知识点梳理
【一元二次根与系数的关系】如果&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根是&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，那么&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}（隐含&a≠0）．特别地，当一元二次方程的二次项系数为&1&时，设&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是方程&{{x}^{2}}+px+q=0&&的两个根，则&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-p，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=q．【一元二次方程根与系数关系得逆用】如果实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&满足&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}&，那么&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（）的两个根．以两个实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&为根的一元二次方程（二次项系数为&1）是&{{x}^{2}}-\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{x+x}_{1}}o{{x}_{2}}=0&．【一元二次方程根与系数的应用】（1）不解方程，利用根与系数的关系求关于&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&的对称式的值，如&{{{{x}_{1}}}^{2}}+{{{{x}_{2}}}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}{{-2x}_{1}}o{{x}_{2}}&，&\left({{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}，&{{|x}_{1}}{{-x}_{2}}|=\sqrt[]{\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}}，&{\frac{1}{{{x}_{1}}}}+{\frac{1}{{{x}_{2}}}}={\frac{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}，&{\frac{1}{{{{{x}_{1}}}^{2}}}}+{\frac{1}{{{{{x}_{2}}}^{2}}}}={\frac{\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\left({{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}}}．（2）根的符号的讨论．利用根与系数的关系可以讨论根的符号，设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&．i）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0&时，两根同号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}>0.}\end{array}}\right&&&两根同正．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&两根同负．ii）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0&时，两根异号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}0.}\end{array}}\right&&&两根异号且正根的较大．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&&两根异号且负根的绝对值较大．（3）其他结论．①&设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&（其中&{{x}_{1}}≥{{x}_{2}}&），若&m&为实数，当&Δ≥0&时，一般会有以下结论存在：i）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0
{{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}<m&．ii）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&& {{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}>m&．iii）&\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0&& {{x}_{1}}<m，{{x}_{2}}<m&．②&若有理系数一元二次方程有一个根是&a+\sqrt[]{b}，则必有另一个根为&a-\sqrt[]{b}&．③&若&ac<0，则方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）必有两个实数根．④&逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．以上利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的&Δ，一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
【的解】1.一元二次的解(根)的意义：&&能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个解。这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量。&&ax1?+bx1+c=0(a≠0)，ax2?+bx2+c=0(a≠0)3.对一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)来说当判别式△=b?-4ac>0时方程有两个解△=b?-4ac=0时方程有一个解△=b?-4ac<0时方程无解
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知m、n是方程x2-=0的两根，则（n...”，相似的试题还有：
阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=--\frac{b}{a}，x1ox2=\frac{c}{a}．根据该材料填空：已知m，n是方程x2-=0的两根，则(1)m+n=_____；(2)(m2-)(n2-)=_____．
已知m、n是方程x2-x-2011=0的两根，则m2+n=()．
阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1ox2=．根据该材料填空：已知m，n是方程x2-=0的两根，则(1)m+n=()；(2)(m2-)(n2-)=()．当前位置：
＞＞＞设函数f(x)=(x-2011)(x-，则f（x）=0（）A．在定义域内无解..
设函数f(x)=(x-2011)(x-2012)+12013，则f（x）=0（　　）A．在定义域内无解B．存在两个解，且分别在（-∞，2011）、（2012，+∞）内C．存在两个解，且分别在（-∞，-2010）、（2010，+∞）内D．存在两个解，都在（）内
题型：单选题难度：中档来源：不详
∵f(x)=(x-2011)(x-2012)+12013，∴f（2011）=12013＞0f（2012）=12013＞0又∵f（201112）=12o（-12）+12013=12013-14＜0故函数f（x）在区间（12）和区间（201112，2012）上各有一个零点故f（x）=0存在两个解，都在（）内故选D
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f(x)=(x-2011)(x-，则f（x）=0（）A．在定义域内无解..”主要考查你对&&函数的零点与方程根的联系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的零点与方程根的联系
函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点
发现相似题
与“设函数f(x)=(x-2011)(x-，则f（x）=0（）A．在定义域内无解..”考查相似的试题有：
573601451698494260818151405499852415化楼中学学年度九年级第一学期期末数学试卷201201_百度文库
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化楼中学学年度九年级第一学期期末数学试卷201201
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提问者采纳
1/2=1/1-1/21/6=1/2-1/31/12=1/3-1/4这三项相加即可以看出结果为第一个的首项和最后一个的末项差即1/1-1/4所以原式x/2+x/6+x/12+...+x/11x(1/2+1/6+1/12+……+1/)=2011x(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2)=2011x(1-1/x(1/1-1/解得x=2012备注，这主要利用公式1/x（x+1）=1/x-1/(x+1) 希望能帮到你如果您认可我的答案，请点击下面的“选为满意回答”按钮，谢谢！欢迎追问(*^__^*)
提问者评价
按照你说的，真的成功了，好开心，谢谢你！
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x/2+x/6+x/12+...+x/11
x[1/2+1/6+……+1/()]=2011
x[1-1/2+1/2-1/3+……+1/2]=2011
=2011 x/2012=1 x=2012
x/2+x/6+x/12+...+x/11x(1/2+1/6+1/12+……+1/)=2011x(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2)=2011x(1-1/=2011x=2012
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-2011? =(11+1)-2011? =2011? -1? -2011? =-1
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