已知数列{An}的前N项和为Sn且a1=1,Sn=n^2乘An.猜想Sn的表达式?有知道的吗?_百度作业帮
已知数列{An}的前N项和为Sn且a1=1,Sn=n^2乘An.猜想Sn的表达式?有知道的吗?
(1)S1=a1=1;S2=a1+a2=2^2×a2=4a2;a2=(1/3)a1=1/3;S2=a1+a2=4/3S3=a1+a2+a3=3^2×a3=9a3;a1+a2=8a3;a3=(1/8)(4/3)=1/6;S3=a1+a2+a3=1+1/3+1/6=3/2;S4=a1+a2+a3+a4=4^2×a4=16a4;a1+a2+a3=15a4;a4=(1/15)(3/2)=1/10;S4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+1/10=8/5;综上所述,S1=1=2/2,S2=4/3;S3=3/2=6/4;S4=8/5;故猜想Sn=2n/(n+1)(n∈N*)证明:S(n)-S(n-1)=a(n)=n^2×a(n)-(n-1)^2×a(n-1)故(n-1)^2×a(n-1)=(n^2-1)×a(n)(n≥2且n∈N*)等式两边约去(n-1)得:(n-1)×a(n-1)=(n+1)×a(n)a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1);采用叠乘法求通项公式:[a(n)/a(n-1)]×[a(n-1)/a(n-2)]×.×[a(3)/a(2)]×[a(2)/a(1)]=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×.×(2/4)×(1/3)=[(n-1)×(n-2)×(n-3)×...×2×1]/[(n+1)×n×(n-1)×...×4×3]=2/[n(n+1)](n≥2且n∈N*)(约去交错项)验证a1=1,合乎通项公式故有an=2/[n(n+1)](n∈N*)Sn=2{[1-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+...+[(1/n)-1/(n+1)]}=2[1-1/(n+1)](约去交错项)=2n/(n+1)(n∈N*)
an=Sn-S(n-1)=n^2an-(n-1)^2 an-1移项合并得：(n^2-1)an= (n-1)^2 an-1an= (n-1)^2 /(n^2-1) an-1=(n-1)/(n+1) an-1所以同样：an-1=(n-2)/n an-2an-2=(n-3)/(n-1) an-3...a2=1/3 a1所有两边相乘再消去a2*a3*...an-1得到an=（n-1)!/(n+1)!/2 a1=2/n(n+1)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn.求an的通项_百度作业帮
已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn.求an的通项
当n=1时,S1=a1=1当n≥2时,an+1=Sn+1-Sn得nan+1=n(Sn+1 - Sn)=2SnSn+1/Sn=(n+2)/nSn/Sn-1=(n+1)/(n-1)于是S2/S1=3/1S3/S2=4/2S4/S3=5/3……Sn/Sn-1=(n+1)/(n-1)累积得Sn/S1=(n+1)/(n-1)*……*5/3*4/2*3/1=(n+1)*n/2*1=n(n+1)/2∴Sn=n(n+1)/2从而an+1=2Sn/n=n+1即an=n当n=1时an=1满足故an=n当前位置：
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已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=Sn2n，如果对一切正整数n都有bn≤t，求t的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵nan+1=Sn+n（n+1）∴（n-1）an=Sn-1+n（n-1）（n≥2）两式相减可得，nan+1-（n-1）an=Sn-Sn-1+2n即nan+1-（n-1）an=an+2n，（n≥2）整理可得，an+1=an+2（n≥2）（*）由a1=2，可得a2=S1+2=4，a2-a1=2适合（*）故数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得，an=2+（n-1）×2=2n（2）由（1）可得，Sn=n（n+1），∴bn=Sn2n=n(n+1)2n由数列的单调性可知，bk≥bk+1，bk≥bk-1k(k+1)2k≥(k+2)(k+1)2k+1k(k+1)2k≥k(k-1)2k-1解不等式可得2≤k≤3，k∈N*，k=2，或k=3，b2=b3=32为数列{bn}的最大项由bn≤t恒成立可得t≥32，则t的最小值32
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），（1）求数列an的..”主要考查你对&&数列的概念及简单表示法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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数列的概念及简单表示法
数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。特别提醒：①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．
发现相似题
与“已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），（1）求数列an的..”考查相似的试题有：
398980755561799228522024812507571526已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，1/Sn=又1/an-又1/an+1．（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）设an与an+2的等差中项为A，比较A与an+1的大小；（3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列bn：当k=m+1，m+2，…，2m时，bk=akoak+1；当k=1，2，…，m时，bk=b2m-k+1．求数列{bn}的前n项和为Tn（n≤2m，n∈N*）．-乐乐题库
& 数列的求和知识点 & “已知数列an中，a1=1，a2=a-1（...”习题详情
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已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，1Sn=1an-1an+1．（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）设an与an+2的等差中项为A，比较A与an+1的大小；（3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列bn：当k=m+1，m+2，…，2m时，bk=akoak+1；当k=1，2，…，m时，bk=b2m-k+1．求数列{bn}的前n项和为Tn（n≤2m，n∈N*）．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2011-江苏模拟
分析与解答
习题“已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，1/Sn=又1/an-又1/an+1．（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）设an与an+2的等差中项为A，比较...”的分析与解答如下所示：
（1）直接利用an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1&（n≥2）代入1Sn=1an-1an+1整理可得Sn2=Sn-1Sn+1再检验前两项是否成立即可证明结论．（2）先由（1）的结论结合an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1&（n≥2）求出数列的通项；在让A与an+1作差，利用Sn恒为正值对a进行讨论即可比较大小；（3）由条件可得当m+1≤k≤2m时，bk=akoak+1=22k-3．然后分n≤m以及m+1≤n≤2m两种情况转化后直接代入等比数列的求和公式即可．
解：（1）当n≥3时，1Sn=1an-1an+1=1Sn-Sn-1-1Sn+1-SN，化简得Sn2=Sn-1Sn+1（n≥3），又由a1=1，a2=a-1得1a=1a-1-1a3，解得a3=a（a-1），∴S1=1，S2=a，S3=a2，也满足Sn2=Sn-1Sn+1，而Sn恒为正值，∴数列{Sn}是等比数列．（4分）（2）Sn的首项为1，公比为a，Sn=an-1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（a-1）an-2，∴an=1&&&n=1(a-1)&an-2，n≥2当n=1时，A-an+1=a1+a322=a2-3a+322+34n+1．（6分）当n≥2时，A-an+1=an+an+22n+1=(a-1)an-2+(a-1)an2n-1=(a-1)an-2(a2-2a+1)2n恒为正值∴a＞0且a≠1，若0＜a＜1，则A-an+1＜0，若a＞1，则A-an+1＞0．综上可得，当n=1时，A＞an+1；当n≥2时，若0＜a＜1，则A＜an+1，若a＞1，则A＞an+1．（10分）（3）∵a=2∴an=1&&&n=1&&2n-2，n≥2，当m+1≤k≤2m时，bk=akoak+1=22k-3．若n≤m，n∈N*，则由题设得b1=b2m，b2=b2m-1，bn=b2m-n+1Tn=b1+b2+…+bn=b2m-1+…+b2m-n+1=24m-3+24m-5+…+24m-2n-1=24m-3(1-4-n)1-4-1*，则Tn=bm+bm+1+bm+2+…+bn=24m-1(1-2-2m)3+22m-1+22m+1+…+22n-3=24m-1(1-2-2m)3+22m-1(1-4n-m)1-4=24m-1+22n-13．综上得Tn={24m-1(1-2-2n)3，m+1≤n≤2m．（16分）
本题第二问考查了已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式，根据an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1&（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：an=Sn-Sn-1&（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．
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已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，1/Sn=又1/an-又1/an+1．（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）设an与an+2的等差中项...
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经过分析，习题“已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，1/Sn=又1/an-又1/an+1．（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）设an与an+2的等差中项为A，比较...”主要考察你对“数列的求和”
等考点的理解。
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数列的求和
数列的求和．
与“已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，1/Sn=又1/an-又1/an+1．（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）设an与an+2的等差中项为A，比较...”相似的题目：
在等差数列{an}中，a1=3，前n项和Sn满足条件Sn+2Sn=n+4n，n=1，2，3，…（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=1Snn}的前n项和为Tn，求Tn．&&&&
已知数列{an}；an+1=-12an+32+)且a1=4，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-2|＜12013的最小整数n是&&&&．
数列{an}的通项公式an√n98999697
“已知数列an中，a1=1，a2=a-1（...”的最新评论
该知识点好题
1阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为&&&&
2数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前60项和为&&&&
3数列{an}的通项公式an=ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2012等于&&&&
该知识点易错题
1已知数列{an}的前n项和Sn=a[2-(12n-1]-b[2-(n+1)(12n-1](n=1，2，…)，其中a、b是非零常数，则存在数列{xn}、{yn}使得&&&&
2已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=-x2+2x，设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为an（n∈N+）且{an}的前n项和为Sn，则limn→∞Sn=&&&&
函数f(x)=19Σn=1|x-n|的最小值为&&&&
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已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn-1=0（n≥2），a1=， （1）求证：{}是等差数列；（2）求an的表达式； （3）若bn=2(1-n)·an(n≥2)时，求证：b22+b32+…+bn2＜1；（4）若bn=-2an(n≥2)时，求证：b2+b3+…+bn＜1。
题型：解答题难度：偏难来源：0128
（1）证明：∵，∴，∴，又，∴是以2为首项，2为公差的等差数列； （2）解：由（1），，∴，当n≥2时，；当n=1时，；∴。 （3）由（2）知，，∴；（4）由（2）知，，∴b2+b3+…+bn。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn-1=0（n≥2），a1=，（1..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，一般数列的通项公式，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等），反证法与放缩法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质一般数列的通项公式数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）反证法与放缩法
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．一般数列的定义：
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
&通项公式的求法：
（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式； （2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列； （3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。已知递推公式求通项常见方法：①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1&+λ=q(an+λ)进而得到λ。②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
&反证法的定义：
有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，我们可以用间接的方法——反证法去证明，即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。
放缩法的定义：
把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。 反证法证题的步骤：
若A成立，求证B成立。共分三步：（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
放缩法的意义：
放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a&b,b&c，则a&c.
放缩法的操作：
若求证P&Q，先证P&P1&P2&…&Pn,再证恰有Pn&Q.需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的Pn&Q.
发现相似题
与“已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn-1=0（n≥2），a1=，（1..”考查相似的试题有：
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