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行列式的计算技巧与方法总结
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3秒自动关闭窗口N阶行列式的几种常见的计算方法 - 《中国学术期刊（网络版）》
《中国学术期刊（网络版）》
N阶行列式的几种常见的计算方法
【Author】
WANG Li-xia(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)
【摘要】 该文通过具体实例给出了n阶行列式的几种常见的计算方法,仅供读者参考.
【关键词】 ；
【所属期刊栏目】
（2008年02期）
【分类号】O151.22
【被引频次】2
【下载频次】1013
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行列式的计算方法
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行列式的计算方法与技巧
（武警哈尔滨指挥学院文化教研室，黑龙江哈尔滨150070）
摘要：从定义法，化三角形法，分离线性因子法等方面重点讨论行列式的计算与技巧。
关键词：行列式；计算方式；
技巧行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式理论的应用却远不如此，它在消元法、矩阵论、坐标变换，多重积
分中的变量替换，解行星运动的微分方程组、
将二次型及二次型束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用，然而这些应用最终都离不开行列式的计算，它是行列式理论中的一个重要问题。因此现特将行列式的计算方法归纳总结，并通过一些典型的例题介绍行列式计算的一些技巧。
此法是直接利用行列式的定义进行计算，它适用于行列式中有较多的零元素的情形。2化三角形法
此法是把行列式变换乘如下形式：就是使位于对角线一侧的所有元素全部都等于零，次对角线的情形，可以用改变行（或列）的次序成相反次序的方法，化到注对角线的情形，所得的行列式等于主对角线元素的乘积。
3分离线性因子法
此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。
-xabc?????例：计算行列式D=??a-xcb??
bc-xa?????
解：把D看成系数依赖与a，b，c的一个未知量x的多项式，如果将第一列加上其余各列，则行列式可分离出因子a+b+c-x；如果将第一列
加上第二列减去第三列和第四列，则分离出因子a-b-c-x；
如果将第一列加上第三列减去第二列和第四列，则分离出因子b-a-c-x；如果将第一列加上第四列减去第三列和第二列，则分离出因子c-a-b-x。所以行
列式可被a+b+c-x，
a-b-c-x，b-a-c-x，c-a-b-x除尽，又因这四个因子互素（因a，b，c，x代数独立），所以D可被它们的积除尽，即被（a+b+c-x）（
a-b-c-x）（b-a-c-x）（c-a-b-x）除尽。这乘积包含项x4
，带有系数+1，而行
列式本身也包含同一项x4
带有系数也为+1。所以D=（a+b+c-x）（a-b-c-x）（b-a-c-x）（c-a-b-x）=（x-a-b-c）（x-a+b+c）（x+a-b+c）（x+a+b-c）。4递推关系式法
此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型的行列式的表示式。所得到的等式为递推关系式。在递推关系是右端出现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列式。更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达n阶行列式的递推关系中，把在递推关系式中的n-1换n所得到的关于n-1阶行列式的表达式代入；其次，把n-2阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所求n阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常用的方法，它适用与较复杂的行列式。5变换行列式元素法
当以同一个数改变行列式的所有元素时得到一个新行列式，而对新行列式容易算出其值及其所有元素的代数余子式。
不妨设A=（aij）是n阶方阵，B=（aij+x），则|B|=|A|+xΣΣAij，其中Aij
j=1是|A|中元素aij的代数余子式。这样就把计算行列式|B|化为计算行列式|
A|及其若干个元素的代数余子式之和。此法也可推广为：设A=（aij）是nn
阶方阵，B=（aij+x）j，
则|B|=|A|+ΣxjΣAkj或设A=（aij）是n阶方阵B=（aij+j=1
则|B|=|A|+ΣxjΣAik。由此可以看出此法适用于行列式的各行（或j=1
列）必可写成两分行（或列）的和且任意不同两行（或列）中都有成比例的
两分行（或列）。
?x-aaa…a??
???ax-aa…a?
例：计算n（n≥2）阶行列式D?n=??aax-a…a??
??……………?
解：将x-a换为a+(x-2a)，则Dn可写为
??a+（x-2a）aa…a????aa+（x-2a）a…a????D??
n=??aaa+（x-2a）…a?
=?……………??????
aaa…a+（x-2a）????
）aa…a???
a（x-2a）a…a??nnn?
aa（x-2a）…a???+aΣΣAij=|A|+aΣ??
……………?i=1j=1i=1???
aaa…（x-2a）???Σn
这里，|A|的非主对角元的代数余子
式皆为零，只有它主对角线的代数余子式非零，而主对角元的代数余子
式皆为（x-2a）n-1
，故，有ΣΣAij=n（x-2a）
因此Dn=（x-2a）n+na（x-2a）n-1=（x-2a）n-1
[x+（n-2）a]6增加行列式阶数法
把n阶行列式适当地添加m行m列
（m≥1），使得到的n+m阶行列式与原行列式值不变，而且这升阶后的行列式易于计算，进而求出原n阶行列式。
例：计算n阶行列式
a1a2…an≠0
解：将n阶行列式D添加1行1列构成n+1阶行列式，使其值不变，再将第2，3，…，n+1行分别减去第一行，得即
将这n+1阶行列式再添加1行1列构成n+2阶行列式，使其值也不
变，将第3，
4，…，n+2列分别减去第1列，得即将第3，4，…，n+2列乘以
，然后都加到第1列上，再将第3，4，…，n+2列分别乘以-1，-1，…，-1
，然后都加到第12n
（下转186页）MYKJ
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行列式的计算方法及应用 23 行列式的应用
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摘 要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要，本文归纳了行列式的几种计算方法，并通过一些典型的例题介绍计算行列式的一些技巧。关键词：行列式 计算方法 范德蒙行列式 解析 应用济南大学泉城学院毕业论文ABSTRACTThe determinant is higher algebra course in one of the important and basic content, in mathematics in a wide range of applications, know how to calculate the determinant appears especially important, this paper summarizes the determinant of several calculation method, and through some typical examples of some of the techniques introduced calculation determinant.Key words：vanapplicationIII目 录摘要………………………………………………………………………………………III ABSTRACT…………………………………………………………………………………IV 1.前言………………………………………………………………………………1 2.行列式的概念及性质……………………………………………………………………12.1 行列式概念……………………………………………………………………12.2 行列式性质…………………………………………………………………1 3.1化三角形法………………………………………………………………………3 3.2利用递推关系法………………………………………………………………3 3.3提取公因式法………………………………………………………………5 3.4利用拉普拉斯（Laplace）定理法…………………………………………5 3.5利用范德蒙（Vandermonde）行列式法…………………………………………6 3.6利用乘法定理法……………………………………………………7 3.7裂项法……………………………………………………………………………8 3.8升阶法…………………………………………………………………8 3.9公式法……………………………………………………………………10 3.10规律缺损补足法……………………………………………………………11 3.11特征根法 ………………………………………………………………12 3.12数学归纳法………………………………………………………………13 3.13利用行列式乘法规则…………………………………………………………14 4.应用…………………………………………………………………………………15 结论......................………….………….……………………..….……...…..….………...15参考文献......................…………….…………………..….…..……………….………….15 致谢......................………………….……………………..…….…………...…………….153.方法解析………………………………………………………………………………3一、前言行列式的计算，高等代数中重要内容之一，最常用的是利用行列式的性质和展开定理，需要熟练的掌握，根据其具体特点采用不同的计算方法，本文对行列式的解题方法进行了总结归纳。将一个行列式化为三角形行列式，是行列式计算的一个基本思想，也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：提取公因式法、利用拉普拉斯（Laplace）定理法、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法、利用乘法定理法、裂项法、升阶法、公式法、规律缺损补足法、特征根法、数学归纳法、利用行列式乘法规则等可以看成是它们衍生出的具体方法。二、行列式的概念及性质2.1行列式的概念n级行列式a11a21?an1a12??a1n?a22?a2nan2?ann等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积a1j1a2j2?anjn的代数和，这里的j1j2?jn是1，2，?，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当j1j2?jn是偶排列时，带有正号；当j1j2?jn是奇排列时，带有负号。这一定义可写成a11a21?an1这里j1j2?jna12a22?an2?a1n?a2n??ann?j1j2?jn?(?1)r(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn，?表示对所有n级排列的求和。2.2行列式的性质性质1 行列互换，行列式值不变，即- 1 -a11a21?an1即a11?kai1?an1a12??a1n??a11a12?a1na21?an1a22?an2??a2n?anna22?a2nan2?ann性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k，则k可以提到行列式记号之外，a11?a12?ai2??a1n??ain?a12??a1n?kai2?kain?kai1???an2?annan1an2?ann这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。 事实上，a11?kai1?an1a12??an2?a1n??kai2?kain=kai1Ai1+kai2Ai2+??kainAin?ann=k(ai1Ai2+ai2Ai2+??ainAin)a11??kai1?an1a12?ai2??a1n??ain ，?an2?ann令k=0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即aij?bij?cij(i?1,2,?,n)，则这个行列式等于另两个行列式之和。即a11?b1j?c1ja21?b2j?c2j?an1??bnj?cnj?a1n?a2n??ann?a11?b1ja21?b2j??an1?bnj?a1n?a2n??ann?a11?c1ja21?c2j??an1?cnj?a1n?a2n??ann这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。- 2 -行列式的计算方法及应用 23_行列式的应用性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是说两行的对应元素都相等。性质5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。性质6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数k后加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式不变。性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。三、方法解析3.1化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。a例1计算N阶行列式Dn?bab???bban?1???bba1b?0??b0?00a?b?bb???1bab解D??a??n?1?bn11?????a??n?1?b?a?b???a??n?1?b???a?b? 3.2利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系――递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。a例2 计算n阶行列式bac???bba，其中b?c,bc?0Dn?cc???解 将Dn的第一列视为（a-c）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得- 3 -a?c?cbac???bba?a?c0?0bac???bba?cccbac???bbaDn?0?c?0?c??????????Dn??a?c?Dn?1?ca?b??n?1(1)n?1由b与c的对称性，不难得到Dn??a?b?Dn?1?b?a?c?联立（1），(2）解之，得(2)Dn??b?c?a?b10?1nn?b?c?a?b?? a?c??????aba?b1?000ab?00????10000?0ab?00???000?aba?b00?100? aba?b例3 计算n阶行列式Dn??00a?b??a?ba?b?解 将Dn按第一行展开，得Dn??a?b?Dn?1?ab00?a?b于是得到一个递推关系式Dn??a?b?Dn?1?abDn?2，变形得Dn?bD?n1易知?a?D?n12?b?? n2 ， D3Dn?bDn?1?a????an?2?D2?bDn?3??an?2n?2?Dn?3?bDn?4??D?bD1??a2n???ab?ba?b???a?b??a????所以Dn?a?bDn?1，据此关系式再递推，有nnDn?a?b?an?1?bDn?2?a?ab?b?nn?12Dn?2n1n1?an?a?b??a?b?2n?2n?1???an?an?1b????abbD1?bn如果我们将Dn的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，- 4 -那么可直接得到递推关系式Dn?a?bDn?1，同样可Dn 的值。n3.3提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a,a,?,a型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。x?a1例4计算N阶行列式Dn?aa1ax?a2?2??aann?1??ani?12?x?an解 该行列式各行元素之和都等于 x+?ai，属于“全和型”，所以1n??1?x??ai?Dn?i?1??1n???x??ai?i?1??ax?a2?2???aan1na2?ann??x?ana2??0x?0??x??ai?i?1?????00?x?xn?13.4利用拉普拉斯（Laplace）定理法首先，让我们先来看看拉普拉斯定理的内容：设在行列式D中任意取定了k(1&=k&=n-1) 行，由这k 行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。例5 计算2n阶行列式- 5 -a??bab??ba??aab?ba?ba?ab??解D2n???1?1?2n?1?2nabba??n?1?b???1?1?21?1?n?2??n???a1bba2?n?2????abban?1?abba?a?b?22?n3.5利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。11?21例6 计算n阶行列式Dn?x?x?1?x1?x?1?1121x?x?1?x2?x?1?222???x?x?1?xn?x?1?nn2n?n?11?n?12?x1?x?1?x2?xx??x?1?,x??x112?1??xn?xn?1n?1?分析：由题目观察知，行列式除第一行外每一行具有相同的形式，第一行可视为2?1?,?,xn??xn?1?，再由行列式的性质，将其化为两个行列式的和，再来计算。 解 原不等式可化为：Dn?xx?x?1?111xx?x2n?122??1???2xx?xnn?1nn?1??1??n?11??x1?x?1?x2?x?1??xn?x- 6 -n?x?1x?x?1?111n?11x?1x?x?1?222n?12x?1x?x?1?nnnx1?x?1?x2?x?1?xn?xn?1n?1把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i+1行；第二个行列式的第i列提取xi?1（i=1，2，3……n），得Dn?xxx1x21222???xxnxnn2?n?n?nx1x211n1122i??????x?1?x?x?1?x???x?1??x1?x?1?x2?x?1?i?1n?1n?112n?n????xi???xi?1????xi?xji?1?i?1?1?j?i?nx?xnn?11n?1??1xn?x?n??3.6利用乘法定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。1?a1b11?a1b2?1?a1bn?a2b11?a2b2?1?a2bn?????anb11?anb2?1?anbn例7计算n阶行列式Dn?111解 Dn????a1a2000?0?0?01??0100????1b1b2bn0 0an????所以，当n&2时，Dn?0；- 7 -行列式的计算方法及应用 23_行列式的应用当n=2时，D2??a2?a1??b2?b1?； 当n=1时，D1?1?a1b13.7裂项法此法多用于将行列式某一行或某一列拆分后，行列式具有某种特殊算法x例8 计算Dn=1?...2??x?.........??.........xnx解：Dn=1?...?2??x?x+1?...?200......?.........???x?...?.........?............xn??x??1=(xn??)Dn?1+0...???...0x2??...0............??n?1i?1?=(xn??)Dn?1+??(xi??) （1）同理Dn=(xn??)Dn?1???(xj??)i?1n?1（2）若???，由（1），（2）组成的方程组解得nn1(xi??)???(xi??)] Dn????[??i?1i?1若???，利用（1）递推得到：Dn?x1?(xi??)???[?(xj??)]i?2i?1j?1j?innn3.8升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。c?a12a1a2c?a2?2???a1ana2an?2例9计算n阶行列式Dn?a2a1?，其中c?0ana1ana2?c?an分析：观察行列式可知，除主对角线外，行列式的其它元素形式都相同，于是想到用升阶法，对原行列式添加一行一列，运用行列式的性质再来求解。10解Dn?00a1a22c?a1a1a22a2a1c?a2??????ana1ana2an?21?a1a1a2c??anc?0 ??a20??????an?cana1ana2?c?an?1将最后一个行列式的第j列的caj?1倍加到第一列（j=2,3……,n+1），就可以变为上?1三角形行列式，其主对角线上的元素为1?c故?ai,c,c,??,ci?1n2Dn?c?c?aii?1nn?1n2112??????21例10 计算n阶行列式Dn??x1x1x2x2?xnxnxn2?n?2x1n?2x2n?2x1nx2nxnn解 原行列式看似范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，可以11????211x1x12x2x2x2n?1xnxn2yy2Dn???n?2?n?2?x1x1n?2?xn??yyn?2n?1x2xnn?1n?1x1nx2nxnnyn按第n+1列展开，则得到一个关于y的多项式，ynn?1的系数为??1?n?1?n?xDn??Dn，另外，Dn?1?1??i?xj????y?xi? j?i?ni?1n?1显然，Dn?1中yn的系数为1?j?i?n??x?x????x?xij1j2???xn?，?所以Dn??xi?i?11?j?i?n??x?xi?3.9公式法根据分块矩阵的知识，不难证明如下结论：（1） 设A为n阶可逆矩阵,?,?为n维列向量，则有A????A1??（2） 设A为n阶可逆矩阵,?,?为n维列向量，则有'?'A?1?????AAC?A???ABD??1??1'?（3） 设A，B，C，D都是n阶方阵，且A可逆，则有?AD?CAB有些行列式可应用上述结论计算，用上述结论计算行列式的方法，我们称为公式法110002?130?n?1?00?n00?0例11 计算n阶行列式Dn??2?2?0000?????2?n?n?11?n?120000?230000??0000?2??1?????0030?'??? ,?,???????????????2?n0n???0?n?11?n?'解 令 A=?3?00??????则由结论（2），得Dn?1?A?A1??A???1'????10?1??1???2??n?11??1?n?1?!?1??2,3,?,n???1??2??????1??1???2??00???????0??1????0????0????????????0??1??????n?1???0??n?11?3??1??3???1?1?n?1?! 23.10规律缺损补足法此法多用于除去某些行列或对角线的元素后行列式的各元素具有规律性，此时就须补足规律，而后再减去某些元素。?1例12 计算 D?a1b2...a1bn...a2bn......a2b1...?2...anb1anb2...解：（1）若 ?(?i?atbt)?0 时i?1n?n???ab11?1?D=??????2?a2b2...??a1b1????ab???21??...????n?anbn???anb1a1b2......a1bn?...a2b2...anb2...?a2bn?? ...??anbn??=A???'=A(1??'A?1?) (*)?a1??b1???1?a1b1???????a??ab?2??b2?222??这里A?, ????, ??????.........???????????n?anbn??an??bn??所以(*)式=?(?i?aibi)?a1b1?(?i?aibi)?a2b2?(?I?aibi)?...?anbn???i?aibi?i?1i?2i?1i?2i?1nnnn?1????????（?） （2）若存在?i?aibi ，则D?aibi???j?ajbj?j?1j?in这时（?）同样适用，因而（?）为计算公式.3.11特征根法此法用于行列式所对应矩阵的特征根已知或易求的情况下，利用A??1?2...?n，其中?i为A的特征根.例13 已知I?A的特征根之模长均小于1，求证0?detA?2n.证明:首先A没有零特征根，否则存在可逆阵P，使得?0????2??P?1AP??? ...????n????0???1??2?2??所以，P?1(I?A)P=I??= ?......????n?1??n??所以，1为I?A的特征根矛盾.??1????2??设P?1AP??， ?...????n???行列式的计算方法及应用 23_行列式的应用??1所以，P?1(I?A)P?1??2...1??n所以，??i&1即1&?i-1即?i&2,所以，?1?2...?n&2n即0&detA&2n.3.12数学归纳法a11例14用数学归纳法证明：Dn?1?001?0a2?an????00?10b1nn?1b2?(?1)?aibii?1?bn解：当n?1时有：D2?a110b1?(?1)1?1a1b1 命题成立。假设n?k时，命题成立，要证n?k?1时，等式成立。a11Dn?1?Dk?2?000a2?ak0100????0010ak?100?010b1b2?bkbk?1???b按最后一行展开得：a11Dk?2?(?1)k?2?k?2bk?10a11a2?ak010???001ak?100按最后一列展开 =(?1)1?k?1ak?1=(?1)k?2ak?1 ?0a2?ak010???001ak?10a11a2?ak0?0b1????0?(?1)k?1?k?2?1?01?0b2?????0?1bk将0???a11a2?ak010???0010b1b2 前k?1列?(?bi)加到最后一列 bk(?1)?aibii?1k将 00a1????a2?ak010???001=10000?01010???2k?3按最后一列展开得：???000aibi?(?1)=(?1)i??1k1?k?100???=(?1)k?3i?1?aibik所以Dk?2?(?1)3k?6ak?1bk?1?(?1)?(?1)ki?1kk?3i?1?aibik?(?1)?(?1)3(k?2)ak?1bk?1?(?1)3(k?2)?aibi(k?2)ak?1bk?1?(?1)ki?1(k?2)i?1?aibi?(?1) ?(?1)(k?2)(ak?1bk?1??aibi)k?1i?1(k?2)?aibi(n?1)i?1因为n?k?1，所以：Dk?2?Dn?1 ?(?1)?aibi故本题得证！n注：本题可按行列式定义展开，也可按行或者列展开，还可将第i?1行(i?1,2,?,n?1)乘以(?ai)都加到第1行，再按第1行展开。同样可证得此式 3.13利用行列式乘法规则?例13 设D??2?3?4?2?3?4?52,??1,但??1.求D之值。 4???3?2解：由??1，?5?1，有?4??3??2???1?0.??4??4??3??4???4??34?2????44?3??2?????1011111?411?411?125.所以D?2??3??2???4四、应用行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 在线性方程组，初等代数的行列式分解因式、行列式证明不等式和恒等式，解析几何中在平面几何中的一些应用等，应用非常广泛。总结以上总共给出了计算行列式的13种方法，其中有一些是常见的基本的方法，还有一些是特殊的方法。在课外书中还有一些其他方法，如极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，因为用途不广，所以不加以介绍。我认为只要理解和掌握以上13种方法，不管哪 种行列式的计算，都可以迎刃而解。而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，这就需看大家的灵活应用程度，找出一个最简便的方法解出其值。参考文献[1] 姚慕生.吃等代数.复旦大学出版社，2002； [2] 王萼芳 石生明.高等代数. 高等教育出版社，2003；[3] 孙丽君. 行列式计算的几种常见的方法 河北能源职业技术学院学报[J] 2005年01期； [4] 陈会平. 浅谈N阶行列式计算方法的研究[J]. 黑龙江科技信息，2010年03期； [5] 张学茂. 行列式计算的几种新方法[J] 中国校外教育 2008[6] 张福阁 磨晓丽 一个行列式的计算与应用[J] 齐齐哈尔大学学报 2006 [7] Bo Peng .The Determinant: a Means to Calculate Volume[J] August 16,2007[8] Wang Quanlong The Exact Value of detV(x1,x2,x3,...,xn) and Its Applications[J] November 1998致谢四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师――张长温老师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的感觉。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意！ 同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。欢迎您转载分享：
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