t-4.式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间为 变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和=2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位 移；(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式，计算t=4 s 时质点的 速度；(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t=4s 时质 点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时 速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标 系中的矢量式)．? 1 2 ? ? 解：（1） r ? (3t ? 5)i ? ( t ? 3t ? 4) j m 2(2)将t=1s,t=2s,代入上式即有? ? ? r1 ? 8i ? 0.5 j? ? ? ? ? ?r ? r2 ? r1 ? 3i ? 4.5 j? ? ? r2 ? 11i ? 4 j(3)? ? ? ? ? ? r0 ? 5 j ? 4 j , r4 ? 17i ? 16 j? ? ? ? ? ? ? r ? r 12i ? 20 j ? ?r 4 0 v? ? ? ? 3i ? 5 j m ? s ?1 ?t 4?0 4(4)? ? ? ? dr v? ? 3i ? (t ? 3) j m ? s ?1 dt? ? ? v4 ? 3i ? 7 j(5)? ? ? ? ? ? v0 ? 3i ? 3 j , v4 ? 3i ? 7 j? ? ? ? ? ?v v 4 ? v0 4 a? ? ? ?1j ?t 4 4 m ? s ?2(6)? ? d v ? a? ? 1 j m ? s ?2 dt
? ? ? 2 例：质点的运动学方程为 r ? 4t i ? (2t ? 3) j（1）求质点的轨迹 （2）求质点自t=0至t=1s质点的位移 （3）求质点在任何时刻的速度及加速度解:? x ? 4t 2 (1) ? 得 x ? ( y ? 3) 2 , x ? 0, y ? 3 ? y ? 2t ? 3 ? ? ? ? ? (2) r0 ? 3 j , r1 ? 4i ? 5 j ? ? ? ?r ? 4i ? 2 j ? ? ? ? dr (3) v ? ? 8ti ? 2 j dt ? 2? ? ? d r dv a? 2 ? ? 8i dt dt例：已知质点的加速度为 a ? (4 ? 24t ) ，初始条件为t=0时x0 ? 0, v0 ? 5m / s ，求质点的速度和运动方程。解:取x轴为运动方向dv (1) a ? ? dv ? adt ? ? dv ? ? (4 ? 24t )dt ? dt 5 0 v ? 5 ? 4t ? 12t 2 v ? 4t ? 12t 2 ? 5 (m / s ) dx ( 2) v ? ? dt2 dx ? ( 4 t ? 12 t ? 5)dt ? ? ? 0 0 x t v tx ? 2t 2 ? 4t 3 ? 5t (m)例? v0l h求：船的速率解：s2 2s?l ?hds v? ? dtdl l v0 l dt ? v0 ? 2 2 s cos ? l ?hdl ? v0 dt? v0l hv0?v0v ? v0 cos ?v0 v? cos ??sv?v五、圆周运动? v2? v B 1 A ? s R极坐标系中??O?XA ? t t ? ?t B ? ? ??角位置 角位移沿逆时针转动，角位移取正值沿顺时针转动，角位移取负值角速度 角加速度?? d? 单位：rad/s ? ? lim ? ?t ?0 ?t dt ?? d? d 2? ? ? lim ? ? 2 单位：rad/s2 ?t ?0 ?t dt dt匀速圆周运动? 是恒量d? ? ?dt???0d? ? ? ?dt0t? ? ? 0 ? ?t匀角加速圆周运动? 是恒量? ? ?0 ? ?t1 2 ? ? ? 0 ? ?0 t ? ? t 22 ? 2 ? ?0 ? 2? (? ? ? 0 )一般圆周运动?? d? ? ? ?dt0?t0? ? ? 0 ? ? ?dt0t角量与线量之间的关系 线量 速度、加速度角量角速度、角加速度? S ? R ??v ? lim?t ?0?s R?? d? ? lim ?R ? R? ?t ?t ?0 ?t dt加速度可分为切向加速度和法向加速度（或向心 加速度），切向加速度和法向加速度的大小分别为dv d? a? ? ?R ? R? dt dtv2 an ? ? R? 2 R说明：切向加速度沿着轨道切向的方向，表 示质点速率变化的快慢；法向加速度垂直于圆周 的切向方向指向圆心，表示质点速度方向的改变 而引起的速度的变化率（法向加速度）。 角速度也可表示为矢量 规定角速度矢量的方向垂 直质点运动的平面，指向 由右手螺旋法则确定，即 当四指沿质点运动方向弯 ? ? ? ? 加速转动 方向一致 曲时，大拇指的指向就是 ? ? 减速转动 ? ?方向相反 角速度的方向例:质点沿半径为R的圆周按规律 s ? bt ? 大小相等以前所经历的时间。解：因为 所以其中b, c为正的常数。试求在切向加速度与法向加速度1 2 s ? bt ? ct 2v?a? ?1 2 ct 运动， 2ds ? b ? ct dt即(b ? ct)2 ? Rc解得dv ? ?c dt v2 1 an ? ? (b ? ct ) 2 R R当b R t? ? c ca? ? an时，有1 (b ? ct ) 2 ? c R例：一物体以初速度 v0 ? 19.6m / s ，与水平地面夹角为 600 抛出，求此物体到达最高点时轨迹的曲率半径。解：v// ? v0 cos 600 ? 9.8m / s, v? ? 0 v an ? g ? ? R 2 v// R? ? 9 .8 m g21-3 牛顿运动规律一、牛顿运动定律的表述 牛顿第一定律（Newton first law)(惯性定律) 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。包含两个重要概念：惯性和力牛顿第二定律（Newton second law）在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大 小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的 方向与外力的矢量和的方向相同。? ? F ? ma特点：瞬时性；迭加性；矢量性牛顿第二定律的另一种形式（牛顿当年发表形式） 任一时刻物体动量的变化率总是等于物体 所受的合外力。? ? ? ? dp d (mv ) F ? ? Fi ? ? dt dt? ? ? dv F ?m ? ma dt或? a?? ? Fi m
第三定律（Newton third law）两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，而且指向相反的方向。作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。它们之间一一对应。2、它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。二、国际单位和量纲 日，我国国务院颁布实行以国际 单位制（SI）为基础的法定单位制 . SI的7个基本量为长度、质量、时间、电流、 温度、物质的量和发光强度 力学的 基本量物理量单位名称 符号长度 米质量千克时间秒mkgs导出量 通过物理量的定义或物理定律就可导出其他 物理量的单位。从基本量导出的量称为导出量速率力v ? ds / dt? ? F ? ma? ? dW ? F ? dr1m ? s ? 1m/1s-11N ? 1kg ? m ? s-2功1J ? 1N ? m量 纲定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形 成的式子 . 某一物理量 Q 的量纲 量纲作用 1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系 . 2）量纲可检验文字结果的正误 . 3）从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位 .[Q] ? L M Tp qsm1m2 F ?G 2 rFr G? m1m22[G] ? L M T3?1?2三、惯性系与非惯性系问 题a=0时 小球的状态符合牛顿定律 a≠0时 小球的状态为什麽不符合牛顿定律？ 结论：凡牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系。相 对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯 性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。1-4功和能机械能守恒定律一 、功和功率 （1) 功的定义 力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。? FF ? ??? ? ? W ? F// ?r ? F ?r cos? ? F ? ?r? ?r?F ??? F（2) 变力的功? ? dW ? F ? drW ? ? dW ? ?? b a? ? W ? F ? ?rdr? b θ F? ? F ? dra ???ba? F cos ? dr功――力的空间积累 外力作功是外界对系统过程的一个作用量直角坐标系中? ? ? ? F ? Fx i ? Fy j ? Fz k ? ? ? ? dr ? dxi ? dyj ? dzkW ? ? ?Fx dx ? Fy dy ? Fz dz ?b a? ? Fx dx ? ? Fy d y ? ? Fz d zx0 y0 z0xyz? ? ? 例 作用在质点上的力为 F ? 2 yi ? 4 j ( N )在下列情况下求质点从 x1 ? ?2(m ) 处运动到x2 ? 3(m ) 处该力作的功。假设轨线分别为：1. 质点的运动轨道为抛物线x ? 4y22. 质点的运动轨道为直线4y ? x ? 6Y x2 ? 4 y4y ? x ? 62.251?2O3 XW ??aB? ? ?Fx dx ? F y dy ? Fz dz ?bA? ? F ? drY x2 ? 4 y2.254y ? x ? 6y2 y11W1 ? ?x2 , y2x1 , y1?2 ( Fx dx ? Fy dy ) ? ? 2 ydx ? ? 4dyx2 x1O94 x2 ?? dx ? ? 4dy ? 10.8J ?2 2 1 3W2 ? ?x2 , y2x1 , y1( Fx dx ? F y dy ) ? ? 2 ydx ? ? 4dyx1 y1x2y294 1 ?? ( x ? 6)dx ? ? 4dy ? 21.25J ?2 2 1 3做 功 与 路 径 有 关3 X（3） 功率 平均功率：力在单位时间内所作的功?W P? ?t?W dW ? 瞬时功率： P ? lim dt ?t ?0? ?t? ? ? dW ? F ? dr? ? ? dr ? ?P ? F ? ? F ?v dt瞬时功率等于力与物体速度的标积二、动能和动能定理（1） 动能（2）动能定理b1 Ek ? mv 2 2? ? ? b b ? ? dv ? W ? ? F ? dr ? ? m ? dr ? ? mv ? dv a a a dt b 1 1 1 2 2 ? ? d ( m v2 ) ? m vb ? m va a 2 2 21 1 2 2 W ? mv b ? mv a ? E kb ? E ka ? ?E k 2 2 作用于质点的合外力对质点所作的功等于质 点动能的增量，这一结论称为质点的动能定理外力做正功等于相应动能的增加； 外力做负功等于相应动能的减少。 功是质点动能变化的量度 过程量 物体受外力作用 状态量 运动状态变化 动能变化三、保守力 非保守力 势能 1、保守力 非保守力 某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。等价于：? ? W ? ? F ? dr ? 0L典型的保守力：重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是耗散力 典型的耗散力： 摩擦力、粘滞阻力2、势能B在受保守力的作用下，质点 从A--&B，所做的功与路径无关， 而只与这两点的位置有关。可引 入一个只与位置有关的函数，A点A的函数值减去B点的函数值，定义为从A --&B保守力所做的功，该函数就是势能函数。Wab ? EP (a) ? EP (b)定义了势能差? ? EP (a) ? EP (b) ? ? F保 ? drb a选参考点（势能零点），设 E P (b) ? 0Wab ? E P (a )质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。E p (a) ? ?零势能点ra? ? F保 ? dr重力势能（以地面为零势能点）E P ? ? ? mgdy ? ? mg (0 ? y ) ? mgyy0弹性势能（以弹簧原长为零势能点）Ep ? ?0x1 2 1 2 ? kx ? dx ? ?(0 ? kx ) ? kx 2 2引力势能（以无穷远为零势能点）势 能 只 具 有 相 对 意 义Mm 1 EP ＝ ?r －G r 2 dr ? ?GMm r?以上建立坐标系详细推导注意：（1）计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量， 其量值与零势能点的选取有关。 （2）势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应 于 一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。 （3）势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所 共 有的。 （4）一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此， 保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时， 系统势能增加。四、功能原理质点系统的动能1 2 E k ? ? E ki ? ? mi v i i i 2i ? 1,2,? , n因为一对内力 做功之和不一定为零所以W外 ? W内 ? Ek末 ? Ek初质点系的动能定理: 所有外力对系统所作的功和系统内力对系统各 质点所作的功之和等于系统总动能的增量。质点系的功能原理W外 ? W非保守内力 ? W保守内力 ? EK ? EK 0 W保守内力 ? ?( EP ? EP 0 ) ? ??EPW外 ? W非保守内力 ? ( EK ? E p ) ? ( EK 0 ? EP 0 )W外 ? W非保守内力 ? E ? E0质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保 守力的功的总和等于其机械能的增量。 称为功能原理五、机械能守恒定律W外 ? W非保守内力 ? 0 或W外 ? 0 和 W非保守内力 ? 0系统的机械能保持不变 在只有保守内力做功的情况下， 质点系的机械能保持不变。1-5 动量 冲量 动量守恒定律 一、动量 （描述质点运动状态，矢量）质点的动量 质点系的动量? ? p ? mv ? ? ? p ? ? pi ? ? mi vi二、质点的动量定理? ? ? d (mv ) dp F? ? dt dt动量定理的微分形式其中令? t2 ? I ? ? Fdt 称为力的冲量.t1动量定理的积分形式作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ――质点的动量定理动量是状态量，冲量是过程量，动量定理给出了二者之间的关系。动量 定理无需考虑质点在运动过程的细节，也不需要考虑外力随时间变化的详细 情况。求解问题带来方便。I x ? ? Fx dt ? mv 2 x ? mv 1 xt1t2分量表示式I y ? ? Fy dt ? mv 2 y ? mv 1 yt1t2I z ? ? Fz dt ? mv 2 z ? mv 1 zt1t2三、质点系的动量定理设有两个质点系m1、m2 受外力：受内力：m1 m2? ? dp2 ? 对质点“2” ? F2 ? f ? 对质点 dt “1” ? ? ? ? ? ? d ( p1 ? p2 ) ? F1 ? F2 ? f ? f ?dt ? ? d ( p1 ? p2 ) ? ? ? F1 ? F2 dt一般言之：设有N个质点，则：? ? ? ? p ? p1 ? p2 ? ? ? pn ? ? ? 令: ? 则有: F ? F1 ? F2 ? ? Fn ? ? ? dP ? ? F 或: Fdt ? dP dt动量定理的微分形式.? ? ? d ? ? ? ( p1 ? p2 ? ? ? pn ) ? F1 ? F2 ? ? Fn dt? ? ? d ? ? ? ( p1 ? p2 ? ? ? pn ) ? F1 ? F2 ? ? Fn dt? ? ? ? t2 P2 ? ? ( F1 ? F2 ? ? Fn )dt ? ?? dP t1 P1?t2t1? ? ? ? ? Fi外dt ? ? dP ? ? pi 2 ? ? pi1i i i? P2 ? P1? ? ? ? Ii ? P2 ? P1n i ?1质点系的动量定理.质点系的动量定理:质点系所受外力的总冲量等于质点系的总动量的增量 ni ?1? ? ? ? Ii ? P2 ? P1注意:只有质点系的外力才能改变质点系的总动量.内 力虽能改变质点系个别质点的动量，但不能改变质 点系的总动量。四、质点系的动量守恒定理如果? ? F ? ? Fi外 ? 0? ? ? p ? ? mi vi ? ci ?1 n? dP ? ?F dt则有:若质点系所受合外力为零， 则质点系的总动量保持不变。注意(1)使用时要注意定理的条件：? ? ? Fi外 ? 0ix(2)常用分量式：?惯性系 (因由牛顿定 律导出的）i ix?Fi?0?0 ?0?m v? 恒量 ? 恒量 ? 恒量?Fiiy?Fiiz?m v ?m vi iyi iz这说明哪个方向所受的合力为零， 则哪个方向的动量守恒。? 例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、l v 0人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动， 上述结论如何？ 解：以人和车为研究 系统，取地面为参照 系。水平方向系统动 量守恒。? ? ? ? ( M ? m)v0 ? Mv ? m(u ? v )? ox? m ? v0 u M?l? v( M ? m )v0 ? Mv ? m(? u ? v )人匀速运动，小车能匀速吗？m m l 1、 v ? v 0 ? u ? v0 ? M?m M?m tm l m 2、 s ? vt ? (v0 ? )t ? v 0 t ? l M?m t M?m3、tm v ? v0 ? u M?mtmu s ? ? vdt ? ? (v 0 ? )dt? 0 0 M ?m m ? v0 t ? l M ?moxm ? ? v0 u M?l? v
五、碰撞物体在短时间内发生相互作用的过程。碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。2、系统的总动量守恒。 弹性碰撞：?Ek=0 碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。 非弹性碰撞： ?Ek&0 碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。 完全非弹性碰撞： ?Ek&0且绝对值最大 两球碰后合为一体，以共同的速度运动。正碰：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。 那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也都在这一连线上。（对心碰撞）斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。正碰v10v 20恢复系数f1 f2 m1 m 2v2 ? v1 e? v10 ? v20v1m1v2m2m1m2碰撞时系统动量守恒m1v1 ? m2v2 ? m1v10 ? m2v20恢复系数分离速度与接近速度 的比值，只与材料有 关。(1 ? e)m2 (v10 ? v20 ) v1 ? v10 ? 若取向右为正， m1 ? m2 以上各速度要根据方 (1 ? e)m1 (v20 ? v10 ) 向取正负。 v 2 ? v2 0 ? m1 ? m2(1 ? e 2 )m1m2 ?Ek ? (v10 ? v20 ) 2 2(m1 ? m2 )e ?1 e?0弹性碰撞完全非弹性碰撞0 ? e ? 1 一般的非弹性碰撞例：小球与地面碰撞问题v1 e? v10 v10 ? v1 ? e? 2gh 1 2 g h2 h2 h11-6 刚体的定轴转动实际的物体运动不总是可以看成质点的运动何谓刚体? 在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学 研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或 受外力时都保持不变。?ri j ? c? mj ? mi刚体运动的两种基本形式平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平 行的运动AB平动：用质心运动讨论A??A? B?B??转动：对点、对轴转轴O’定轴转动：各质元均作圆周 运动，其圆心都在一条固定 不动的直线（转轴）上。O刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为 一个随质心的平动加上绕质心的转动。一、刚体定轴转动的运动描述PX参考 方向PQ?? ??X X转动平面转轴各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。d? ?? dtd? d 2? ?? ? 2 dt dt角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。? ? ? v ? ??ra? ? dv d? ?R ? R? dt dtd? ?? dt ??? ? 加速转动 ? ?方向一致 ? ? 减速转动 ? ?方向相反??? r? vv2 an ? ? R? 2 R由于角速度、角角速度的方向在轴上，因 此常用标量表示它们。
二 、刚体的转动动能 转动惯量1 1 2 2 2 E ki ? ?mi vi ? ?mi ri ? 2 2??r ?mi M1 1 1 2 2 2 2 2 Ek ? ? ( ?mi ri ? ) ? (? ?mi ri )? ? J? 2 2 2 iJ ? ? (?mi ri 2 )i刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia) 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动 惯量与角速度平方乘积的一半。 比较：1 2 Ek ? J? 21 2 E k ? mv 2对于离散型分布的刚体，其转动惯量为J ? ? (?mi ri )2 i?2?r ?mi M对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成J ? limn ??? ?m ri ?1ni i? ? r dm2 V其中r是质量元到转轴的距离。刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量 与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。*刚体的质量 与转动惯量有关的因素： *质量的分布（形状大小） *转轴的位置
高速旋转的好处是使 飞轮的转动速度变化 不太大，保持较均匀 的速度旋转。常用实验方法： 1）三线扭摆测量转动惯量2）用单线法测物体的转动惯量T2 ? T1 J? J1 2 T1223）扭摆法转动惯量仪测定转动惯量K 2 J? T 2 4?验证平行轴定理理论计算方法：J ? ? r dm2注 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 意 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解：细圆环2dm ? ?dl2 L 2?dlRJ C ? ? R dm ? ? R ?dl? R ? ? dl ? R ? 2?R ? mR2 2又解:J ? ? ?mi R ?(? ?mi ) R ? mR2 2 i iL2J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。例 求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的 转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环, Zdm ? ?dV ? ? ? 2?rdr ? ldJ ? r dm ? ? ? 2?lr dr2 3Or drJ ? ? dJ ? ?R0m 1 2 ?? ? ? J ? mR ?R 2l 21 4 ? ? 2?lr dr ? ??R l 23可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。例、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不 同轴的转动惯量。 2解：取如图坐标AJ ? ? r dmxLdxdm=?dxL 2 2 0BXJ A ? ? x ?dx ? mL / 3J C ? ? x 2 ?dx ? mL2 / 12L 2 L ? 2AL/2C L/2BX
三、转动定律作用在刚体上的轴的力矩? ? ? ? ? ? M 0 ? r ? F ? r ( Fz ? F? ) ? M z ? rF? sin ?转动定律? ? ? Fi ? f i ? ?mi aiZ两个力在平面内Fi sin ?i ? f i sin ?i ? ?mi ai?将切向分量式两边同乘以 r , i 变换得? fi? ri ?m? i i2?i? FiFi ri sin ?i ? f i ri sin ?i ? ?mi ri ?2 F r sin ? ? f r sin ? ? ( ? m r ? i i i ? i i i ? i i )? i i i合外力矩MM ? J?0 ? ? M ? J?JJ ? ? (?mi ri 2 )iM ? J?? ? M ? J?（矢量形式）刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩 等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。 刚体定轴转动的转动定律? ? ? ? 地位相当 与 M ? J? F ? mam反映质点的平动惯性, J反映刚体的转动惯性.
? 讨论：一均匀细杆长为L，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度w。绕过中心O，且垂直 于桌面的轴转动，试求（1）所用在杆的摩擦力矩，（2）经过 多长时间杆才会停止转动，（3）若绕过端点转动，求（1）、 （2）问题。 答案（1）1 M ? ? ?mgL 4 （2） ?L t? 3?g1 M ? ? ?mgL 2 2?L t? 3?g（3）
例：质量为m，长为L的均质杆，一端放在桌面，另 一端用手支住，使杆水平放置，手突然放开，在此 瞬时，求： （1）杆质心的加速度， （2）放置在桌面一端所受的力大小。L 1 2 ? ?M ? J? ? mg 2 ? 3 mL ? 解得： ? 解： ?a ? ? L ? 0 3g 3 1 2 ? ?? , a0 ? g , T ? mg ?mg ? T ? ma0 2L 4 4 ? ?转动定律应用举例例：一个质量为M、半径为R的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦，求物体m由静止下 落高度h时的速度和此时滑轮的角 速度。mg解：对M：M ?＝TR＝J?1 J＝ MR 2 2对m : mg ? T ? maa ? R?m 解 方 程 得 ： a? m?Mg 2mgv ? 2ah ? v 1 ?? ? R R4mgh 2m ? M 4mgh 2m ? M例：一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现 在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀 减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求 闸瓦对轮子的压力N为多大？ F ?0解：飞轮制动时有角加速度??? ? ?0tfrN?0??0 ? 1000r / min ? 104.7rad/s ? ? 0 t ? 5s ? ? ? ?20.9rad/s 2外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。M＝? f r R ? ??NR ? J? ? mR ?2? ?NR ? mR ?2N ??mR??例、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有 一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 最初棒静止在水平位置，求它由此下摆?角时的角加 速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆? 角时，该质量元的重力对轴 的元力矩为O?ldm? ?dlgdmdM ? l cos ?gdm ? ?gl cos ?dldM ? l cos ?gdm ? ?gl cos ?dlO?重力对整个棒的合力矩为M＝ ? dM ? ? ?gl cos?dl0 Lldm? ?dlgdm1 ? gL cos ? ? mgL cos ? 2 22?代入转动定律，可得 1 mgL cos ? M 3g cos ? 2 ?? ? ? 1 2 J 2L mL 3d? d? d? d? M ? J? ? J ?J ?J ? dt d? dt d? 1 代入 M＝ mgl cos ? Md? ? J?d? 21 mgL cos ?d? ? J?d? 2 ? 1 ? ?0 2 mgL cos ?d? ? ?0 J?d? 1 1 2 机械能守恒 mgL sin ? ? J? 2 2 1 2 mgL sin ? 3g sin ? J ? mL ?? ? 3 J L四、 刚体定轴转动的功和能1、力矩的功? ? dW ? F ? ds ? F? rd? ? Md?ZW ? ? Md??1?2O ? d?? dr??r P? F力矩做功是力做功的角量表达式.对比： W ? ?? ? F ? dr力矩的瞬时功率dW p? ? M? dt2、动能定理d? d? d? d? M ?J ? J? ? J ? J? dt d? dt d????211 1 2 2 ? J ? ? J ? M d? ? ? J?d? 2 1 ?1 2 2 1 1 2 2 W ? J?2 ? J?1 2 2?2刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。对比：1 2 1 2 W ? mv2 ? mv1 2 23、刚体的重力势能 刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力 势能之和.E p ? ? ?mi ghi ? g ? ?mi hihEp?m h ? ? mgi im E p ? mghChc?m h ? ? mP?m iCi ihiOhC结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能零点的 高度，与刚体的方位无关。即计算刚体的重力势能只 要把刚体的质量全部集中于质心处，当一个质点处理 即可（无论平动或转动）4、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律质点系功能原理对刚体仍成立：W 外 + W 内非 =（ Ek 2 +Ep ）― （E k1+ E p ）2 1若W外+ W内非=0，则Ek +Ep =常量。即如果合外力不做功，非保守内力也不做功， 或二者的功的代数和为零，机械能守恒定律. 若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内 力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒. 1 2 E ? J? ? mghC ? 常量 2 即刚体的重力势能和刚体的转动动能相互转化、总 和不变。
Jmg sin ? f ? mR 2 ? J 物 体 做 纯 滚 动 需 要 满 件 f ?静 摩 擦 力 ? ? mg sin ? 得 到 ： J ? cot ? ? mR 2 ? J 质心的速度还可以通过能量守恒求解：1 2 1 2 1 2 1 vc 2 mgh ? mvc ? J? ? mvc ? J ( ) 2 2 2 2 R由于：J 环 ? mR2 ? J 球壳 ? 0.67mR2 ? J圆柱 ? 0.5mR2 ? J 球体 ? 0.4mR2于是可以判断哪个物体滚动的快慢。五、刚体的角动量定理和角动量守恒定律 1、质点的角动量? ? ? ? ? L ? r ? p ? r ? mv角动量的大小为L ? rp sin ? ? mrvsin ?L mv O r质点的角动量方向满足右手螺旋法则单位是千克平方米每秒(kgm2/s)
2、 刚体的角动量质点的角动量? ? ? L?r?p??Zri ?mi M以角速度?绕OZ轴旋转的刚 体，现将刚体分割成许多质 元?m1, ?m2 ??mi ??mn?mi 对Z轴的角动量? ? ? ?Li ? ?mi ri ? vi? ? Li 的大小?Li ? ?mi ri vi? ? ? vi ? ri方向沿Z轴??Z? 刚体总角动量 L大小：ri ?mi MLz ? ? ?mi ri vii ?1nLz ? ? ?Liz ? ? (?mi ri )?2刚体对Z轴的转动惯量 J ? 刚体对Z轴的角动量类比质点的动量? ?m rp = m v2i iLz ? J?3、角动量定理 ZMZ? F? M Z dt ? Jd? ?(1)设 t1 ? t2时间内，刚体角 速度由 ?1 ? ?2d? ? M Z ? J? ? J dt对(1)式两边积分得定轴转动的角动量定理(积分形式)?t2t1M Z dt ? J?2 ? J?1而把(1)式称为定轴转动的角动量定理的微分形式定轴转动的角动量定理：定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一转轴合力矩的角冲量?t2t1M z dt ? J?2 ? J?1角动量的增量角冲量讨论：(1) 角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩 定理。它与质点的动量定理存在类比关系：?t2t1? ? ? Fdt ? mv2 ? mv1(2）定理说明了对定轴转动，角动量的改变要 靠施以角冲量。对角动量大的物体则要施以大的角冲量4、角动量守恒定律t2动量矩定理? t1 若： ? M Zi ? 0M dt ? J ? ? J ? Z 2 1 ?则:J?1 ? J?2定轴转动的角动量守恒定理：若定轴转动的刚体 所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体对该轴的 角动量保持不变。J Z? Z ? c (? M Z ? 0)? ? mivi ? c? (? Fi ? 0)类比：讨论：(1)角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立。 一般有三种情况：A：J不变，?也不变，保持匀速 转动。B：J发生变化，但J?不变，则?要发生改 变。在体育运动常见。I. 演示实验?F???FII、芭蕾舞演员的高难动作D:实际中的一些现象高！ 高！艺术美、人体美、物理美相互结合III.当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速 翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。 当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身 体平稳落地。C：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时， 必引起另一部分朝另一反方向旋转。??直升飞机后面的螺旋浆: 抵消大螺旋桨产生的反作用 力。?'?例1）质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心 的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和转 台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对 地而言，人和转台各转动了多少角度？ + m M 已知： M , m, R, ? X 求： ? 人 ,?台?0解：以M、m为研究对象? ? M 外力矩 ? 0故角动量守恒若人和转台的角速度分别为 +?人M?? 人 , ?台mX因人和台原来都静止故 角动量?台?J 人?人 ? J台?台 ? 0?(1) 1 2 2 mR ?人 ? MR ?台 ? 0 2 M ?人 ? ? ?台 ?(2) 2m（2）式×dt 积分：M t ? dt ? ? ? dt 人 台 ?0 ? 2m 0t?人 mX??台?MM t ?0 ?人 dt ? ? 2m ?0 ?台dt M ?人 ? ? ?台 ?(3) 2mtA?人 ? ?台 ? 2? ?(4)4?m ?台 ? M ? 2m 2?M ?人 ? M ? 2m?人m?台A例题2）一木杆长 l 可绕光滑 端轴O旋转。设这时有一质量 ? 为m的子弹以水平速度 v 射入 杆端并嵌入杆内，求杆偏转的 角度。M+M?m? 已知： M , l , m, v射入前后(即子弹与木杆的碰撞)过程，以子弹和木杆组 成的系统角动量守恒！而系统的动量不守恒。为什么？ 提请同学们特别注意：以后凡遇到质点与刚体的碰撞 之类的问题，均要应用角动量守恒求解，而一般不能 应用动量守恒求解。解： 此题可分为两个过程，(1) 碰撞过程；(2) 上摆过 程。碰撞过程以子弹和木杆组成的系统的角动量守 恒。上摆过程以子弹、木杆和地球组成的系统机械 能守恒。 (1)碰撞过程 系统在子弹射入之前的角动量 O O L ? mlv 1 M+ ? M 系统在子弹射入之后的角动量：? L1 LZ Z21 L2 ? J? ? ( Ml 2 ? ml 2 )? 3依角动量守恒定理： 1 mlv ? ( Ml 2 ? ml 2 )? 3 子弹射入之前??mv1 ( M ? m)l 3? (1)子 ? M 弹 ? + 射 L Z2 入 之 后N O OM(2) 上摆过程：以M、m、地球为研究对 象，以杆端为势能零点初态的机械能 E ? 1 J? 2 ? Mg l 1?mgl22末态的机械能l l E2 ? Mg ? Mg (1 ? cos ? ) ? mgl(1 ? cos ? ) 2 2依机械能守恒：E1 ? E2 ?(2)J? 2 1 ? cos ? ? ? (3) ( M ? 2m) gl （1）式代入（3）式 ? ? 3m 2v 2 ? ? arccos ?1 ? ? ( M ? 3 m )( M ? 2 m ) gl ? ?[ 例 ]如图示已知： M=2 m， h， ? =60 ° 求：碰撞后瞬间盘的 ? P 转到 x 轴时盘的 ? =? ? ? ? 解： m下落：0? ？1 mgh ? mv2 2 ? v ? 2gh (1)碰撞 ? t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，故重力对 O力矩可忽略，角动量守恒： mvR cos? ? J? o J? (2) (3) (4)1 2 2 2 MR ? mR ? 2 mR 2由 (1)(2)(3) 得：? o ? 2 gh cos ?2R对 m+ M+ 地球系统，只有重力做功， E 守恒， 令 P、 x 重合时 E P =0。 则： mgR sin ? ? 1 2 J?2 o?122 ? J(5)由 (3)(4)(5) 得：? ??gh 2R 1 .2cos ? ?2g Rsin ?g2R2(h ? 4 3R)(? ? 60o)? ?MJ?mgR2 mR2?g2R例：一质量为M，半径为R，并以w旋转着的飞轮，某瞬时有 一质量为m的碎片从飞轮上飞出，假定碎片脱离圆周时的速 度方向正好竖直向上，求： （1）它能上升多高？ （2）求余下圆盘转动的角速度，角动量和转动动能。 解： （1）碎片离开盘时的v0 ? ?R，于是上升的高度：(2) 由 于 合 外 力 矩 为 零 ，2 v0 ? 2 R2 h? ? 2g 2g角 动 量 守 恒I1?1 ? I 2? ? ( I1 ? I 2 )? ? ?1 ? ? 1 剩 下 盘 的 角 动 量 （ MR 2 ? mR 2 )? 2 1 1 剩 下 盘 的 动 能 （ MR 2 ? mR 2）? 2 2 2六、陀螺的运动ZZ???OX O? mg rY刚体有一个固定的支点，所受的合力力矩方向与角动量 方向正交，因而外力矩只改变角动量的方向而不改变大小， 形成了进动现象。? ? 解释： 当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量 L ? J?Z? ? L ? dL? d? ?'? M? dL? ? 新的角动量 L ? dL 也即刚体绕 新的轴运动，产生了进动。进 动角速度 ? ?dL ? ( L sin ? )d??? mg rO由图：dL ? L sin ???dt ? J??? sin ?dtdL ? MdtYM ? J??? sin ?杠杆回转仪? ? dL ? MdtX
受重力的力矩? ? ? M ? r ? mgM ? mgr sin ?mgr mgr ?? ? ? J? L结论旋进的角速度的大小与刚体绕对称轴转动的角动 量成反比，实际上是与刚体绕对称轴旋转的角速度成 反比。进动的角速度与外力矩成正比。转得越慢，摆 动角越大，稳定性越差；转得越快，摆动角越小，因 而稳定性也就越好。这和人们骑自行车的道理差不多。 陀螺高速自转时，在重力偶作用下，不沿力偶方向翻 倒，而绕道支点的垂直轴作圆锥运动的现象，就是陀 螺原理。 例子：子弹的飞行（受到空气力矩作用）尽量绕 对称轴高速旋转，减小进动，增加弹头的射击精度。
力学三大定律及练习题_理化生_高中教育_教育专区。适用于中职对口升学的学生第2节 静力学基本公理 47 14C 28 1A 2A 3D 4D 5B 6A 7A 8C 9D 10D 11C 12B ...因此,恩格斯把它叫做“伟大的基本 的运动定律” 。列宁也说它是“唯物主义 ...即外界没有对体系做功,而让热 力学体系对外放出热量,因而温度降低,最后又恢复...第二章 动力学基本定律_理学_高等教育_教育专区。第 内容提要: 5 次课 日期...六.牛顿运动定律的应用 利用牛顿定律求解力学问题时,大致要按以下几步进行: 1....专业班级: 学号: 姓名: 成绩: 练习一 力学基本定律 一、填空题 1.两辆车A 和B,在笔直的公路上同向行驶,它们从同一起始线上同时出发,并且由出发点开始计时,...2.广义虎克定律 2.广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为...弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性...第01章--热力学基本定律--习题及答案_工学_高等教育_教育专区。万洪文版 物理化学 答案第一章 热力学基本定律 习题及答案 习题及答案 P10) § 1. 1 (P10)...高中物理力学基本概念、定理、定律、公式(表达式)总表_理化生_高中教育_教育专区。高中物理力学 高中物理力学基本概念、定理、定律、公式(表达式)总表 一、质点的...牛顿力学三大定律公式记忆举例( 03:45:46)闲云闲语之- 物理定 律,标签:记忆术 闲云 记忆力 想象力 物理 牛顿 定律 教育 分类:记忆实践 物理定律,...第二类永动机: 只需从单一热源吸收热能便能永远对外做功的动力机械, 违反热力学第二定律。 3. 热力学第二定律的实质 热力学第二定律揭示了大量分子参与宏观过程...专业班级: 学号: 姓名: 成绩: 练习一 力学基本定律 一、填空题(每空 3 分, 27 分) 1.两辆车A 和B,在笔直的公路上同向行驶,它们从同一起始线上同时...
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